Системы МОФТ

В системах с многократной относительной фазовой манипуляцией (МОФТ) информация содержится в разности фаз между соседними элементами сигнала. Другими словами, они отличаются от МФТ тем, что отсчет фазы каждого элемента производится не от постоянной «опорной фазы», а от фазы предыдущего элемента сигнала. Разности фаз между соседними элементами принимают  различных значений. При  эти значения равны

,                   (9.49)

где , а — произвольная постоянная разность фаз, которая в большинстве существующих систем равна нулю, но иногда отличается от нуля, что используется для облегчения формирования сигнала, а также для синхронизации [12]. Очевидно, что значение  не влияет на помехоустойчивость.

По сравнению с МФТ, системы МОФТ имеют то преимущество, что при когерентном приеме они не столь чувствительны к спонтанным перескокам фазы опорного напряжения. Последние вызывают при МФТ «обратную работу», а также смещение передаваемой информации из одного сообщения в другое, тогда как при МОФТ они вызывают в худшем случае одиночную ошибку в каждом из сообщений. К тому же при МОФТ возможен и некогерентный прием, когда опорное напряжение с фиксированной фазой вообще не нужно.

При когерентном приеме начальная фаза переданной реализации сигнала отождествляется так же, как в системе МФТ, а затем путем сравнения с фазой, определенной в предыдущем элементе, находится переданная совокупность символов всех сообщений. Следовательно, как и в системах МФТ, правила решения, основанные на минимизации  или , оказываются эквивалентными. Это верно и для некогерентного приема [13].

Вероятности ошибок при когерентном приеме МОФТ можно оценить, пользуясь результатами, полученными выше для МФТ. При этом нужно учитывать, что изолированная ошибка в определении фазы приходящего сигнала вызывает две смежные ошибки при определении разности фаз соседних элементов. В случае  смежных ошибок в определении фазы сигнала, число ошибок в определении разностей фаз может принимать значение от 2 (если все погрешности в определении фазы совпадают по величине и знаку) до , если погрешности в определении фазы различны. Поэтому вероятность общей ошибки при когерентном приеме МОФТ  можно оценить неравенством

.                 (9.50)

При малых вероятностях ошибок, когда подавляющее большинство ошибок в определении фазы изолировано, это неравенство дает очень точную оценку. Поэтому при  в соответствии с (9.36)

,                      (9.51)

что совпадает с оценкой (4.109), а при  в соответствии с (9.37)

.                    (9.52)

Этими приближенными равенствами можно поливаться только при .

Несколько труднее получить оценки для вероятностей ошибок  в отдельных сообщениях. Заметим, что здесь нельзя подковаться непосредственно теми соображениями, на основании которых была выведена формула (4.99) для двоичной ОФТ, как это допущено в [19]. Дело в том, что при ошибочном определении фазы принимаемого сигнала и  в -м сообщении возникает, как правило, одиночная ошибка. В следующем же элементе сигнала возникает ошибка при определении символа другого сообщения. В этом легко убедиться, рассматривая, например, табл. 9.1 для кода Грея при . Для системы МОФТ значения  в первом столбце следует понимать как разность фаз соседних элементов. Пусть, например, передается совокупность символов 0011, которой соответствует разность фаз . Если фаза принимаемого элемента определена с погрешностью , то разность фаз будет оценена как , чему соответствует совокупность символов 0010, т. е. возникнет ошибка в 4-м сообщении. Пусть вслед за этим передаются символы 0101, чему соответствует разность фаз . Если фаза приходящего сигнала определена верно, то разность фаз будет принята как  поскольку фаза предыдущего элемента была завышена на . Это значит, что вместо символов 0101 будут приняты 0111, т. е. ошибка произойдет в 3-м сообщении. Тем не менее в случае использования кода Грея и достаточно высокой верности ошибка в отождествлении переданного сигнала приводит, как правило, к ошибочному определению двух символов, хотя они могут относиться и к различным сообщениям. Следовательно,

.

