Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


14 ВЕТВЛЕНИЕ И ФРАКТАЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ

В главе 6 мы рассматриваем плоские кривые Коха с размерностью , которые не содержат двойных точек, благодаря чему их можно назвать лишенными самопересечений или неразветвленными. А глава 7 посвящена кривым Пеано, неизбежным пределом для которых являются повсюду плотные двойные точки. В настоящей главе мы намерены сделать следующий шаг и исследовать некоторые примеры намеренно разветвленных самоподобных фигур: плоских кривых (), пространственных кривых () и поверхностей (). Количество двойных точек в разветвленной самоподобной кривой стремится к бесконечности.

Математический аппарат, используемый в этой главе, не нов (хотя и известен очень немногим специалистам) — новым является мое применение его для описания Природы.

САЛФЕТКА СЕРПИНСКОГО - ОЧЕРЕДНОЕ ЧУДОВИЩЕ

Я предложил термин салфетка Серпинского для обозначения фигуры, изображенной на рис. 205. На рис. 207 показан пространственный вариант той же фигуры. Процедуры их построения описаны в пояснениях к рисункам.

У Хана [190] читаем: «Точка кривой называется точкой ветвления, если граница сколь угодно малой ее окрестности содержит более чем две точки, принадлежащие той же кривой... Здравый смысл, судя по всему, настаивает на том, что никакая кривая просто не может состоять из одних лишь ... точек ветвления. Это очевидное убеждение опровергается ... кривой Серпинского, все точки которой являются точками ветвления».

ЭЙФЕЛЕВА БАШНЯ: ПРОЧНОСТЬ И ИЗЯЩЕСТВО

И опять Хан со своими взглядами сел в лужу, хотя надо признать, что не характерный для него выбор слов («судя по всему») оказывается весьма мудр. Мой первый контраргумент позаимствован из достижений инженерной мысли. (Перед тем, как приступить к рассмотрению компьютерных структур в конце главы 12, я уже говорил о том, что не усматриваю ничего нелогичного во включении искусственных систем со сложной структурой в настоящий труд, посвященный феноменам Природы.)

Я утверждаю, что (задолго до Коха, Пеано и Серпинского) в построенной Гюставом Эйфелем в Париже башне была осознанно воплощена идея фрактальной кривой, содержащей множество точек ветвления.

В первом приближении Эйфелева башня состоит из четырех А-образных элементов. Согласно легенде, Эйфель выбрал букву А, чтобы выразить в своей башне слово Amour. Все четыре А-образных элемента имеют общую вершину, а соседние А — общее ребро. Кроме того, на верхушке возвышается еще одна, прямая, башня.

Заметьте, что и А-элементы, и верхняя башня сделаны не из цельных балок, а из колоссальных ферм. Фермой называется жестко скрепленная совокупность взаимосвязанных звеньев, каждое из которых не может быть деформировано без деформации, по крайней мере, одного из соседних звеньев. При одинаковой прочности фермы оказываются значительно легче цельных цилиндрических балок. А Эйфель сообразил, что фермы, звенья которых сами являются фермами, еще легче.

Бакминстер Фуллер открыл миру глаза на то, что секрет прочности скрыт в точках ветвления, однако умудренные опытом строители готических соборов знали об этом задолго до него. Чем дальше мы заходим в применении этого принципа, тем ближе подбираемся к идеалу Серпинского! Бывший ученик Безиковича Фримен Дайсон в поисках прочных и легких конструкций для своих межпланетных построек описал однажды бесконечно экстраполированную Эйфелеву башню ([125], с. 646).

КРИТИЧЕСКИЕ ПЕРКОЛЯЦИОННЫЕ КЛАСТЕРЫ

Вернемся снова к природе, вернее, к образу природы, описываемому статистической физикой. Я полагаю, что при изучении перколяции сквозь решетки нам просто не обойтись без кого-нибудь из родственников салфетки Серпинского. В главе 13, открывающей рассмотрение данного прецедента, утверждалось, что перколяционные кластеры фрактальны. Теперь я пойду дальше и скажу, что разветвленная структура салфетки Серпинского представляет собой весьма многообещающую модель структуры магистралей кластеров.

