VI САМООТРАЖАЮЩИЕСЯ ФРАКТАЛЫ

18 САМОИНВЕРСНЫЕ ФРАКТАЛЫ, АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И МЫЛО

Большая часть настоящего эссе посвящена фракталам, которые либо полностью инвариантны при преобразованиях подобия, либо, по меньшей мере, «почти» инвариантны. В результате у читателя может сложиться впечатление, что понятие фрактала неразрывно связано с самоподобием. Это решительно не так, однако поскольку мы только начинаем знакомиться с фрактальной геометрией, мы должны, прежде всего, рассмотреть своего рода фрактальные аналоги прямых линий евклидовой геометрии… мы можем называть их «линейными фракталами».

В главах 18 и 19 мы сделаем следующий шаг. В них вкратце описываются свойства фракталов, которые представляют собой соответственно наименьшие множества, инвариантные при геометрической инверсии, и границы наибольших ограниченных множеств, инвариантных при возведении в квадрат.

Оба этих семейства фундаментально отличаются от самоподобных фракталов. При должным образом выбранных преобразованиях масштабируемые фракталы остаются инвариантными, однако для их построения необходимо указать форму генератора и установить некоторые другие правила. С другой стороны, одного того, что фрактал «генерируется» каким-либо нелинейным преобразованием, часто бывает достаточно для определения, т. е. генерации, его формы. Кроме того, многие нелинейные фракталы ограничены, т. е. имеют заранее заданный конечный внешний порог . Те, кого по каким-либо причинам не устраивала неограниченность , будут, несомненно, обрадованы этим обстоятельством.

Первые самоинверсные фракталы были представлены на суд публики в 80-х гг. XIX в. Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном вскоре после того, как Вейерштрасс построил непрерывную, но не дифференцируемую функцию – примерно в одно время с множествами Кантора и задолго до кривых Пеано и Коха и их масштабно-инвариантных родственников. Ирония заключается в том, что самоподобные фракталы нашли себе надежное место под солнцем в качестве материала для всевозможных контрпримеров и математических игр, в то время как самоинверсные фракталы образовали узкоспециальный раздел теории автоморфных функций. Теорией этой некоторое время никто не занимался, затем она возродилась, но в весьма абстрактной форме. Одна из   причин того, что самоинверсные фракталы оказались полузабыты, состоит в том, что их действительная форма оставалась неисследованной вплоть до настоящей главы, в которой вашему вниманию будет предложен новый эффективный способ их построения.

В последнем разделе главы мы рассмотрим одну физическую проблему, главным героем которой оказывается простейший самоинверсный фрактал.

Биологическая форма и «простота»

Как мы вскоре увидим, многие нелинейные фракталы имеют «органический внешний вид», поэтому данное отступление посвящено биологической теме. Биологические формы часто чрезвычайно сложны, и может показаться, что программы, отвечающие за выращивание таких форм, должны быть очень громоздкими. Особенно парадоксальными представляются случаи, когда внешняя сложность не служит, на первый взгляд, никакой разумной цели (а так случается довольно часто среди относительно простых живых существ) – почему бы Природе не стереть эти громоздкие программы из генетического кода и не освободить место для чего-нибудь действительно полезного?

Однако структура упомянутых сложных форм очень часто включает в себя многочисленные повторы. Вспомните, как в конце главы 6 мы говорили о том, что кривую Коха нельзя считать ни иррегулярной, ни чрезмерно сложной, поскольку она порождается простым и систематическим правилом. Все дело в том, что правило применяется снова и снова, последовательными циклами. В главе 17 эти соображения распространены на кодирование структуры легких.

В главах 18 и 19 мы намерены пойти гораздо дальше и обнаружить, что одни фракталы, построенные согласно нелинейным правилам, напоминают то насекомых, то головоногих, тогда как другие похожи на растения. Парадокс исчезает, уступая место невероятно тяжелому труду воплощения идей в реальность.

