Прием при неизвестных значениях  и

Необходимость непрерывно измерять значения параметров канала  и  значительно усложняет приемное устройство. Как уже было показано, для систем с активной паузой оптимальная решающая схема не зависит от значения , а при некогерентном приеме не требуется знания  и, следовательно, отпадает необходимость измерять эти параметры. Можно, однако, вывести правило решения и в общем случае, когда мощности применяемых сигналов не одинаковы, в предположении, что значения  и  неизвестны, а известны только их распределения вероятностей.

Исходя из критерия максимального правдоподобия, следует принимать гипотезу о том, что передавался сигнал , если условная вероятность прихода сигнала  больше условной вероятности  для всех . Аналогично тому, как определялось оптимальное некогерентное правило решения в 4-й главе, воспользовавшись тем, что , можно определить, усредняя по  и по , условную плотность . Если  и  были известны, то согласно (3.19), (4.23)

                  (5.20)

Усредняя (5.20) по  и по , получаем

   (5.21)

Подставив в (5.21) значения плотностей вероятностей  и , можно найти  для данного конкретного типа замираний.

В случае релеевских замираний, подставляя (5.3) и учитывая, что , после несложных преобразований находим [7]

              (5.22)

где аналогично обозначениям, введенным ранее,  - отношение среднего значения энергии приходящего сигнала  к спектральной плотности помехи;

,

.

Из (5.22) следует такое правило решения: символ  регистрируется, если при всех

.                      (5.23)

Это правило может быть реализовано с помощью таких же схем, как и правило (4.28), полученное для канала без замираний, с изменением лишь функциональных преобразований и величин порогов. Для систем с активной паузой (5.23) сводится к неравенству

,                      (5.24)

что совпадает с (4.30). Поэтому для систем с активной паузой решающие схемы в условиях медленных релеевских замираний оказываются такими же, как и в отсутствие замираний.

Вероятность ошибок при таких правилах приема вычисляется как вероятность невыполнения неравенств (5.23) или (5.24), если передается сигнал . Вычислим эту вероятность для системы с активной паузой, полагая, что все сигналы  взаимно ортогональны в усиленном смысле.

Легко убедиться, что при релеевских замираниях все величины  имеют релеевское распределение вероятности

            (5.25)

где

;

;

 - средняя мощность принимаемого сигнала.

Вероятность ошибки

Последовательное интегрирование по частям приводит к результату

.

Замечая, что , получим окончательно

,              (5.26)

что совпадает с ранее полученной формулой (5.166).

Такой результат и следовало ожидать, поскольку при некогерентном приеме сигналов с активной паузой знание значений параметров канала не влияет на решающую схему. Иначе будет при сигналах с различными энергиями, когда правило решения (4.28), полученное в предположении, что коэффициент передачи известен, существенно отличается от правила (5.23), выведенного для случайного коэффициента передачи о котором известно только то, что он имеет релеевское распределение вероятностей и среднее значение его квадрата равно .

Поясним это на примере двоичной системы AT. В этом случае оптимальное некогерентное правило решения (4.50) при известном коэффициенте передачи приводит к схеме с пороговым устройством, в котором пороговый уровень зависит от величины . Применение этого правила в канале с медленными замираниями предполагает непрерывную регулировку порогового уровня по измеряемым значениям . Вероятность ошибки определится усреднением зависимости, изображенной на рис. 4.12, по . Это усреднение можно произвести методом численного интегрирования, в результате чего был построен график рис. 5.9 (кривая 1).

Рис. 5.9. Вероятность ошибок для двоичной системы AT при релеевских замираниях: 1 - при известных значениях  (некогерентный прием); 2 - при неизвестных  и  (некогерентный прием.); 3 - при известных  и  (когерентный прием).

Если же коэффициент передачи считать неизвестным, то исходя из (5.23) правило решения (регистрации символа , соответствующего «посылке») получается в следующем виде:

.                   (5.27)

Здесь правая часть представляет собой нерегулируемый пороговый уровень, величина которого определяется средней (а не мгновенной) мощностью сигнала и спектральной плотностью помехи. При таком правиле решения вероятность ошибки при релеевских замираниях может быть выражена в конечном виде и равна

.                        (5.28)

Эта зависимость изображена также на рис. 5.9 (кривая 2). Таким образом, отсутствие сведений о мгновенном значении коэффициента передачи несколько увеличивает вероятность ошибки. Кривая 3 на том же рисунке построена по формуле (5.10) для когерентного приема, т. е. в предположении, что известны мгновенные значения как , так и .

