Системы МОФТ
В системах с многократной относительной фазовой манипуляцией (МОФТ) информация содержится в разности фаз между соседними элементами сигнала. Другими словами, они отличаются от МФТ тем, что отсчет фазы каждого элемента производится не от постоянной «опорной фазы», а от фазы предыдущего элемента сигнала. Разности фаз между соседними элементами принимают
различных значений. При
эти значения равны
, (9.49)
где
, а
— произвольная постоянная разность фаз, которая в большинстве существующих систем равна нулю, но иногда отличается от нуля, что используется для облегчения формирования сигнала, а также для синхронизации [12]. Очевидно, что значение
не влияет на помехоустойчивость.
По сравнению с МФТ, системы МОФТ имеют то преимущество, что при когерентном приеме они не столь чувствительны к спонтанным перескокам фазы опорного напряжения. Последние вызывают при МФТ «обратную работу», а также смещение передаваемой информации из одного сообщения в другое, тогда как при МОФТ они вызывают в худшем случае одиночную ошибку в каждом из сообщений. К тому же при МОФТ возможен и некогерентный прием, когда опорное напряжение с фиксированной фазой вообще не нужно.
При когерентном приеме начальная фаза переданной реализации сигнала отождествляется так же, как в системе МФТ, а затем путем сравнения с фазой, определенной в предыдущем элементе, находится переданная совокупность символов всех сообщений. Следовательно, как и в системах МФТ, правила решения, основанные на минимизации
или
, оказываются эквивалентными. Это верно и для некогерентного приема [13].
Вероятности ошибок при когерентном приеме МОФТ можно оценить, пользуясь результатами, полученными выше для МФТ. При этом нужно учитывать, что изолированная ошибка в определении фазы приходящего сигнала вызывает две смежные ошибки при определении разности фаз соседних элементов. В случае
смежных ошибок в определении фазы сигнала, число ошибок в определении разностей фаз может принимать значение от 2 (если все погрешности в определении фазы совпадают по величине и знаку) до
, если погрешности в определении фазы различны. Поэтому вероятность общей ошибки при когерентном приеме МОФТ
можно оценить неравенством
. (9.50)
При малых вероятностях ошибок, когда подавляющее большинство ошибок в определении фазы изолировано, это неравенство дает очень точную оценку. Поэтому при
в соответствии с (9.36)
, (9.51)
что совпадает с оценкой (4.109), а при
в соответствии с (9.37)
. (9.52)
Этими приближенными равенствами можно поливаться только при
.
Несколько труднее получить оценки для вероятностей ошибок
в отдельных сообщениях. Заметим, что здесь нельзя подковаться непосредственно теми соображениями, на основании которых была выведена формула (4.99) для двоичной ОФТ, как это допущено в [19]. Дело в том, что при ошибочном определении фазы принимаемого сигнала и
в
-м сообщении возникает, как правило, одиночная ошибка. В следующем же элементе сигнала возникает ошибка при определении символа другого сообщения. В этом легко убедиться, рассматривая, например, табл. 9.1 для кода Грея при
. Для системы МОФТ значения
в первом столбце следует понимать как разность фаз соседних элементов. Пусть, например, передается совокупность символов 0011, которой соответствует разность фаз
. Если фаза принимаемого элемента определена с погрешностью
, то разность фаз будет оценена как
, чему соответствует совокупность символов 0010, т. е. возникнет ошибка в 4-м сообщении. Пусть вслед за этим передаются символы 0101, чему соответствует разность фаз
. Если фаза приходящего сигнала определена верно, то разность фаз будет принята как
поскольку фаза предыдущего элемента была завышена на
. Это значит, что вместо символов 0101 будут приняты 0111, т. е. ошибка произойдет в 3-м сообщении. Тем не менее в случае использования кода Грея и достаточно высокой верности ошибка в отождествлении переданного сигнала приводит, как правило, к ошибочному определению двух символов, хотя они могут относиться и к различным сообщениям. Следовательно,
.
Переходим к рассмотрению оптимального некогерентного приема сигналов МОФТ. Как было показано в §4.6, для построения решающей схемы следует рассматривать сигналы с относительной фазовой манипуляцией на интервале
. Тогда каждой совокупности символов соответствует одна из двух реализаций сигнала, в которых начальная фаза случайна.
Реализация «элемента» сигнала МОФТ представляет собой
(9.53)
где
— разность фаз, несущая информацию о передаваемой совокупности символов и принимающая значения