Стандартная геометрическая инверсия

Следующей по сложности геометрической фигурой после прямой является в евклидовой геометрии окружность, причем окружность остается окружностью не только при преобразовании подобия, но и при преобразовании обратными радиусами, т. е. инверсии. Многие ученые последний раз слышали об инверсии еще в школьные годы, поэтому, на мой взгляд, не лишним будет повторить основные положения. Возьмем окружность  радиуса  с центром в точке ; инверсия по отношению к окружности  преобразует некоторую точку  в точку , такую, что  и  лежат на одном луче с началом в точке , причем длины отрезков  и  удовлетворяют равенству . Окружности, содержащие точку , инвертируются в прямые, содержащие точки , и наоборот (см. рисунок). Окружности, не содержащие точку , инвертируются в окружности (рисунок внизу справа). Окружности, ортогональные , и прямые, проходящие через точку , остаются инвариантными при инверсии относительно  (рисунок внизу слева).

Рассмотрим теперь совокупность трех окружностей: ,  и . Обычно – например, когда открытые ограниченные круги, границами которых являются окружности , не пересекаются – существует окружность , ортогональная каждой из окружностей . Если окружность  существует, она совместно самоинверсна относительно  .

Эти краткие сведения практически исчерпывают то, что стандартная геометрия способна нам поведать о самоинверсных множествах. Остальные самоинверсные множества фрактальны, и большинство из них можно назвать какими угодно, но никак не гладкими.

Генератор. Самоинверсные множества. Как обычно, мы начинаем с генератора, который в данном случае состоит из некоторого (какого угодно) числа  окружностей . Преобразования, представляющие собой последовательность инверсий относительно этих окружностей, составляют то, что алгебраисты назвали бы группой, порождаемой этими инверсиями; обозначим ее буквой . Для обозначения самоинверсного множества имеется и формальный термин: «множество, инвариантное под действием операций группы ».

Затравки и кланы. Возьмем любое множество  (назовем его затравкой) и добавим к нему преобразования множества  под действием всех операций группы . Результат, который мы назовем здесь кланом , является самоинверсным. Хотя, конечно, смотреть тут особо не на что. Например, если множество  представляет собой расширенную плоскость  (т. е. плоскость  плюс точка в бесконечности), то клан  абсолютно идентичен множеству .

Химические инверсные группы. Кроме того, может случиться так, что при некоторой заданной группе , основанной на инверсиях, клан каждой области  покрывает всю плоскость целиком. В этом случае самоинверсное множество также должно представлять собой всю плоскость целиком. По причинам, которые прояснятся в главе 20, я предлагаю называть такие группы хаотическими. Нехаотическими группами мы обязаны Пуанкаре, однако они носят имя Клейна: дело в том, что Пуанкаре однажды ошибочно приписал какую-то из предыдущих работ Клейна Л. Фуксу; Клейн выразил протест, и Пуанкаре в знак примирения пообещал, что назовет свое следующее великое открытие именем Клейна – и ведь назвал!

Придерживаясь пока нехаотических групп, обсудим три самоинверсных множества, отобранных еще Пуанкаре, затем еще одно множество неясного происхождения и, наконец, пятое, важность которого я обнаружил самостоятельно.

Гиперболическая мозаика или тайлинг

Не многим из поклонникам творчества Морица Эшера известно, что этот знаменитый рисовальщик частенько черпал вдохновение непосредственно из трудов «неизвестных» математиков и физиков (см. [89]). Вся его работа часто состояла в простом добавлении украшений к самоинверсным мозаикам, известным Пуанкаре и представленным на многочисленных иллюстрациях в [154].

Эти множества (обозначим их через  ) получаются посредством объединения кланов самих окружностей .

