8.4. Математическое описание импульсных помех

Для анализа условий приема сигнала при импульсных помехах мы будем представлять мешающий импульс  в виде ряда Фурье на интервале времени, равном длительности элемента принимаемого сигнала:

 ,                     (8.23)

где

.

В сущности, ряд (8.23) представляет не одиночный импульс , а периодическую последовательность таких импульсов с периодом . Но поскольку мы изучаем поэлементный прием, нас интересует поведение, как сигнала, так и помехи на интервале . Можно рассматривать (8.23) так же, как разложение одиночного импульса в ряд по отрезкам синусоид и косинусоид. Если функцией  выражается реализация случайного импульса, то  и  в (8.23) являются реализациями некоторых случайных величин.

Для реализации идеализированного импульса

,                       (8.24)

 [где  — момент возникновения импульса  и  — коэффициент, физический смысл которого будет выяснен ниже] значения коэффициентов ,  в (8.23) легко определить по обычному правилу разложения функции в ряд Фурье:

/

 .                      (8.25)

Величины  и   будем считать случайными и независимыми.

Заметим, что в отличие от случая белого шума коэффициенты ряда Фурье ,  не являются независимыми. Действительно, зная любые два из этих коэффициентов, можно однозначно определить величины  и  и восстановить по ним значения всех остальных коэффициентов. Тем не менее, все коэффициенты Фурье попарно не коррелированы при условии, что величина  принимает с равной вероятностью любое значение в интервале . В этом легко убедиться, вычислив математическое ожидание произведения любой пары коэффициентов. Например, для  и   имеем

откуда следует, что  и   не коррелированы. Такой же результат можно получить для любой пары коэффициентов  и , а также для любой пары коэффициентов  с неодинаковыми индексами.

Математическое ожидание величин  при равновероятном распределении  и любом распределении вероятностей  равно нулю. Дисперсия каждого из коэффициентов ряда Фурье

.                                    (8.26)

Обозначим . По аналогии с (3.16) можно определить физический смысл  как спектральную плотность мешающего импульса. В отличие от случая белого шума величина  не постоянна, а принимает разные значения для различных элементов сигнала. В частности, она равна нулю, если на протяжении данного элемента мешающие импульсы не поступили на вход приемника.

Рис.8.3 Мешающий импульс.

При наличии достаточно мощного мешающего им пульса величина  оказывается, как правило, значительно больше спектральной плотности флюктуационной помехи и импульсная помеха может практически полностью разрушить информацию, содержащуюся в данном элементе сигнала.

Реальные мешающие импульсы имеют конечную длительность. Пусть импульс описывается некоторой функцией (рис. 8.3)

где  изображает форму импульса и при . Тогда получим выражения для коэффициентов ряда Фурье

 ,                           (8.27)

Если , то, поскольку подынтегральная функция отлична от нуля только в пределах от  до  можно приближенно положить

 и .

Тогда

,                          (8.28)

что совпадает с (8.25), если обозначить через  «площадь импульса» . Тем самым выясняется физический смысл коэффициента  в идеализированном представлении импульса (8.24).

Если условие  не выполняется, выражение (8.28) не будет справедливо. Однако и в этом случае между коэффициентами ряда Фурье (8.27) сохраняется достаточно жесткая связь при .

Действительно, пусть, например, известны  и . Покажем, что это позволяет приближенно найти коэффициенты  и :

                           (8.29)

Здесь приближенное равенство имеет место вследствие того, что для всех значений , при которых  отлично от нуля,  и  меняются незначительно, тем меньше, чем меньше отношение , и могут быть заменены значениями  и  аналогично,

.                        (8.30)

Из этих равенств следует, что

.                                            (8.31)

Путем простых преобразований из (8.29) и (8.30) получим также приближенное уравнение:

.                     (8.32)

Из уравнений (8.31) и (8.32), зная  и , можно приближенно найти  и  при неизвестных форме импульса и моменте его прихода , причем точность результата тем выше, чем меньше отношение .

Рассмотрим случай, когда на вход приемного устройства за время длительности элемента сигнала поступает  независимых случайных мешающих импульсов, представляемых дельта-функцией. Тогда импульсная помеха

,                           (8.33)

где   — момент появления -го импульса  — его спектральная плотность.

В этом случае, как легко убедится,

 ,                   (8.34)

.

Если  достаточно велико и  — случайные величины, имеющие ограниченную дисперсию, то согласно центральной предельной теореме  и  имеют приблизительно нормальное распределение вероятностей. Учитывая, что они к тому же взаимно не коррелированы, можно заключить, что при большом числе импульсов в интервале импульсная помеха мало отличается от нормального белого шума, о чем уже говорилось выше. Этот же результат можно обобщить и на случай импульсов конечной длительности, с той лишь разницей, что образованный такими импульсами шум не является белым, так как его спектральная плотность на высоких частотах убывает тем быстрее, чем больше длительность импульсов.

Для характеристики коэффициентов ряда Фурье импульсной помехи, образованной хаотически следующими импульсами, необходимо еще отметить, что , для различных элементов принимаемого сигнала не коррелированы между собой. Это с очевидностью следует из того факта, что в образовании этих коэффициентов участвуют различные не зависимые друг от друга импульсы.