Модели канала

Наиболее общую характеристику прохождения сигнала через линейный канал представляет собой случайная импульсная переходная функция , выражающая значение реакции на выходе канала в момент , если в момент  на вход канала подан единичный импульс (дельта-функция) (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Общая схема канала с частотно-зависимыми переменными параметрами

Из условия физической осуществимости любая реализация переходной функции удовлетворяет условию

 при ,                (7.1)

так как реакция на выходе не может появиться раньше воздействия на вход. Если на вход канала поступает сигнал , то сигнал на выходе (без учета аддитивных помех) равен

        (7.2)

Поскольку  — случайная функция, то и  при фиксированной реализации  будет также случайной функцией, даже при отсутствии аддитивных помех. Поэтому вероятность ошибок в таком канале с уменьшением спектральной плотности помехи, вообще говоря, не стремится к нулю.

Для всякой реализации  можно при фиксированном значении  определить мгновенную передаточную функцию, как преобразование Фурье по :

.     (7.3)

Здесь нижний предел интегрирования равен нулю в соответствии с (7.1).

Заметим, что  не имеет такого простого физического смысла, как передаточная функция  цепи с постоянными параметрами, которая представляет собой отношение комплексных амплитуд, составляющих с круговой частотой  на выходе и входе цепи в установившемся режиме. В системе с переменными параметрами установившийся режим, строго говоря, вообще не имеет места. Поэтому нельзя считать, что спектр сигнала на выходе канала равен , где  — спектр реализации сигнала  на входе канала.

Тем не менее  можно рассматривать как комплексный сигнал на выходе канала, когда на его вход подан аналитический монохроматический сигнал на частоте  с единичной амплитудой . Действительно, подставляя это значение  в (7.2), получим

      (7.4)

Для действительного монохроматического входного сигнала  это значит, что выходной сигнал будет равен

,

где

.

Здесь важно отметить, что выходной сигнал уже не будет монохроматическим, поскольку он модулирован по амплитуде и по фазе.

С целью получения обозримых результатов нам придется несколько ограничить общность рассмотрения, введя некоторые условия, которым практически удовлетворяют все реально используемые каналы связи. Прежде всего будем считать  как функцию  (при фиксированном ) стационарным процессом. Тогда и  (при фиксированном ) также является стационарным процессом и ее функция корреляции по

зависит (не считая ) только от разности .

Преобразование Фурье от  по переменной

            (7.5)

определяет спектральную плотность мощности флюктуаций передаточной функции для составляющей сигнала на частоте .

Предположим далее, что канал имеет ограниченную память, т. е. что существует такой промежуток времени , в течение которого переходная функция практически полностью затухает, или, другими словами, при любом  и при

                                     (7.6)

Разложим  по переменной  в ряд Фурье на интервале :

,  ,    (7.7)

где

;

, .

Подставив (7.7) в (7.2) и учтя пределы изменения , получим для сигнала на выходе канала следующее выражение:

.    (7.8)

Легко видеть, что полученные интегралы представляют собой результат прохождения сигнала  через фильтры с импульсными реакциями:

  при ,     (7.9)

 при  и .

Этот результат позволяет построить модель канала, представленную на рис. 7.2. Сигнал  расфильтровывается фильтрами с постоянными параметрами и импульсными реакциями (7.9), а затем каждая составляющая умножается на свой коэффициент передачи , являющийся случайной функцией времени. Такую модель канала будем называть моделью селективных замираний. Число фильтров в этой модели бесконечно, но практически можно всегда ограничиться конечным числом, учитывая, что энергия входного сигнала вне определенной конечной полосы частот исчезающе мала. Нетрудно видеть, что спектральная плотность мощности комплексного коэффициента передачи  совпадает с . Коэффициенты  с различными индексами коррелированы между собой. Они были бы некоррелированы только в том случае, если бы процесс  представлял по переменной  белый шум, чего в реальных каналах не бывает. Однако в ряде случаев взаимная корреляция между  и  быстро уменьшается с увеличением разности .

Рис. 7.2. Модель селективных замираний.

К сигналу на выходе канала добавляется аддитивная помеха, которую в этой главе будем считать по-прежнему гауссовым белым шумом (или по крайней мере гауссовым шумом с равномерным спектром в полосе частот, превышающей ширину спектра выходного сигнала).

Преимущество модели рис. 7.2 по сравнению с общей схемой (рис. 7.1) заключается в том, что здесь разделены элементы, зависящие от времени (мультипликативные помехи), и инерционные элементы, определяющие постоянные частотные искажения сигнала.