Так как группа  нехаотична, дополнением объединенных кланов окружностей  является  совокупность круговых многоугольников, называемых «открытыми плитками». Любую открытую плитку (или ее замыкание) можно трансформировать в любую другую открытую (или замкнутую) плитку посредством последовательности инверсий, принадлежащих группе . Иными словами, клан любой замкнутой плитки есть . Что более важно, клан любой открытой плитки есть дополнение множества . А  является, так сказать «раствором», на который укладываются эти плитки. Плоскость  самоинверсна. Множество  и его дополнение также самоинверсны и образуют «гиперболическое разбиение» или «мозаику» на плоскости . (Английское слово tessellation, «мозаика», происходит от латинского tessera «квадрат», которое, в свою очередь, восходит к греческому  «четыре», однако плитки вовсе не обязательно должны быть четырехугольными – подойдет любое число, большее 2.) А на рисунках Эшера каждая плитка украшена вдобавок причудливой картинкой.

Предельное множество инверсной группы

Самым интересным самоинверсным множеством является самое маленькое. Оно называется предельным множеством (и обозначается буквой ), поскольку является также множеством предельных точек преобразований любой исходной точки под действием операций группы . Оно принадлежит клану любой затравки . Проясним формальное определение: множество  состоит из таких предельных точек, которые не могут быть получены конечным числом инверсий. На интуитивном уровне это множество можно представить как область скопления бесконечно малых потомков.

Множество  можно свести к точке или окружности, однако в общем случае оно является фрагментированным и/или/ иррегулярным фрактальным множеством.

Множество  стоит в мозаике особняком, как «множество бесконечно малых плиток». Оно играет по отношению к конечным элементам мозаики такую же роль, какую играют концы ветвей (см. главу 16) по отношению к самим ветвям. Однако здесь ситуация проще: подобно  мозаика  представляет собой самоинверсное множество без остатка.

Множество  называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного количества окружностей вместе с их предельными точками. В данном случае его фрактальность является исключительно следствием фрагментации. Этот прецедент был изучен и осмыслен (хотя и в несколько многословной манере) на раннем этапе истории предмета.

Сначала мы построим основной пример, а затем покажем его самоинверсность. Аполлоний Пергский – это древнегреческий математик, живший в III в. до нашей эры. Он был представителем александрийской школы и верным последователем Евклида и известен, помимо прочего, тем, что составил алгоритм построения пяти окружностей, касательных к трем заданным окружностям. В том случае, когда заданные окружности взаимно касательны, число аполлониевых кругов  равно двум. Как мы вскоре убедимся, вполне можно предположить, не потеряв при этом в общности, что две из заданных окружностей являются внешними по отношению друг к другу, но содержаться внутри третьей.

Эти три окружности определяют два круговых треугольника, углы которых равны . А аполлониевы окружности -  это наибольшие окружности, какие можно вписать в эти треугольники.

Законченное аполлониево построение включает в себя пять окружностей, три заданных и две аполлониевых, которые вместе определяют шесть круговых треугольников. Повторяя вышеописанную процедуру, впишем в каждый треугольник наибольшую возможную окружность. Результат бесконечного повторения такой процедуры называется аполлониевой упаковкой.  А если добавить к этой бесконечной совокупности окружностей ее предельные точки, то получится множество, которое я назвал аполлониевой сетью. Область сети, заключенную внутри кругового треугольника (как показано на рисунке) будем называть аполлониевой салфеткой.  

Если одну из аполлониевых окружностей первого поколения заменить на любую из заданных внутренних окружностей, предельное множество никак не изменится. Если указанной аполлониевой окружностью заменить внешнюю заданную окружность, то построение начинается с трех заданных окружностей, внешних по отношению друг к другу, и одна из аполлониевых окружностей  первого этапа окажется наименьшей окружностью, описанной вокруг трех заданных. После такого нетипичного этапа построение продолжается так же, как описано выше, подтверждая то, что наш рисунок и в самом деле соответствует наиболее общему случаю.