Физики оценят эту модель главным образом по тому факту, что она работает, и работает быстро: в статье [166] показано, что с помощью такой модели можно выполнять обычные вычисления точно. Подробности слишком специальны для того, чтобы войти в настоящее эссе, а вот причины, благодаря которым я пришел к этим выводам, могут оказаться интересными. Впервые я задумался об этом, когда заметил сходство между салфеткой Серпинского и магистралями кластеров, показанными на следующем рисунке:

Наиболее явная причина заключена в тремах, оставшихся пустыми после удаления болтающихся связей (образовавшихся после сокращения кластера до магистрали) и кластеров, целиком содержащихся внутри заинтересовавшего меня кластера. Вторая причина: в главе 13 мы показали, что самоподобие является в высшей степени желательным свойством для геометрической модели перколяционного кластера, а ветвление салфетки Серпинского как раз самоподобно. И наконец, размерности этих двух структур настолько близки, что это едва ли может быть простым совпадением! Согласно оценке С. Киркпатрика, плоский кластер имеет размерность  — поразительно близко к размерности  салфетки Серпинского! Размерность же пространственного кластера  почти совпадает с фрактальной размерностью асимметричной паутины на рис. 207. Кроме того, в [166] показано, что идентичность размерности  магистрали и размерности обобщенной салфетки сохраняется и в . Еще один аргумент в пользу «салфеточной» модели мы представим несколько позже в виде последнего приложения ветвления.

ТРОИЧНЫЙ КОВЕР СЕРПИНСКОГО

Перейдем от треугольных решеток к прямоугольным. Они демонстрируют большое разнообразие возможных конструкций — кривых на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве. Что касается кривых, то они, несмотря на внешнее сходство с салфеткой Серпинского, весьма отличны от нее с фундаментальной точки зрения на ветвление, к которой мы еще вернемся после определения этих кривых.

Буквальное распространение на плоскость канторова метода удаления средних третей описано в пояснении к рис. 205; инициатором такого построения служит квадрат. Фрактал, получаемый бесконечным повторением этого процесса, широко известен под непритязательным названием троичного ковра Серпинского. Его размерность .

НЕТРОИЧНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ КОВРЫ

Для построения «ковра с большим медальоном в центре» запишем, как обычно, , где  — целое число, большее 3; в качестве инициатора возьмем квадрат, в качестве тремы — квадрат со стороной  с центром в той же точке, а в качестве генератора — узкое кольцо из  квадратов со стороной . Размерность такого ковра имеет вид . Если взять нечетное целое , в качестве тремы — один подквадрат со стороной г и с центром в той же точке, что и центр инициатора, а в качестве генератора — широкое кольцо из  малых квадратов, то получится «ковер с малым медальоном в центре». Размерность такого ковра имеет вид . Таким образом, в центрированных коврах можно получить сколь угодно близкое приближение к любому значению  в интервале от 1 до 2.

Нецентрированные ковры определяются при . Например, при  и  можно разместить трему, состоящую из одного подквадрата, в правом верхнем подквадрате. Соответствующее предельное множество оказывается салфеткой Серпинского, построенной из треугольника, образующего левую нижнюю половину квадрата.

ТРОИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ПЕНА

Буквальное распространение троичного ковра на пространство начинается с удаления из куба в качестве тремы среднего подкуба (27-й части объема исходного куба), после чего остается «оболочка» из 26 подкубов. Получаемый посредством такой процедуры фрактал я предлагаю назвать троичной фрактальной пеной. Ее размерность .

Каждая трема здесь со всех сторон окружена непрерывной границей, разделенной на бесконечное множество бесконечно тонких слоев бесконечной плотности. Для того, чтобы попасть из точки, расположенной в одной треме, в точку, расположенную в другой треме, необходимо пройти сквозь бесконечное количество слоев. Это напоминает «пространственно-временную пену», которая, согласно Дж. А. Уилеру и Дж. У. Хокингу, составляет тончайшую структуру материи. Вынужден, однако, признаться, что я не владею этой темой в достаточной степени, поэтому не решусь обсуждать ее здесь.

ТРОИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ГУБКА МЕНГЕРА

Карл Менгер предлагает в качестве тремы другую фигуру: крест, из центра которого спереди и сзади торчит по выступу. При этом от куба остается  связанных друг с другом подкубов со стороной 1/3. Из этих подкубов двенадцать образуют «брусья» или веревки, а остальные восемь являются узлами или соединителями. Размерность предельного множества (см. рис. 208) составляет . Я называю эту структуру губкой, так как здесь и творог, и сыворотка представляют собой связные множества. Можно представить себе, как между двумя любыми точками области сыворотки свободно течет вода.

Чтобы получить комбинацию веревок и листов, возьмем в качестве тремы троичный крест всего лишь с одним выступом — спереди. А если при этом время от времени менять направление выступа, то листы в предельной конструкции получатся дырявыми. Возможно, здесь следует упомянуть и о том, что я размышлял обо всех этих формах, когда искал модели для описания турбулентной перемежаемости, — еще до того, как прочел о них у Менгера.

НЕТРОИЧНЫЕ ГУБКИ И ПЕНЫ

Для получения обобщенных губок Менгера с нетроичным основанием , трема должна представлять собой комбинацию из трех цилиндров с квадратными основаниями с соблюдением следующих условий: ось каждого из цилиндров должна совпадать с одной из осей единичного куба, длина каждого цилиндра должна быть равна 1, а стороны его основания должны быть параллельны другим осям куба. Чем больше длина стороны основания, тем «легче» получаемая губка. Наибольшая возможная длина стороны основания для случая  составляет , генератор при этом имеет вид комбинации  кубов со стороной . Отсюда размерность . Аналогичным образом получаем «плотную» губку (только при нечетном ) — длина стороны основания цилиндра в этом случае равна . При  генератор имеет вид комбинации  кубов со стороной  . И размерность теперь равна .

Фрактальные пены обобщаются аналогичным образом. При  «густые» пены дают размерность , а «разреженные» — . Если пустоты велики, а размерность близка к 2, то пена похожа на чрезмерно ноздреватый эмментальский сыр; при малых пустотах и  пена напоминает другой изысканный сыр — аппенцелльский.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПУСТОТ

Тремы губок сливаются в одно целое, в то время как тремы ковров и пен представляют собой изолированные друг от друга пустоты, подобные паузам в канторовой пыли (см. главу 8). Распределение их линейного масштаба  подчиняется правилу

,

где  — константа. Это правило нам хорошо известно еще с рассмотрения пустот в канторовой пыли, а также островов и кластеров в главе 13.

ПОНЯТИЕ О ФРАКТАЛЬНОЙ СЕТИ. РЕШЕТКИ

Решеткой в стандартной геометрии называется совокупность параллельных прямых, ограничивающих одинаковые квадраты, треугольники или другие регулярные фигуры. Этот же термин, судя по всему, применим и к правильным фракталам, любые две точки которых могут быть соединены одна с другой двумя различными путями, нигде более не пересекающимися. В случае неправильного — например, случайного — фрактала решетку я заменяю сетью.

При более внимательном сравнении стандартных и фрактальных решеток становятся заметны весьма значительные различия. Первое заключается в том, что стандартные решетки инвариантны при сдвигах, но не при масштабировании, тогда как для фрактальных решеток верно обратное. Второе различие: при уменьшении размера ячейки стандартной решетки решетка в пределе сходится в плоскость. Кроме того, некоторые стандартные решетки можно интерполировать, помещая дополнительные прямые посередине между уже существующими прямыми и продолжая этот процесс до бесконечности. В этом случае решетка также сходится в плоскость. Аналогичным образом, если возможна интерполяция стандартной пространственной решетки, то пределом ее становится все пространство. То есть предел стандартной решетки не является решеткой. В случае фракталов ситуация прямо противоположна: пределом приближенной фрактальной решетки является фрактальная же решетка.

Термин применим и к фрактальным пенам — их можно считать разветвленными фрактальными решетками.

ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Основное правило. Во многих случаях при изучении фракталов важно знать размерности линейных и плоских сечений. Основное наблюдение здесь (мы воспользовались им в главе 10 для того, чтобы показать, что размерность турбулентности ) касается сечения плоской фрактальной фигуры интервалом, «независимым от фрактала». Оказывается, если сечение непусто, то его размерность «почти наверняка» составляет величину .

Соответствующее значение для пространственного случая .