Переходим к рассмотрению оптимального некогерентного приема сигналов МОФТ. Как было показано в §4.6, для построения решающей схемы следует рассматривать сигналы с относительной фазовой манипуляцией на интервале . Тогда каждой совокупности символов соответствует одна из двух реализаций сигнала, в которых начальная фаза случайна.

Реализация «элемента» сигнала МОФТ представляет собой

                           (9.53)

где  — разность фаз, несущая информацию о передаваемой совокупности символов и принимающая значения

  — произвольный постоянный сдвиг фазы, равный для большинства используемых систем нулю либо ; — случайная начальная фаза.

Для минимизации  остается справедливым общее правило решения при некогерентном приеме (4.28) и вытекающие из него решающие схемы. Так как МОФТ является системой с активной паузой, а под элементом сигнала здесь следует понимать отрезок длительностью , решающая схема должна выбирать реализацию , если

                                       (9.54)

Преобразуем входящие сюда выражения:

.

Будем полагать, что , где  — целое число, Тогда

где  и  — коэффициенты разложения  в ряд Фурье на интервале  соответственно при  и .

Аналогично,

,

где  и  — такие же коэффициенты ряда Фурье для  на интервале .

Таким образом, правило решения (9.54) можно записать в следующей форме:

что после раскрытия скобок и приведения подобных членов даст

                                     (9.55)

Обозначим через  случайную величину:

.                         (9.56)

Правило (9.55) можно представить так:

,

или

,

или, учитывая, что  и  не превышают ,

.                      (9.57)

что по форме совпадает с (9.32), хотя входящие сюда величины имеют другой смысл. Заметим, что математическое ожидание  равно передаваемой разности фаз .

Как уже отмечалось в § 4.6, для приема сигналов ОФ'Г можно использовать обычные для оптимального некогерентного приема решающие схемы, например квадратурную, с согласованными фильтрами и детекторами огибающей и др. То же относится и к МОФТ. Однако здесь возможны и другие решающие схемы, в которых принимаются раздельные решения для  сообщений. Так, в [14] предложена решающая схема, основанная на алгоритме (9.57) для любой кратности уплотнения, при условии применения кода Грэя.

Как легко видеть, при коде Грэя из (9.57) следует, что символ «0» в 1-м сообщении регистрируется, если , во 2-м сообщении — если , в 3-м сообщении — если , в 4-м сообщении — если ; вообще в -м сообщении () регистрируется «0», если . Другими словами, в 1-м сообщении «0» регистрируется, если , а в остальных сообщениях — если .

Это позволяет построить решающую схему рис. 9.11. Принимаемый сигнал проходит через фильтр СФ согласованный с отрезком синусоиды частотой  и длительностью . В моменты отсчета, кратные , синусная и косинусная составляющие выходного напряжения этого фильтра кратны  и . Это напряжение сдвигается по фазе на  и перемножается с таким же напряжением, задержанным на время . После интегрирования получается напряжение, пропорциональное, как легко видеть, , т. е. совпадающее по знаку с . На втором перемножителе производится та же операция без поворота фазы, т. е. получается напряжение, совпадающее по знаку с . На каждый последующий перемножитель прямое и задержанное напряжения поступают после умножения частоты на 2. Таким образом, определяются знаки величин , по которым принимаются решения для всех сообщений.

Укажем еще одну решающую схему для ДОФТ (), впервые использованную в системе МС-1 [9].

Рис. 9.11. Автокорреляционная решающая схема для сообщений в системе МОФТ.

Пусть символам 00 соответствует , символам 01 — , символам 11—  и символам 10 — . Подставив эти значения  в (9.55), получим, что символы 00 должны регистрироваться, если

;

символы 01 — если

;

символы 11 — если

;

 символы 10 — если

.

Из этих неравенств легко заметить, что в 1-м сообщении символ «0» должен регистрироваться, если

,                      (9.58)

 а во втором сообщении — если

.                      (9.59)

На основании этого алгоритма построена квадратурная решающая схема рис. 9.12 [9], которая не нуждается в дальнейших пояснениях. Заметим лишь, что одним из ее достоинств является то, что запоминающее устройство должно «помнить» только величину постоянного напряжения, в отличие от линий задержки в схеме рис. 9.11 и других автокорреляционных схемах, где запоминается фаза переменного напряжения.