— произвольный постоянный сдвиг фазы, равный для большинства используемых систем нулю либо
;
— случайная начальная фаза.
Для минимизации
остается справедливым общее правило решения при некогерентном приеме (4.28) и вытекающие из него решающие схемы. Так как МОФТ является системой с активной паузой, а под элементом сигнала здесь следует понимать отрезок длительностью
, решающая схема должна выбирать реализацию
, если
(9.54)
Преобразуем входящие сюда выражения:
.
Будем полагать, что
, где
— целое число, Тогда

где
и
— коэффициенты разложения
в ряд Фурье на интервале
соответственно при
и
.
Аналогично,
,
где
и
— такие же коэффициенты ряда Фурье для
на интервале
.

Таким образом, правило решения (9.54) можно записать в следующей форме:

что после раскрытия скобок и приведения подобных членов даст
(9.55)
Обозначим через
случайную величину:
. (9.56)
Правило (9.55) можно представить так:
,
или
,
или, учитывая, что
и
не превышают
,
. (9.57)
что по форме совпадает с (9.32), хотя входящие сюда величины имеют другой смысл. Заметим, что математическое ожидание
равно передаваемой разности фаз
.
Как уже отмечалось в § 4.6, для приема сигналов ОФ'Г можно использовать обычные для оптимального некогерентного приема решающие схемы, например квадратурную, с согласованными фильтрами и детекторами огибающей и др. То же относится и к МОФТ. Однако здесь возможны и другие решающие схемы, в которых принимаются раздельные решения для
сообщений. Так, в [14] предложена решающая схема, основанная на алгоритме (9.57) для любой кратности уплотнения, при условии применения кода Грэя.
Как легко видеть, при коде Грэя из (9.57) следует, что символ «0» в 1-м сообщении регистрируется, если
, во 2-м сообщении — если
, в 3-м сообщении — если
, в 4-м сообщении — если
; вообще в
-м сообщении (
) регистрируется «0», если
. Другими словами, в 1-м сообщении «0» регистрируется, если
, а в остальных сообщениях — если
.
Это позволяет построить решающую схему рис. 9.11. Принимаемый сигнал проходит через фильтр СФ согласованный с отрезком синусоиды частотой
и длительностью
. В моменты отсчета, кратные
, синусная и косинусная составляющие выходного напряжения этого фильтра кратны
и
. Это напряжение сдвигается по фазе на
и перемножается с таким же напряжением, задержанным на время
. После интегрирования получается напряжение, пропорциональное, как легко видеть,
, т. е. совпадающее по знаку с
. На втором перемножителе производится та же операция без поворота фазы, т. е. получается напряжение, совпадающее по знаку с
. На каждый последующий перемножитель прямое и задержанное напряжения поступают после умножения частоты на 2. Таким образом, определяются знаки величин
, по которым принимаются решения для всех сообщений.
Укажем еще одну решающую схему для ДОФТ (
), впервые использованную в системе МС-1 [9].

Рис. 9.11. Автокорреляционная решающая схема для сообщений в системе МОФТ.
Пусть символам 00 соответствует
, символам 01 —
, символам 11—
и символам 10 —
. Подставив эти значения
в (9.55), получим, что символы 00 должны регистрироваться, если
;
символы 01 — если
;
символы 11 — если
;
символы 10 — если
.
Из этих неравенств легко заметить, что в 1-м сообщении символ «0» должен регистрироваться, если
, (9.58)
а во втором сообщении — если
. (9.59)
На основании этого алгоритма построена квадратурная решающая схема рис. 9.12 [9], которая не нуждается в дальнейших пояснениях. Заметим лишь, что одним из ее достоинств является то, что запоминающее устройство должно «помнить» только величину постоянного напряжения, в отличие от линий задержки в схеме рис. 9.11 и других автокорреляционных схемах, где запоминается фаза переменного напряжения.