Исключения. К сожалению, этот результат весьма сложно проиллюстрировать, имея дело с неслучайными фракталами, обладающими осями симметрии. Интервалы, на которые мы первым делом обращаем внимание, параллельны этим осям и, как следствие, нетипичны, а почти любое простое сечение каким-либо другим интервалом принадлежит исключительному множеству, к которому общее правило не применимо.

Возьмем, например, ковер Серпинского, троичную губку Менгера и троичную пену. Значение , которое почти наверняка должно оказаться размерностью сечения плоской фигуры отрезком, будет, соответственно, равно:

 и

.

Обозначим через х абсциссу интервала, параллельного оси у ковра Серпинского. Если число , записанное в троичной системе счисления, оканчивается на бесконечную последовательность нулей и двоек, то сечения сами представляют собой интервалы, а значит  — больше, чем мы ожидали. Если же х оканчивается на бесконечную последовательность единиц, то сечения являются пылевидными канторовыми множествами с размерностью , которая слишком мала. А если  оканчивается периодической последовательностью периода , включающей в себя  единиц и  нулей или двоек, то размерность сечений имеет вид . Ожидаемое значение  получается лишь при . < То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа . ► Таким образом, мы получаем три различных размерности — наибольшую, наименьшую и среднюю.

Очень похожие результаты получаются и в пространственном случае.

Что касается салфетки Серпинского, ее наиболее вероятная размерность , однако значения размерности «естественных» сечений варьируются от 1 до 0. Например, если короткий интервал, проходящий через середину одной из сторон салфетки, достаточно близок к перпендикуляру, то его пересечением с салфеткой будет одна-единственная точка (размерность сечения ).

Разнообразие этих особых сечений отчасти объясняется регулярностью исходных фигур. С другой стороны, наиболее экономичное сечение (причем необязательно прямой линией) неизбежно является основой понятий топологической размерности и степени ветвления, к которым мы сейчас и переходим.

РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ФРАКТАЛЫ КАК КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ

Как мы уже отмечали, термин «кривая» используется в настоящем эссе как эквивалент фразы «связная фигура с топологической размерностью ». Вообще говоря, математик сочтет такую формулировку не совсем удовлетворительной, точные же выражения для этого понятия весьма деликатны. К счастью, для того, чтобы объяснить, почему любая кривая Коха с инициатором [0, 1] заслуживает звания кривой, нам в главе 6 хватало одного простого соображения: как и сам интервал [0, 1], кривая Коха связна, однако становится несвязной при удалении любой принадлежащей ей точки кроме 0 и 1. А граница снежинки похожа в этом отношении на окружность — она связна, но становится несвязной, если удалить любые две ее точки.

Выражаясь более педантично (как нам теперь и подобает), топологическая размерность определяется рекурсивно. Для пустого множества . Для любого другого множества  значение  на единицу больше, чем наименьшая размерность  разъединяющего множество  «сечения». Размерность конечных и канторовых пылевидных множеств , так как для их разъединения требуется удалить пустое множество. Следующие же связные множества становятся несвязными при удалении «сечения» с размерностью : окружность, интервал [0, 1], граница снежинки Коха, салфетка и ковер Серпинского, губки Менгера. (В трех последних случаях достаточно избежать особых сечений, включающих в себя интервалы.) Следовательно, размерность всех перечисленных множеств .

Исходя из тех же соображений, фрактальная пена представляет собой поверхность с размерностью .

Рассмотрим еще один вариант доказательства того, что для салфетки, всех ковров и всех губок с  топологическая размерность . Поскольку  есть целое число , из неравенства  следует, что  должна быть равна либо 0, либо 1. Но рассматриваемые множества являются связными, значит размерность  не может быть меньше 1. Единственное решение: .

СТЕПЕНЬ ВЕТВЛЕНИЯ КРИВОЙ

Топологическая размерность и соответствующие понятия пыли, кривой и поверхности дают нам лишь классификацию первого уровня.

В самом деле, два конечных множества, содержащих соответственно  и  точек, имеют одинаковую размерность , но различаются топологически. А канторова пыль отлична от любой конечной пыли.

Рассмотрим, как можно применить к кривым параллельное различие, основанное на количестве содержащихся в множестве точек (< его «мощности» ►), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике — любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

В понятие степени ветвления входит сечение множества, содержащее наименьшее количество точек, которые следует удалить для разъединения множества . Кроме того, оно включает в себя и окрестности всех точек , принадлежащих множеству .