Рассмотрим также случай двоичной системы с активной паузой при неортогональных сигналах. Так как для систем с активной паузой знание коэффициента передачи  не влияет на решающую схему, то совершенно очевидно, что и при неизвестных значениях  вероятность ошибки выражается формулой (5.19). Тем не менее, приведем вывод этой формулы исходя из правила решения (5.24), поскольку на этом примере будут показаны некоторые вычислительные приемы, полезные для исследования более сложных случаев.

Прежде всего, перепишем правило (5.24) в применении к двоичной системе следующим образом: символ  регистрируется в том случае, если

,                    (5.29)

где по-прежнему

представляют собой нормально распределенные случайные величины. Случайная величина

                     (5.30)

представляет собой квадратичную форму нормально распределенных величин.

Вероятность ошибки можно вычислить как вероятность невыполнения неравенства (5.29), когда передается сигнал

.                  (5.31)

С этой целью найдем характеристическую функцию величины , по которой можно определить ее плотность и вычислить вероятность (5.31). Для того чтобы применять этот метод в других случаях, покажем как найти характеристическую функцию случайной величины выражаемой в виде квадратичной формы произвольного числа нормально распределенных величин  с нулевыми математическими ожиданиями:

,   ,                        (5.32)

где  - действительные постоянные, определяющие вид квадратичной формы.

Совокупность нормальных величин с нулевыми математическими ожиданиями однозначно характеризуется корреляционной матрицей порядка

,   ,                        (5.33)

где черта обозначает статистическое усреднение.

Можно показать [8], что в этих условиях характеристическая функция  случайной величины  равна (см. примечание 4 к настоящей главе)

,                  (5.34)

где  - собственные числа матрицы , т. е. корни уравнения

,            (5.35)

 - матрица квадратичной формы (5.32) порядка ;

;                 (5.36)

 - единичная матрица порядка .

Решив уравнение (5.35), находим значения  и определяем характеристическую функцию , зная которую можно найти плотность распределения случайной величины:

.                 (5.37)

Полученный интеграл обычно (хотя и не всегда) удается вычислить методом вычетов.

Применим изложенный метод для нахождения плотности распределения случайной величины  (5.30) [6]. Полагая

,

где  и  - в случае релеевских замираний нормально распределенные величины с нулевым математическим ожиданием, легко убедиться, что , ,  и  также имеют нормальное распределение и нулевое математическое ожидание. Нетрудно найти и их корреляционную матрицу:

,                 (5.38)

где ,  и  определяются формулами (4.57).

Матрица квадратичной формы равна

.                       (5.39)

Представим матрицу  в виде

,

где

; ;    ;

 - транспонированная матрица .

Тогда

,

где для сокращения постоянный множитель , не имеющий существенного значения для последующего, обозначим .

Теперь уравнение (5.35) примет вид

,

где  - единичная матрица порядка , или

.

Произведя умножение матриц и подставив их значения, получим уравнение

или

.                  (5.40)

Решая это уравнение, найдем четыре его корня:

              (5.41)

Поскольку корни кратные, характеристическая функция (5.34) величины  равна

и ее плотность распределения (5.37)

.                   (5.42)

Для вычисления вероятности ошибок нас интересуют только значения  при . Учитывая, что при  и  подынтегральная функция при  стремится к нулю, и пользуясь леммой Жордана, можно утверждать, что этот интеграл равен сумме вычетов подынтегральной функции в полюсах верхней полуплоскости, умноженной на . В данном случае подынтегральная функция имеет два полюса:

 и .

Но, как видно из (5.41),  и . Поэтому в верхней полуплоскости комплексной плоскости лежит только полюс , вычет в этой точке равен

.

Таким образом, при

.               (5.43)

Следовательно, вероятность ошибок равна

.               (5.44)

Подставив значения  из (5.41), получим

,

что совпадает с (5.19).

Мы не будем подробно останавливаться на приеме сигналов с неизвестными значениями  и  при квазирелеевских замираниях. В работе [9] получено правило решения в предположении, что регулярная составляющая  коэффициента передачи и фаза регулярной составляющей  известны. Известным считается также отношение  мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих. Там же получено более простое правило решения в предположении, что все значения фазового сдвига  равновероятны.

Для систем с активной паузой это правило существенно упрощается и сводится к условию

,                  (5.45)

что совпадает с оптимальным некогерентным правилом для каналов без замираний и с релеевскими замираниями. В этом случае вероятность ошибки при ортогональных сигналах совпадает с (5.16).

Заметим, что описанные в этом разделе правила решения являются оптимальными и для такого гипотетического канала, в котором коэффициент передачи  изменяется скачком при смене элемента сигнала, а на протяжении элемента остается постоянным. Хотя таких каналов в действительности не существует, такое представление пригодится в § 5.4.