Рис. 9.12. Квадратурная (корреляционная) схема приема сигналов ДОФТ:

ЗУ — запоминающее устройство на время ;  — сумматор; -1 — инвертор полярности.

Определение вероятностей ошибок при некогерентном приеме начнем с системы ДОФТ. Оценка общей вероятности ошибок  для этой системы была получена в (4.111).

Пусть символы 00 передаются разностью фаз , символы 01 — , символы 11 —  и символы 10 — . Тогда правило (9.57) можно представить в следующей форме: символ «0» в 1-м сообщении регистрируется, если , а во 2-м сообщении — если . На основании (9.56) правило регистрации символа «0» в 1-м сообщении можно записать и так:

.                        (9.60)

Для вычисления вероятности ошибки в первом сообщении следует найти вероятность нарушения неравенства (9.60) при условии, что передавалась разность фаз  либо . Обозначим через  вероятность того, что неравенство (9.60) не будет выполнено, если передавалась разность фаз . В работе [11] путем исследования распределения вероятностей квадратичной формы (9.60) показано, что при отсутствии замираний

,                              (9.61)

где  — Q-функция (4.53). Подробный вывод формулы (9.61) изложен в монографии [9].

Символ «0» в 1-м сообщении может передаваться разностями фаз   или . Поскольку

,

вероятность ошибки в первом сообщении ДОФТ при передаче символа «0» равна

.                         (9.62)

Из соображений симметрии ясно, что такова же будет вероятность ошибки при передаче символа «1», а также, что .

Для той же системы при медленных релеевских замираниях

.                       (9.63)

Эта формула может быть получена путем усреднения (9.62) по релеевской случайной величине  либо путем исследования квадратичной формы (9.60).

Достаточно просто вычисляются вероятности ошибок в первом и втором сообщениях трехкратной системы при использовании кода Грэя. Пусть  т. е.  принимает значения . При этом символу “0” в первом сообщении соответствуют разности фаз от  до . Такое решение согласно (9.57) должно приниматься, если , что опять приводит к правилу (9.60). Но вероятность нарушения неравенства (9.60) теперь зависит от того, какая из указанных четырех разностей фаз передавалась, т. е. от символов других сообщений. Средняя вероятность ошибки в 1-м сообщении равна

                                                (9.64)

Нетрудно убедиться, что такова же будет вероятность ошибки  во втором сообщении. Что же касается третьего сообщения, то для него вероятность ошибки , как и при когерентном приеме, больше, чем  и . Общие методы вычисления , а также вероятностей ошибок  в различных сообщениях системы МОФТ при  изложены в [11], однако, по-видимому, эти расчеты до численных результатов никем не были доведены.

На рис. 9.13, заимствованном из [9], представлены зависимости средней вероятности ошибок  при оптимальных когерентном и некогерентном приеме в системах ЛЮФТ, вычисленные по приведенным формулам для канала без замираний. Здесь отчетливо видно, что с увеличением кратности уплотнения вероятность ошибки существенно возрастает, а также увеличивается энергетический выигрыш когерентного приема по сравнению с некогерентным. Этот выигрыш, едва заметный при , быстро возрастает с увеличением  до 2 раз по мощности.

Рис. 9.13. Средние вероятности ошибок в сообщениях системы МОФТ при когерентном (сплошные линии) и некогерентном (пунктир) приеме.

При увеличении скорости замираний вероятность ошибок в системах МОФТ возрастает и так же, как в однократной системе ОФТ, не стремится к нулю с увеличением . Зависимость вероятностей ошибок от скорости замираний может быть найдена методами, описанными в гл. 5. Результаты изложены в работах [9, 11, 15, 16]. В работе [15] исследована помехоустойчивость системы ДОФТ при разнесенном приеме.