Окружность. Для плавного перехода от стандартной геометрии к фрактальной начнем с того, что назовем множеством  окружность радиуса 1. Окружность  с центром в точке  пересекает  в  точках, за исключением тех случаев, когда радиус  больше 2 — при этом . Диск, ограниченный окружностью , называется окрестностью точки . Таким образом, любая точка  лежит в какой-либо произвольно малой окрестности, граница которой пересекает  в  точках. Вот, собственно, и все: если  является границей некоторой общей окрестности точки , не обязательно круглой, но «не слишком большой», то  равно, по меньшей мере, 2. Слова «не слишком большой» в предыдущем предложении могут, несомненно, внести путаницу, однако избежать их, к сожалению, не представляется возможным. Величина  называется степенью ветвления окружности. Заметим, что для всех точек окружности эта величина неизменна.

Салфетка. Положим теперь, что множество  — это салфетка Серпинского, построенная с помощью трем. Здесь  уже не является одинаковым для всех точек . Позвольте мне, воспользовавшись рассуждениями Серпинского, показать, что во всех точках множества, за исключением вершин инициатора, значение  может быть равным либо  либо.

Значение  относится к вершинам любого конечного приближения к  с помощью треугольников. Вершина для аппроксимации порядка  является общей вершиной  для двух треугольников с длиной стороны 2 . Окружности с центром в точке  и радиусом   (при ) пересекают множество  в 4 точках и ограничивают произвольно малые окрестности точки . А если  ограничивает «достаточно малую» окрестность точки  (при том, что вершины инициатора лежат вне ), то можно показать, что  пересекает , по меньшей мере, в 4 точках.

Значение  характеризует любую точку множества , являющуюся пределом бесконечной последовательности треугольников, каждый из которых содержится внутри предшествующего ему треугольника и имеет вершины, отличные от вершин своего предшественника. Окружности, описанные вокруг этих треугольников, пересекают множество  в 3 точках, ограничивая при этом произвольно малые окрестности точки . В этом случае, если  ограничивает достаточно малую окрестность точки  (вершины инициатора здесь также должны лежать вне ), то можно показать, что  пересекает , по меньшей мере, в 3 точках.

Ковры. Когда множество  является ковром Серпинского, мы получаем радикально иной результат. Пересечение границы любой достаточно малой окрестности и  представляет собой несчетно бесконечное множество точек, причем независимо от параметров ,   или .

Замечание. В этой дихотомии конечного/бесконечного салфетка немногим отличается от стандартных кривых, в то время как ковры неотличимы от плоскости.

Однородность. Единственность. Обозначив через  и   наименьшее и наибольшее значения , достижимые в точке, принадлежащей множеству , Урысон доказывает, что . Ветвление называется однородным, если выполняется равенство , так бывает, когда , как в простых замкнутых кривых, или когда .

Для других решеток, где , я предлагаю термин квазиоднородные. Самый простой и широкоизвестный пример таких решеток — самоподобная салфетка Серпинского. Другие неслучайные примеры входят в собранную Урысоном коллекцию (см. [571]) и не являются самоподобными. Таким образом, условиям квазиоднородности и самоподобности одновременно удовлетворяет только одно известное множество — салфетка Серпинского. Можно ли строго подтвердить эту, судя по всему, единственность?

Стандартные решетки. Здесь степень ветвления варьируется от минимального значения 2 для всех точек решетки, за исключением узлов, до переменного конечного максимального значения, достигаемого в узлах решетки: 4 (квадратная решетка), 6 (треугольная или кубическая решетка) или 3 (шестиугольная решетка). Однако по мере уменьшения размера ячейки стандартной решетки любого типа она трансформируется из кривой в область плоскости, и степень ее ветвления  устремляется к бесконечности.

Последнее становится более очевидным, если заменить бесконечно малое на бесконечно большое в решетке с фиксированным размером ячеек. Для того, чтобы изолировать все увеличивающуюся область решетки, придется пересечь неограниченно большое количество точек.