Упаковка Лейбница.  Аполлониева упаковка похожа на конструкцию, которую я называю круговой упаковкой Лейбница, так как,  насколько мне известно, впервые она была описана в письме Лейбница к де Броссу: «Представьте себе окружность, а затем впишите в нее еще три окружности  наибольшего возможного радиуса, конгруэнтные друг другу: повторите аналогичную операцию с каждой из этих окружностей и с каждым промежутком между ними. А теперь вообразите, что этот процесс продолжен до бесконечности…»

Аполлониевы сети самоинверсны

Вернемся к началу построения аполлониевой сети: трем касательным окружностям. Добавим сюда любую из соответствующих аполлониевых окружностей и назовем получившиеся четыре окружности  - окружностями. Все четыре показаны на нижеследующем рисунке жирными линиями.

Существует четыре комбинации из трех  - окружностей (мы будем называть их триплетами), и каждой из них соответствует окружность, ортогональная каждой окружности триплета. Возьмем эти новые окружности в качестве генератора и обозначим через , ,  и  (на рисунке ниже они показаны тонкими линиями). А  - окружность, ортогональную окружностям ,  и , обозначим как .

Разделавшись с нудным развешиванием ярлыков, получаем заслуженную награду. Даже самое поверхностное рассмотрение показывает, что наименьшее (замкнутое) множество, самоинверсное по отношению к четырем порождающим окружностям , представляет собой аполлониеву сеть, построенную на четырех - окружностях. Любопытно, что об этом наблюдении никто явным образом не сообщает, хотя оно должно быть известно довольно широко.

При более тщательном изучении мы увидим, что каждая окружность в сети преобразуется в одну из - окружностей, проходя через уникальную последовательность инверсий относительно окружностей . Таким образом, принадлежащие аполлониевы сети окружности можно рассортировать на четыре клана, причем клан, нисходящий от окружности , мы будем обозначать как .

Вязание сетей из одной нити

Аполлониева салфетка и салфетка Серпинского (рис. 205) имеют одно важное общее свойство: дополнение салфетки Серпинского представляет собой объединение треугольников (-треугольник), а дополнение аполлониевой сети или салфетки есть объединение дисков (- диск).

Однако нам также известно, что салфетка Серпинского допускает альтернативное кохово построение, в котором конечные приближения являются терагонами (ломаными линиями) без самокасаний, а двойные точки появляются только в пределе. Это означает, что салфетку Серпинского можно построить, не отрывая карандаша от бумаги; через некоторые точки линия пройдет дважды, но она никогда не пройдет дважды по одному отрезку прямой. 

Выражаясь метафорически, салфетку Серпинского можно связать из одной-единственной нити!

То же верно и для аполлониевой сети.

Несамоподобные каскады и оценка размерности

Круговые треугольники аполлониевой упаковки не подобны друг другу, следовательно, аполлониев каскад не самоподобен, а аполлониева сеть  не является масштабно-инвариантным множеством. Сейчас следовало бы обратиться к определению Хаусдорфа – Безиковича для размерности  (как показателя, определяющего меру), которое применимо к любому множеству, однако получение  таким способом оказывается удивительно сложным делом. На данный момент наилучшим результатом (см. работы Бойда [50, 51]) является следующий:

,

хотя его же последние (еще не опубликованные) численные эксперименты дают .

В любом случае, поскольку  есть дробное число, а , аполлониевы салфетка и сеть являются фрактальными кривыми. В данном контексте величина  представляет собой меру фрагментации. Если, например, «удалить» диски, радиус которых меньше , то периметр оставшихся промежутков будет пропорционален , а площадь – пропорциональна .

Множество  в нефуксовых цепях пуанкаре

Самоинверсные фракталы, получаемые при инверсиях относительно не столь особых конфигураций порождающих окружностей , оказываются более сложными, чем любая аполлониева сеть. Чуть позже я познакомлю вас со своей собственной рабочей конструкцией, которая в большинстве случаев вполне удовлетворительно характеризует множество . Она является большим шагом вперед по сравнению с предыдущим, предложенным Пуанкаре и Клейном, методом, который весьма громоздок и очень медленно сходится.

