7.2. Канал с постоянными частотнозависимыми параметрами

Наиболее простым случаем частотнозависимого канала является канал с постоянными параметрами, в котором переходная функция не зависит от и поэтому может быть обозначена . В первом приближении к этому случаю могут быть сведены такие каналы, в которых очень медленно меняется с , так что на протяжении сеанса связи, начавшегося в момент , можно положить . К таким каналам относится подавляющее большинство электропроводных некоммутируемых каналов, а также длинноволновые радиоканалы, если сеанс связи достаточно короток, и ультракоротковолновые радиоканалы между неподвижными корреспондентами при связи в пределах прямой видимости.

Если к тому же сводится к дельта-функции (где — время прохождения сигнала), то параметры канала оказываются постоянными как по времени, так и по частоте. Этот случай был рассмотрен в гл. 3; он соответствует аппроксимации реальных каналов на ограниченном промежутке времени, если передаточная функция канала (преобразование Фурье от ) практически постоянна в полосе частот, в которой сосредоточена мощность сигнала.

Рассмотрим более общий случай, когда не выражается даже приближенно дельта-функцией. Если на вход канала поступает сигнал , то на выходе канала будет принят сигнал

(7.17)

Как легко заметить, задача может быть сведена к рассмотренной в гл. 3, если полагать, что в канал с постоянными параметрами, не зависящими от частоты, посылаются не сигналы , а видоизмененные сигналы

Следует только учесть, что сигналы имеют длительность не , a , где — время реакции канала, которое будем считать ограниченным. Этим обстоятельством обычно пренебрегают, если . В противном случае можно построить систему так, чтобы посылать элементы сигнала длительностью через интервалы времени , т. е. ввести паузы длительностью . Наконец, если , можно посылать сигналы непрерывно, но подавать на решающую схему только отрезки сигнала длительностью , на которых не происходит перекрытия соседних элементов. Такой метод довольно широко используется на практике и называется методом защитного промежутка. Он, конечно, не является оптимальным, так как сопряжен с потерей информации, содержащейся в отбрасываемых отрезках сигнала. Впрочем, при эти потери незначительны.

Выбор в принципе всегда возможен. Для того чтобы при этом условии обеспечить требуемую скорость передачи информации, необходимо выбирать достаточно высокое основание кода . Однако при большом уровне помех с увеличением возрастает вероятность ошибки, тем более что в канале с ограниченной полосой пропускания не всегда можно выбрать эти сигналы ортогональными.

Рассмотрим, какие возможности существуют для сокращения времени реакции и для выбора оптимальных форм сигналов, обеспечивающих наибольшую помехоустойчивость. С этой целью воспользуемся методом, применявшимся в § 3.6, а именно введем на выходе канала два четырехполюсника и (рис. 7.5,а), из которых имеет модуль передаточной функции , а модуль передаточной функции четырехполюсника совпадает с , где — передаточная функция канала. Заметим, что эти четырехполюсники физически реализуемы, поскольку мы рассматриваем физически реализуемый канал.

Рис. 7.5. К выводу условий коррекции канала с частотно-зависимыми параметрами.

В точке б, как легко видеть, будет присутствовать сумма сигнала и гауссовской помехи со спектральной плотностью мощности , а в точке б — сигнал с таким же модулем спектральной плотности амплитуд, как и в точке а на фоне белого шума.

Рассуждая так же, как и в § 3.6, можно показать, что решающая схема PC, подключенная к точке в будет оптимальной в том случае, если часть схемы, обведенная пунктиром, представляет собой оптимальную решающую схему для сигнала и помехи в точке б. Последняя, как было показано, состоит из «обеляющего» фильтра, которым в данном случае является четырехполюсник , и оптимальной решающей схемы PC для сигнала при белом шуме.

Сигнал , вообще говоря, не совпадает с , поскольку для четырехполюсников и определены лишь модули передаточных функций. Последовательное соединение этих четырехполюсников имеет передаточную функцию

, (7.19)

где — произвольная функция, удовлетворяющая условию физической реализуемости.

Таким образом, последовательное соединение двух четырехполюсников и представляет собой фазовый контур.

Если желательно сократить до минимума длительность элемента сигнала , то целесообразно выбрать так, чтобы цепь, образованная последовательным соединением канала и фазового контура с передаточной функцией (7.19), имела наименьшую длительность переходной функции. Можно показать, что для этого фазочастотная характеристика результирующей цепи должна быть линейной во всей области частот, в которой модуль передаточной функции канала отличен от нуля. Такая фазовая коррекция характеристики канала часто применяется на практике. При этом получается схема рис. 7.5,б.

Так как в точке в присутствует нормальный белый шум и сигнал , представляющий собой результат прохождения исходного сигнала через цепь с передаточной функцией , то наибольшая помехоустойчивость при заданной энергии сигнала будет обеспечена тогда, когда энергия сигнала будет максимальной.

Выберем любое значение , превышающее длительность импульсной реакции скорректированной цепи. Тогда для любого сигнала длительностью

. (7.20)

Рассмотрим следующее интегральное уравнение Фредгольма:

(7.21)

Оно имеет решения , называемые собственными функциями, при определенных значениях , которые пронумеруем в порядке невозрастания: Как известно (см., например, [7] добавление 11), функции образуют полную ортонормированную систему на интервале . Поэтому любой сигнал можно разложить в ряд по этим функциям:

, (7.22)

причем

Подставив (7.22) в (7.20) и учитывая (7.21), получаем

(7.23)

На основании ортонормированности собственных функций

. (7.24)

Из этого равенства очевидно, что преобразованный сигнал будет иметь наибольшую энергию на интервале в том случае, если все коэффициенты положить равными нулю, кроме того, который соответствует максимальному собственному числу . Таким образом, оптимальным сигналом является

, (7.25)

где определяется ограничениями, наложенными на мощность сигнала на входе канала.

Используя оба знака в (7.25), получим оптимальную двоичную систему с противоположными сигналами. После того как сигналы выбраны, нетрудно вычислить вероятность ошибки, которая при когерентном приеме равна

Если для увеличения скорости передачи информации требуется основание кода , то можно использовать несколько ортогональных форм сигнала, совпадающих с собственными функциями уравнения (7.21), соответствующими наибольшим собственным числам.