Формальное определение. < См. [426] и [38], с. 442. ►

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕТВЛЕНИЯ

Зададим себе привычный вопрос. Как бы ни занимали математиков фигуры Серпинского, Менгера и им подобные, не очевидно ли, что для человека, изучающего Природу, степень ветвления не может представлять никакого интереса? Ответ так же привычен — для нас с вами! — как и вопрос. Степень ветвления обретает значимость уже в «реальном мире» конечных аппроксимаций, получаемых при остановке ведущей к фракталу интерполяции при некотором положительном конечном внутреннем пороге .

В самом деле, если дано приближение салфетки Серпинского, составленное из заполненных треугольников с длиной стороны , то можно разъединить область, линейный масштаб которой превышает , простым удалением трех или четырех точек, каждая из которых принадлежит границе между двумя соседними пустотами. Это число (3 или 4) не изменяется при улучшении приближения. Следовательно, с точки зрения ветвления, все приближения салфетки можно считать кривыми.

Все ковры, напротив, обладают общим свойством: никакая пара пустот не имеет общей границы. Для разъединения конечного приближения такой фигуры, при рассмотрении которой мы игнорируем пустоты, меньшие , необходимо удалять целые интервалы. И количество этих интервалов возрастает по мере того, как . Уайберн [592] показал, что все фрактальные кривые, обладающие этим свойством, топологически идентичны (< гомеоморфны ►) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.

С учетом предыдущих замечаний неудивительно, что конечность ветвления находит столь явные и четко очерченные области применения в тех случаях, когда фрактальная геометрия оказывается призвана подробно определить, в какой пропорции плоская фрактальная кривая сочетает в себе два своих стандартных предела: прямую и плоскость. Обобщая, можно сказать, что знать фрактальную размерность кривой отнюдь не достаточно. Например, при исследовании критических феноменов для моделей Изинга на фрактальной решетке авторами работы [165] было установлено, что наиболее важные результаты (< будь то при нулевой или при положительной температуре ►) непосредственно зависят от конечности величины .

Вот и настало время дать объяснение, к которому мы ранее были не готовы. Причина, по которой магистраль кластера в критической бернуллиевой перколяции лучше моделируется салфеткой Серпинского, нежели ковром, проясняется следующим открытием Киркпатрика [265]. Даже в чрезвычайно больших решетках критическую магистраль можно разъединить удалением некоторого, по существу неизменного, малого количества связей (величины порядка 2). Даже принимая во внимание всевозможные отклонения, это открытие представляется мне весьма убедительным свидетельством того, что .

АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМА ВЕТВЛЕНИЯ

Существуют два варианта снежинки Коха, которые достигают ветвления без образования петель. Первый — плоская кривая, инициатором которой является квадрат, а генератор выглядит следующим образом:

Как видно из рисунка, получаемая кривая ничуть не похожа на снежинку:

Другой пример — поверхность с нулевым объемом, бесконечной площадью и размерностью, равной . Инициатором служит правильный тетраэдр. К средней четверти каждой грани (т. е. к треугольнику, вершинами которого являются середины ограничивающих грань ребер) приставляется другой тетраэдр, линейные размеры которого уменьшены в два раза. Процедура повторяется с каждой гранью получающегося в результате правильного (асимметричного и невыпуклого) 24-гранника, а затем снова и снова до бесконечности. Начиная со второго этапа построения, добавляемые тетраэдры касаются друг друга гранями без самопересечений. В конце концов они заполняют всю поверхность инициатора. Назовем каждую четверть этой конструкции, выросшую на одной из граней инициатора, пирамидой Коха.

ТАЙНЫ ПИРАМИДЫ КОХА

Пирамида Коха воистину чудесна — если смотреть сверху, форма ее очень проста, однако в ней скрыто множество потаенных ходов и камер, потрясающих даже самое смелое воображение.

Если смотреть сверху, пирамида Коха — это тетраэдр, основанием которого служит равносторонний треугольник. Что касается трех остальных граней, то они представляют собой прямые равнобедренные треугольники, соединенные вершинами при прямых углах. Если приложить три пирамиды Коха к трем граням правильного тетраэдра, то получится простой куб.