Однако старый метод также сохраняет свою значимость, поэтому я предлагаю рассмотреть его на примере особого случая. Пусть окружности  образуют конфигурацию, которую можно назвать цепью Пуанкаре; эта конфигурация представляет собой совокупность  окружностей , расположенных по кругу и соответственно пронумерованных, так что окружность  касательна к  и  (по модулю ) и не пересекает никаких других окружностей цепи. В этом случае множество  представляет собой кривую,  которая разделяет плоскость на две области – внешнюю и внутреннюю. (Воздавая должное Камилю Жордану, который первым обнаружил неочевидность того, что плоскость можно таким образом разделить одной-единственной петлей, такие петли называются с тех пор кривыми Жордана.)

В случае, когда все окружности  ортогональны одной окружности , множество  совпадает с . Этот случай, называемый фуксовым, в настоящей главе не рассматривается.

Построение Пуанкаре для множества . Ниже приводится полное описание общепринятого построения множества  и моего альтернативного варианта для случая особой цепи с , показанной на следующем рисунке.

Для получения  Пуанкаре и Клейн (см. [154]) поэтапно заменяют исходную цепь цепями, составляемыми из все возрастающего числа все уменьшающихся звеньев. На первом этапе каждое звено  заменяется инверсиями остальных звеньев  относительно ; таким образом, получается, в общей сложности,  меньших звеньев. Они показаны на рисунке справа вверху на фоне негативного изображения исходных звеньев. И так далее – на каждом этапе мы берем полученную на предыдущем этапе цепь и инвертируем ее относительно каждого из исходных звеньев . На рисунке черным цветом показано несколько последовательных этапов построения, причем каждый из них наложен на результат предыдущего этапа, показанный белым цветом на сером фоне. В конце концов, цепь истончается в нить, т. е. в .

К сожалению, некоторые звенья и после достаточно большого количества этапов остаются довольно крупными, и даже сильно продвинутые аппроксимации предельной цепи дают довольно слабое представление о множестве . Это неприятное свойство прекрасно иллюстрирует рисунок 255.

Понятие о фрактальной оскуляции

Мой способ построения множества  основан на новом для нас понятии фрактальной оскуляции, которое расширяет рамки ее очевидного воплощения в аполлониевом случае.

Стандартная оскуляция. Это понятие непосредственно связано с концепцией кривизны. Первым приближением стандартной кривой в окрестности регулярной точки  является касательная прямая. Вторым приближением является окружность, касательная к которой в этой точке совпадает с упомянутой прямой, а кривизна – с кривизной кривой. Такая окружность называется оскулирующей.

Для различения окружностей, касательных к данной кривой в точке , очень удобно использовать параметр (обозначим его буквой ), который представляет собой инверсию интервала (произвольно ориентированного), соединяющего точку  с центром окружности. Обозначим индекс оскулирующей окружности через . Если , то небольшой участок кривой с центром в точке  целиком лежит с одной стороны касательной окружности, если же , то – с другой.

Величина  есть то, что физики называют критическим значением, а математики – разрезом. Кроме того, значение  определяет локальную «кривизну».

Глобальная фрактальная оскуляция. В случае аполлониевой сети попытка определить оскуляцию через кривизну лишена смысла. Однако в любой точке сети, где касательны две принадлежащие упаковке окружности, они, очевидно, «охватывают» остаток множества , заключенный между ними. Возникает искушение назвать их обе окружности оскулирующими.

Для того чтобы распространить это понятие на неаполлониевы множества  , выберем точку, в которой  имеет касательную, и возьмем в качестве отправной точки определение обыкновенной оскуляции, основанное на понятии критичности (или разреза). Новизна же заключается в том, что при  мы заменим одно критическое значение  двумя различными значениями,  и , которые определим следующим образом: при любом  множество  целиком лежит с одной стороны нашей окружности, при любом  - с другой, а при  части  находятся и с той, и с другой стороны окружности. Что же касается окружностей с индексами, равными  и , я предлагаю их обе считать фрактально оскулирующими.