Для построения другой модели того же канала введем дополнительное предположение о том, что канал имеет практически ограниченную полосу пропускания, т. е. существует величина  такая, что при любом  и

.                         (7.10)

Конечно, условия (7.10) и (7.9) противоречат друг другу, поскольку две функции, связанные преобразованием Фурье, не могут быть обе финитными. Более того, выражение (7.10) находится в противоречии и с условием физической реализуемости (7.1). Поэтому мы вводим (7.6) и (7.10) как приближенные равенства, полагая, что они могут выполняться со сколь угодной заданной точностью, если выбрать достаточно большие  и . Последнее справедливо для всех реальных каналов, поскольку они обладают потерями (вследствие чего переходная функция при увеличении  затухает) и инерционностью (вследствие которой при достаточно больших  модуль передаточной функции  становится сколь угодно малым).

Разумеется, получаемые таким образом модели канала будут также приближенными. Однако их можно сделать точными путем предельного перехода, полагая, что  и  стремятся к бесконечности.

Итак, полагая, что условие (7.10) выполняется, можно представить переходную функцию в виде ряда Котельникова по переменной  (см., например, [4]):

,     (7.11)

где

;  .

Если выполняется также условие (7.6), то верхний предел в сумме можно положить равным .

Каждый член этого ряда представляет собой случайную функцию времени , умноженную на переходную функцию идеального (физически не реализуемого) П-образного фильтра нижних частот с граничной круговой частотой , сдвинутую во времени на . Это позволяет представить формально схему канала в виде линии задержки на время , пропускающей частоты , с отводами через . Напряжения, снимаемые с отвода, умножаются на , затем суммируются и к ним добавляется аддитивная помеха (рис. 7.3). Таким образом, получается модель канала, согласно которой сигнал проходит от входа к выходу канала по различным путям («лучам») с различными зависящими от времени коэффициентами передачи . Такую модель будем называть моделью многолучевого распространения. Ее преимущество по сравнению с общей схемой (рис. 7.1) заключается в том, что в каждом отдельном луче коэффициент передачи зависит только от времени, а не от частоты. Частотная зависимость возникает здесь лишь в результате интерференции при суммировании лучей.

Обе полученные модели являются представлениями одного и того же канала и поэтому с равным правом могут применяться для анализа. Обе они с одинаковым приближением (возрастающим при увеличении  и ) описывают процессы в канале. В некоторых случаях удобнее пользоваться одной моделью, в других случаях — другой, причем это определяется главным образом характером используемого сигнала. При выводе этих моделей мы исходим только из феноменологического описания канала с помощью переходной функции   не привлекая никаких физических соображений о реальных процессах, протекающих в канале. Другими словами, канал рассматривается как «черный ящик», который мы можем с равным правом считать заполненным схемой рис. 7.2 или 7.3.

Рис. 7.3. Модель многолучевого распространения.

Если же говорить о физической сущности прохождения сигнала в канале, то она может быть весьма мало похожей на любую из полученных моделей.

Легко видеть, что при выполнении условий (7.6) и (7.10) каждая из моделей имеет   ветвей. С улучшением приближения (путем увеличения расчетных значений  и ) это число растет, что затрудняет анализ. В некоторых случаях можно существенно уменьшить число ветвей. Одним из этих случаев является тот, когда можно считать, что канал пропускает частоты только в пределах от

 до ,

где  — некоторая средняя частота, кратная . Очевидно, что в модели рис. 7.2 можно (хотя бы в первом приближении) исключить ветви с частотами ниже и общее число ветвей окажется равным

,

что дает существенное сокращение, если .

Аналогично можно сократить и число ветвей в модели (рис. 7.3). Для этого представим переходную функцию через ее огибающую и мгновенную фазу по переменной :

 

                      (7.12)

Здесь  — огибающая переходной функции;  — ее начальная фаза;

Можно показать, что  и  связаны друг с другом преобразованием Гильберта, а их спектр сосредоточен в полосе от 0 до .

Представив  и  в виде ряда Котельникова, получим

,      (7.13)

где

Заметим, что

представляет собой переходную функцию идеального полосового фильтра со средней частотой  и полосой пропускания , сдвинутую на интервал . Сопряженная с ней функция, получаемая путем сдвига фаз всех спектральных составляющих на 90° (преобразование Гильберта), будет

Рис. 7.4. Модель многолучевого распространения при сигнале с ограниченным спектром.

Учитывая возможность перестановки линейных элементов схемы, получим модель канала, представленную на рис. 7.4. В этой модели число ветвей (степеней свободы) также равно