А теперь поднимем нашу пирамиду вверх и стряхнем с нее песок пустыни. Рассматривая ее основание с некоторого расстояния, мы видим, что оно разделяется на четыре равных равносторонних треугольника. Однако на месте среднего треугольника находится отверстие, ведущее в «камеру первого порядка», которая имеет форму правильного тетраэдра, четвертая вершина которого совпадает с верхушкой пирамиды. Подойдя ближе и получив возможность разглядеть более мелкие детали, мы обнаруживаем, что и находящиеся в углах основания правильные треугольники, и верхние грани камеры первого порядка также не являются гладкими поверхностями. Их гладкость нарушается тетраэдральными камерами второго порядка. Аналогичным образом, при исследовании камер второго порядка, мы видим, что в середине каждой треугольной стены имеется треугольное же отверстие, ведущее в камеру третьего порядка. Чем глубже мы погружаемся в пирамиду, тем меньшие камеры открываются нашему взору, и конца им не видно.

Сумма объемов всех камер в точности равна объему всей пирамиды Коха. С другой стороны, если считать, что основания камер являются частью этих камер, а остальные три грани — нет, то окажется, что камеры не пересекаются ни в одной точке. Если бы строителям нашей пирамиды пришлось выдалбливать камеры в толще скалы, то им пришлось бы удалить всю породу, оставив лишь тонкую оболочку. Кривая, которой пирамида Коха опирается на плоскость, и «стены» камер представляют собой салфетки Серпинского.

СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕМЫ И РЕШЕТКИ

Авторы работы [313] невольно сделали значительный вклад во фрактальную геометрию, попытавшись заполнить  шарами, радиус каждого из которых имеет вид , где ; число шаров радиуса  на единицу объема имеет вид , где  — целое число вида , что накладывает жесткие ограничения на . Таким образом, показатель распределения размеров пустот определяется следующим выражением:

.

Сначала разместим большие сферы радиуса  в центрах ячеек решетки с шагом . Узлы решетки с шагом , лежащие вне больших сфер, оказываются достаточно многочисленными, чтобы послужить центрами для сфер меньшего радиуса () и так далее. Такая конструкция подразумевает следующие верхние границы величины :

при  при

при  при

Заполнение  непересекающимися шарами может занять меньшее время. В случае же одномерной линии максимальное значение  составляет 1/3, что соответствует значению  для троичной канторовой пыли! Существование канторовых пылевидных множеств с  указывает на то, что одномерная упаковка может оставлять пустоты произвольно малой размерности. С другой стороны, более тесная упаковка подразумевает более сложную структуру.

АНОНС: ЛАКУНАРНОСТЬ

Даже после того, как мы добавим к размерностям  и  степень ветвления , фрактал остается во многих отношениях недостаточно определен. Особое значение имеет еще одно дополнительное свойство, которое я назвал лакунарностью. Пустоты в очень лакунарном фрактале имеют очень большой размер, и наоборот. Основные определения можно было бы привести и здесь, однако мне представляется более целесообразным отложить это до главы 34.

Рис. 205. СТРЕЛА СЕРПИНСКОГО (РАЗМЕРНОСТЬ ГРАНИЦЫ D ~1,5849)

В [522] Серпинский строит кривую, инициатором которой является интервал [0, 1], а генератор и второй терагон выглядят следующим образом:

Последующие этапы построения имеют вид:

О том, как будет выглядеть эта кривая на одном из поздних этапов построения, можно получить представление, взглянув на очертания «береговой линии» в верхней части рис. 205 (над самым большим черным тр еугольником).

Самокасания. Конечные приближения кривой не имеют точек самокасания (как в главе 6), однако предельная кривая содержит бесконечно много таких точек.

Стрелы, заполняющие плоскость. Стрела на рис. 205 (если положить ее набок, она будет больше похожа на тропическую рыбу) определяется как участок кривой Серпинского между двумя последовательными возвращениями в точку самокасания — в данном случае, в середину интервала [0, 1]. Такими стрелами можно заполнить плоскость; при этом соседние стрелы соединяются друг с другом в этакой безумной экстраполяции застежки Велькро. (Или, возвращаясь к предыдущей метафоре, плавники одной рыбы в точности помещаются между плавниками двух других рыб.) Кроме того, сплавив вместе четыре должным образом выбранных соседних стрелы, мы получим точно такую же стрелу, увеличенную вдвое.