Любая окружность ограничивает два открытых диска (один из них содержит центр этой окружности, другой – точку в бесконечности). Открытые диски, ограниченные оскулирующими окружностями и не принадлежащие множеству , мы будем называть оскулирующими дисками.

Случается и так, что одна или обе оскулирующие окружности вырождаются в точку.

Локальное и глобальное. Возвращаясь к стандартной оскуляции, заметим, что эта концепция является локальной, так как ее определение никак не зависит от формы кривой на каком-либо удалении от точки . Иными словами, кривая, касательная к ней и оскулирующая окружность могут иметь сколько угодно точек пересечения кроме . Напротив, приведенное выше определение фрактальной оскуляции глобально, хотя это различие и не принципиально. Фрактальную оскуляцию можно определить и локально, причем с соответствующим расщеплением «кривизны» на два числа. Как бы то ни было, в нашей теперешней задаче глобальная и локальная оскуляции совпадают.

Оскулирующие треугольники. С аналогом глобальной фрактальной оскуляции мы, если помните, уже встречались. Для того чтобы определить внутреннюю область нашей старой знакомой снежинки Коха (кривой ) как - треугольник, достаточно увеличивать треугольники, выкладываемые на каждом следующем этапе построения фигуры, изображенной на рис. 70, настолько, насколько это возможно без пересечения их со снежинкой.

- диски, оскулирующие множество

Оскулирующие диски и - диски являются ключевыми фигурами в моем новом, свободном от перечисленных на с. 247 недостатков, способе построения множества . Этот способ демонстрируется в полном виде впервые (хотя о нем уже упоминалось в 1980 г. в «Математическом календаре»). Суть его в том, что следует инвертировать не сами окружности , а некоторые из окружностей , которые (согласно определению на с. 244) ортогональны триплетам ,  и . Здесь мы опять полагаем, что не все окружности  совпадают с одиночной окружностью .

Ограничение . Если ограничить число исходных окружностей   четырьмя, то мы сможем быть уверены в том, что для любого триплета  , ,  один из двух открытых дисков, ограниченных окружностью  (т.е. либо внутренний, либо наружный), не содержит ни одной из точек , определенных на с. 247. Обозначим этот свободный от точек  диск через .

Основой моего способа построения  послужили следующие наблюдения: все свободные от  диски  оскулируют ; таким же свойством обладают их инверсии и повторные инверсии относительно окружностей , а кланы, построенные с применением дисков  в качестве затравок, заполняют всю плоскость за исключением кривой .

На рис. 253 мы воспользуемся той же цепью Пуанкаре, какую вы уже видели на с. 247, но изобразим ее в более крупном масштабе. Как и в большинстве случаев, первый этап построения обрисовывает кривую  довольно точно. Последующие этапы весьма «эффективно» добавляют все более мелкие детали, и после нескольких этапов мы уже вполне можем мысленно интерполировать кривую , не отвлекаясь на ошибки, от которых, к сожалению, не свободен подход Пуанкаре.

Обобщения

Цепи из пяти и более звеньев. В случае, когда число исходных звеньев в цепи Пуанкаре превышает четыре, мой новый способ построения множества  включает в себя дополнительный шаг: сначала следует разделить окружности  на две группы. Дело в том, что некоторые из окружностей  в этом случае таковы, что каждый из ограниченных ими открытых дисков содержит, по меньшей мере, одну точку , в результате чего диск  оказывается, не определен. Такие окружности  не оскулируют кривую , а пересекают ее. Однако для построения кривой они нам не нужны.

Остальные окружности  определяют оскулирующие диски , которые в свою очередь, также делятся на два класса. При добавлении к диску   первого класса его кланов мы получим внутреннюю область кривой ; проделав же такую операцию с диском, принадлежащим ко второму классу, получим внешнюю область .

Это верно для многих (но не для всех) случаев, когда окружности  не образуют цепь Пуанкаре.