Рис. 9.12. Квадратурная (корреляционная) схема приема сигналов ДОФТ:
ЗУ — запоминающее устройство на время
;
— сумматор; -1 — инвертор полярности.
Определение вероятностей ошибок при некогерентном приеме начнем с системы ДОФТ. Оценка общей вероятности ошибок
для этой системы была получена в (4.111).
Пусть символы 00 передаются разностью фаз
, символы 01 —
, символы 11 —
и символы 10 —
. Тогда правило (9.57) можно представить в следующей форме: символ «0» в 1-м сообщении регистрируется, если
, а во 2-м сообщении — если
. На основании (9.56) правило регистрации символа «0» в 1-м сообщении можно записать и так:
. (9.60)
Для вычисления вероятности ошибки в первом сообщении следует найти вероятность нарушения неравенства (9.60) при условии, что передавалась разность фаз
либо
. Обозначим через
вероятность того, что неравенство (9.60) не будет выполнено, если передавалась разность фаз
. В работе [11] путем исследования распределения вероятностей квадратичной формы (9.60) показано, что при отсутствии замираний
, (9.61)
где
— Q-функция (4.53). Подробный вывод формулы (9.61) изложен в монографии [9].
Символ «0» в 1-м сообщении может передаваться разностями фаз
или
. Поскольку
,
вероятность ошибки в первом сообщении ДОФТ при передаче символа «0» равна
. (9.62)
Из соображений симметрии ясно, что такова же будет вероятность ошибки при передаче символа «1», а также, что
.
Для той же системы при медленных релеевских замираниях
. (9.63)
Эта формула может быть получена путем усреднения (9.62) по релеевской случайной величине
либо путем исследования квадратичной формы (9.60).
Достаточно просто вычисляются вероятности ошибок в первом и втором сообщениях трехкратной системы при использовании кода Грэя. Пусть
т. е.
принимает значения
. При этом символу “0” в первом сообщении соответствуют разности фаз от
до
. Такое решение согласно (9.57) должно приниматься, если
, что опять приводит к правилу (9.60). Но вероятность нарушения неравенства (9.60) теперь зависит от того, какая из указанных четырех разностей фаз передавалась, т. е. от символов других сообщений. Средняя вероятность ошибки в 1-м сообщении равна
(9.64)
Нетрудно убедиться, что такова же будет вероятность ошибки
во втором сообщении. Что же касается третьего сообщения, то для него вероятность ошибки
, как и при когерентном приеме, больше, чем
и
. Общие методы вычисления
, а также вероятностей ошибок
в различных сообщениях системы МОФТ при
изложены в [11], однако, по-видимому, эти расчеты до численных результатов никем не были доведены.
На рис. 9.13, заимствованном из [9], представлены зависимости средней вероятности ошибок
при оптимальных когерентном и некогерентном приеме в системах ЛЮФТ, вычисленные по приведенным формулам для канала без замираний. Здесь отчетливо видно, что с увеличением кратности уплотнения вероятность ошибки существенно возрастает, а также увеличивается энергетический выигрыш когерентного приема по сравнению с некогерентным. Этот выигрыш, едва заметный при
, быстро возрастает с увеличением
до 2 раз по мощности.

Рис. 9.13. Средние вероятности ошибок в сообщениях системы МОФТ при когерентном (сплошные линии) и некогерентном (пунктир) приеме.
При увеличении скорости замираний вероятность ошибок в системах МОФТ возрастает и так же, как в однократной системе ОФТ, не стремится к нулю с увеличением
. Зависимость вероятностей ошибок от скорости замираний может быть найдена методами, описанными в гл. 5. Результаты изложены в работах [9, 11, 15, 16]. В работе [15] исследована помехоустойчивость системы ДОФТ при разнесенном приеме.