Тремы салфетки Серпинского. Я называю кривую Серпинского салфеткой по альтернативному способу ее построения, который основан на вырезании «трем» — метод, широко используемый в главах 8 и 31- 35. Мы получаем салфетку Серпинского, имея в качестве инициатора, генератора, а также двух последующих этапов построения следующие замкнутые множества:

Этот трема-генератор содержит в себе вышеприведенный линейный генератор в качестве собственного подмножества.

Водораздел. Впервые я столкнулся со стрелой Серпинского — правда, тогда я еще не знал о Серпинском — при изучении формы одного водораздела [381].

Рис. 207. АСИММЕТРИЧНАЯ ФРАКТАЛЬНАЯ ПАУТИНА (РАЗМЕРНОСТЬ )

Эта паутина получается рекурсивным построением из замкнутого тетраэдра (инициатора) и совокупности четырех меньших тетраэдров (служащих генератором).

Ее размерность . Попробуем спроецировать ее вдоль линии, соединяющей середины любой из пар противоположных ребер. Проекцией тетраэдра-инициатора будет квадрат, который мы назовем исходным. Каждый тетраэдр второго поколения проецируется на подквадрат, длина стороны которого составляет 1/4 от длины стороны исходного квадрата, и т. д. Таким образом на исходный квадрат проецируется вся паутина целиком. Границы подквадратов перекрываются.

Рис. 208. КОВЕР СЕРПИНСКОГО (РАЗМЕРНОСТЬ ) И ГУБКА МЕНГЕРА (РАЗМЕРНОСТЬ )

Ковер Серпинского. В [523] Серпинский строит кривую, инициатором которой является сплошной квадрат, а генератор и два следующих терагона представлены ниже:

Площадь такого ковра обращается в нуль, а общий периметр его пустот стремится к бесконечности.

Рис. 208. Губка Менгера. Принцип построения очевиден. Продолжая построение до бесконечности, мы получим некий остаток, называемый губкой Менгера. Я сожалею о том, что в своих предыдущих эссе ошибочно приписал ее авторство Серпинскому. (Рисунок воспроизводится по книге Леонарда М. Блюменталя и Карла Менгера «Геометрические этюды» с любезного разрешения ее издателей, компании W. Н. Freeman & Со. © 1970.) Пересечения губки с медианами или диагоналями исходного куба являются троичными канторовыми множествами.

Сливающиеся острова. Как ковер, так и салфетку Серпинского можно получить и другим способом — еще одним обобщением рекурсии Коха, допускающим самоперекрытия, которые, однако, учитываются только единожды.

Для получения салфетки инициатором следует взять правильный треугольник, а генератором — фигуру, изображенную слева на приведенном ниже рисунке. Для получения ковра в качестве инициатора возьмем квадрат, а генератором послужит фигура, изображенная справа.

Здесь мы снова встречаемся с двумя феноменами, знакомыми нам по главе 13: береговая линия каждого острова спрямляема, следовательно, размерность ее равна 1, размерность же салфетки или ковра выражает скорее степень фрагментации суши (т. е. степень ее разделенности на острова), нежели степень неправильности береговых линий островов.

В остальном результат совершенно нов: в главе 13 море представляет собой связное множество, что выглядит как должная топологическая интерпретация открытых морских пространств. Оно открыто и в смысле топологии множеств, т. е. его граница ему не принадлежит. Новизна, привнесенная настоящим построением, заключается в том, что коховы острова могут теперь асимптотически «сливаться» в некий сплошной сверхостров, однако континента из него не получается, а береговые линии образуют в сочетании решетку.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. [38], с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности. ►

Рис. 210. РАСКОЛ В СНЕЖНЫХ ПАЛАТАХ (РАЗМЕРНОСТЬ D ~1,8687)

Давным-давно в далекой стране в прекрасных Снежных Палатах восседал Великий Правитель со своею свитой. Однако между его подданными произошел раскол, за ним последовала война, в которой ни одна из сторон не одержала верх. И тогда Мудрые Старейшины провели границу, разделившую Палаты надвое, дабы туда могли войти без опасения ступить на враждебную территорию и представители Севера, и представители Юга.

Загадки лабиринта. Кто контролирует Великую Палату и как можно войти в нее снаружи? Почему некоторые малые палаты оказываются несориентированы ни по какой стороне света? Подсказку можно найти на обезьяньем дереве на рис. 55.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>