Перекрывающиеся и/или/ разорванные цепи. В случае, когда окружности  и  имеют две точки пересечения  и , эти точки совместно заменяют точку . Если же окружности  и  не имеют ни одной точки пересечения,  заменяется двумя взаимно инверсными точками  и . Критерий идентификации  становится при этом довольно громоздким, однако основная идея остается неизменной.

Разветвленные самоинверсные фракталы. Кривая  может соединять в себе характерные особенности как смятой петли (кривой Жордана), так и аполлониевой сети, в результате чего мы получаем фрактально разветвленную кривую, близкую к тем, что мы рассматривали в главе 14, но часто гораздо более причудливого вида (см., например, рис. С7).

Самоинверсные пыли. Множество  может также оказаться фрактальной пылью.

Аполлониева модель смектической структуры

В этом разделе мы ознакомимся с ролью, которую понятия аполлониевой упаковки и фрактальной размерности играют в описании класса веществ, известных под названием «жидкие кристаллы». В процессе этого ознакомления нам предстоит обратиться к одной из наиболее активных областей современной физики – теории критических точек. Примером критической точки может служить «точка» на диаграмме температура-давление, описывающая физические условия, при которых в пределах одной физической системы могут сосуществовать в равновесии твердая, жидкая и газообразная фазы. Аналитические характеристики физической системы в окрестности критической точки масштабно-инвариантны, следовательно, подчиняются степенным законам с некими конкретными критическими показателями (см. главу 36). Многие из этих показателей оказываются фрактальными размерностями, и вот перед вами первый пример.

Поскольку жидкие кристаллы не так хорошо известны широкой публике, как того хотелось бы, я начну с их описания, для чего обращусь к статье Брэгга [52]. Эти прекрасные и таинственные субстанции подвижны, как жидкости, однако с оптической точки зрения ведут себя подобно кристаллам. Их длинные цепеобразные молекулы имеют довольно сложную структуру. Некоторые жидкокристаллические фазы называются смектическими (от греч. , что означает «мыло»), так как моделируют мылообразные органические системы. Молекулы смектического жидкого кристалла расположены в слое вертикально и параллельно друг другу, как колосья на поле, при этом толщина слоя равна длине молекулы. В результате получаются очень гибкие и прочные слои или листы, которые, будучи деформированными, стремятся вернуть себе прежнюю форму. При низких температурах слои располагаются один на другом, точно листы в книге, образуя при этом твердый кристалл. Однако при повышении температуры становится возможным легко сдвигать слои относительно друг друга. Каждый слой представляет собой двумерную жидкость.

Особый интерес представляют фокальные конические структуры. Жидкокристаллический блок разделяется на два набора пирамид, причем основания половины из них располагаются на одной из двух противоположных граней, а вершины -  на другой. Жидкокристаллические слои внутри каждой пирамиды оказываются свернутыми и образуют множество и приблизительно перпендикулярны плоскости основания пирамиды. В результате основанием каждого конуса является диск, ограниченный окружностью. Минимальный радиус  такой окружности равен толщине слоя жидкого кристалла. Когда конусы заключены внутри пространственной области – в данном случае, пирамиды с квадратным основанием, - диски, образующие основания конусов, распределяются по основанию этой области (пирамиды). Для получения равномерного распределения следует начать с размещения на основании диска наибольшего радиуса. Затем поместим диски наибольшего возможного радиуса в каждый из остающихся углов и так далее. Если бы было возможно продолжать такое размещение до бесконечности, мы получили бы в точности аполлониеву упаковку.

Физические свойства такой модели мыла зависят от общих площади и периметра пустых промежутков, которые связаны с фрактальной размерностью , своего рода фотографического «негатива», т.е. салфетки, сквозь отверстия которой не проходят молекулы мыла.  Физические подробности можно найти в работе [32].

Рис. 253. Самоинверсный фрактал (построение Мандельброта)

Верхняя фигура. В цепях Пуанкаре с  по крайней мере один из дисков  (назовем его )  всегда не ограничен и пересекается с диском . (На данном рисунке диск  также не ограничен, однако в других случаях это не так.) Объединение дисков  и  (показанное на рисунке серым цветом) дает первое приближение области, внешней к кривой . Оно аналогично приближению области, внешней к кривой Коха , с помощью правильного выпуклого шестиугольника (см. рис. 71).

Диски  и  также пересекаются, и их объединение (показанное на рисунке черным цветом) дает первое приближение внутренней области . Оно аналогично приближению внутренней области кривой  с помощью двух треугольников, образующих правильную шестиконечную звезду (см. рис. 71).

Средняя фигура. Второе приближение области, внешней к кривой , достигается добавлением к дискам  и  их инверсий относительно окружностей  и , соответственно. Результат (серая область) аналогичен второму приближению области, внешней к кривой , на рис. 71.

Соответствующее второе приближение внутренней области  достигается добавлением к дискам  и  их инверсий относительно окружностей  и , соответственно. Результат (черная область) аналогичен второму приближению внутренней области кривой  на рис. 71.

Нижняя фигура. Внешняя область  (серый цвет) является объединением кланов  и . Внутренняя же (черный цвет) – объединением кланов  и . Тонкая структура внутренней области  показана на рис. 255 внизу (при построении использованы разные цепи Пуанкаре). Черная и серая открытые области вместе покрывают всю плоскость (за вычетом кривой ).

Рис. 254. Самографический фрактал (вблизи предела Пеано)

Группы, основанные на инверсиях, интересуют математиков, прежде всего потому, что они связаны с определенными группами гомографией. Гомография (называемая также гомографией  Мебиуса или дробно-линейным преобразованием) отображает - плоскость по закону , где . В наиболее общем виде эта гомография может быть представлена как результат инверсии, симметрии относительно линии (что есть вырожденная инверсия) и вращения. Вот почему при отсутствии вращения исследователь гомографией может почерпнуть много интересного из изучения групп, основанных на инверсиях. Очевидно, однако, что введение вращений открывает новые богатые возможности.

На рисунке изображен пример предельного множества  для группы гомографий. Построил его Дэвид Мамфорд (в ходе исследований, стимулом для которых послужили новые результаты, о которых говорится в данной главе), а затем любезно разрешил опубликовать свое построение в этой книге. Фигура эта почти заполняет плоскость и демонстрирует поразительные аналоги (и равно поразительные различия) с почти заполняющей плоскость кривой, изображенной на рис. 270.

Фрактальная природа предельного множества группы гомографий в широком диапазоне условий была доказана Т. Акадзой, А. Ф. Бирдоном, Р. Боуэном, С. Дж. Паттерсоном и Д. Салливеном. См. [545].

Рис. 255. Знаменитый самоинверсный фрактал, исправленный вариант (построение Мандельброта)

Рисунок вверху слева воспроизводит рис. 156 из книги Фрикке и Клейна [154], который призван изображать самоинверсный (в моей терминологии) фрактал, генератор которого состоит из пяти окружностей, ограничивающих центральную область (она показана черным цветом). Этот рисунок весьма часто появляется в математической литературе.

Действительной формой этого фрактала является контур фигуры, изображенной вверху справа; фигура эта построена с помощью моего метода оскулирующих - дисков. Расхождение, конечно, ужасное. Фрикке знал, что кривая  должна содержать окружности, и велел иллюстратору включить их в рисунок. Обо всем остальном он не знал и, очевидно, даже не подозревал, насколько иррегулярной фигуры ему следует ожидать.

В действительности кривая  включает в себя границу  фигуры, построенной справа внизу с использованием моего алгоритма. Эта граница  представляет собой самоинверсный фрактал, соответствующий четырем из тех порождающих окружностей, что образуют цепь Пуанкаре. Ясно видно, что преобразования  при иных инверсиях принадлежит . Этот рисунок подробно рассмотрен в работе [400].