19. КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ. САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ ДРАКОНЫ

В этой главе мы рассмотрим два семейства очень простых нелинейных преобразований (или отображений) и исследуем несколько таких фрактальных множеств, которые при этих преобразованиях остаются инвариантными и для которых они могут служить генераторами.

Во-первых, дробно-линейное преобразование вещественной линии поможет нам лучше понять нашу старую знакомую – канторову пыль. Эти замечания, конечно, можно было вставить в главу 8, однако мне кажется, что они будут лучше восприняты на данном этапе.

Они, в частности, помогают оценить результаты вещественных и комплексных квадратичных преобразований вида , где  и  вещественны, и , где  и  - комплексные числа.

Элементарный случай  довольно скучен с геометрической точки зрения, однако другие значения  ведут к потрясающим фрактальным красотам, многие из которых были впервые продемонстрированы в статье [398].

Удобнее всего получать упомянутые инвариантные формы с помощью итераций (т. е. многократных применений) одного из вышеуказанных преобразований. Исходные значения мы будем обозначать через  или , а результаты - й итерации функции  - через  или .

Хронологически изучение итераций можно разделить на три этапа. Первый, связанный с комплексной переменной , прошел под знаменами Пьера Фату (1878 – 1929) и Гастона Жюлиа (1893 – 1978). Их публикации являются шедеврами классического комплексного анализа, ими восхищаются математики, однако на их фундаменте чрезвычайно сложно что-нибудь построить. В своей работе, о которой данная глава дает лишь весьма сжатое представление, я стараюсь придать бóльшую наглядность их основным открытиям, объединяя анализ с физикой и подробными иллюстрациями, в результате чего обнаруживается великое множество неизвестных ранее фактов.

Последовавшее за этими открытиями возрождение помогло установить тесную связь свойств итераций с теорией фракталов. Из того факта, что находки Фату и Жюлиа оказались недостаточно проработаны для того, чтобы стать основой теории фракталов, мы можем сделать вывод, что даже классический анализ нуждается иногда в наглядности и интуитивной понятности, причем компьютерное моделирование может оказать ему в этом смысле серьезную помощь.

Следующий, промежуточный, этап включает в себя исследования Мирбергом итераций вещественных квадратичных отображений  (см., например, [440], а также труды Штейна и Улама [538] и Бролина [55]).

На текущем этапе исследователи, по бóльшей части, игнорируют прошлое и сосредоточивают свои усилия на отображениях интервала  в себя (за подробностями рекомендую обратиться к обзорам [180], [209], [83], [144] и [219]). В последнем разделе главы рассматривается показатель  по [179] и [142]: доказывается, что существование  следует из более явного свойства итераций в комплексной плоскости (т. е. их фрактальности).

Возможность получения канторовой пыли посредством нелинейного преобразования

Из главы 8 нам известно, что троичная канторова пыль  инвариантна при преобразовании подобия, если коэффициент подобия имеет вид . Это самоподобие является, безусловно, очень важным свойством, однако его недостаточно для определения . Напротив, мы можем полностью определить множество  как наибольшее ограниченное множество, инвариантное при следующем нелинейном преобразовании («перевернутое V»):

,   где   .

Точнее, мы многократно повторяем это самоотображение вещественной оси, при этом исходное значение  «размазано» по оси , а окончательные значения сводятся к точке  и канторовой пыли  . Неподвижные точки  и  принадлежат .

Набросок доказательства инвариантности множества . Поскольку  при , итерации всех точек  сходятся к  прямо, т.е. всегда справедливо неравенство . Для точек  прямой сходимости предшествует один предварительный этап, так как  для всех . Для точек в пустой области  предварительных этапов будет два, так как , но  для всех . Для точек в пустых областях  или  предварительных этапов будет уже три. В более общем виде это выглядит так: если интервал ограничен пустой областью, которая отправляется в бесконечность после  предварительных этапов, то средняя треть (открытая) этого интервала отправится прямо в  после - го этапа. Однако ни одна точка множества  не уходит в .

Конечность внешнего порога

Для того чтобы распространить эти выводы на обобщенную канторову пыль с  и  в интервале от 0 до , достаточно вставить желаемое значение  в выражение . Если вы хотите получить какую-либо другую пыль, вам нужно лишь проследить, чтобы график функции  имел соответствующую зигзагообразную форму.

Однако аналогичного метода для экстраполяции канторовой пыли на всю вещественную ось не существует. Это – частное проявление одного очень общего свойства: нелинейная функция , как правило, заключает в себе некоторый конечный внешний предел ; при возникновении необходимости в конечном пороге его приходится вводить искусственно.

Анатомия канторовой пыли

Из главы 7 нам известно, что множество  является очень «разреженным», и все же поведение итераций  приводит к лучшему пониманию тонких различий между его точками.

Вряд ли кто при первом знакомстве с канторовым множеством смог избежать искушения предположить, что оно в конечном итоге сходится к концевым точкам открытых пустых областей. Тем не менее, такое предположение весьма далеко от истины, поскольку множество  содержит, по определению, все пределы последовательностей концевых точек пустот.

Этот факт не считается интуитивно очевидным. Я (равно как и мои соратники и единомышленники) вполне понял бы, если бы наш многострадальный старый знакомец Ганс Хан внес эти предельные точки в свой список концепций, существование которых может оправдать лишь холодная логика. Однако из настоящего обсуждения мы с вами вынесем интуитивное доказательство того, что упомянутые предельные точки обладают сильными и отличными от других  индивидуальностями.

Например, точка , которую функция  оставляет неизменной, не принадлежит ни какому-либо из интервалов средней трети, ни границе какого-либо из этих интервалов. Итерация точек вида  сходятся к точке . Кроме того, существует бесконечное множество предельных циклов, каждый из которых состоит из конечного числа точек. Множество  содержит также точки, преобразования которых бесконечно перемещаются вокруг него самого.

Генератор квадратов

Производящая функция  преобразования «перевернутое », используемая в предыдущих разделах, была выбрана из-за того, что она дает знакомый нам результат. Однако полученная с ее помощью канторова пыль выглядит несколько надуманной. Заменим ее функцией

,

неожиданное богатство свойств которой было впервые замечено Фату [139]. Сдвинув точку начала координат, изменив масштаб оси  и положив , можно записать эту функцию в следующем виде:

.

Исходя из соображений удобства, мы будем использовать то , то .

Мне представляется уместным назвать функцию  (или ) генератором квадратов. Возведение в квадрат является, безусловно, алгебраической операцией, однако здесь оно получает геометрическую интерпретацию, поэтому множества, которые оно оставляет инвариантными, можно называть самоквадратируемыми. Строго говоря, возведение в квадрат заменяет точку абсциссы с координатой  точкой абсциссы с координатой . Таким образом, самоквадратируемых точек на оси всего три: ,  и . Может показаться, что добавление -  едва ли способно что-либо в этом изменить, однако на самом деле оно открывает множество самых неожиданных возможностей, рассмотрением которых мы и займемся ниже.

Вещественные самоквадратируемые пылевидные множества фату

Произведя на свет всем хорошо известный конечный продукт (а именно – канторову пыль),  - преобразование значительно облегчило нам задачу по изложению сути удивительного, однако никогда не пользовавшегося широкой известностью открытия Пьера Фату. Допустив, что число  вещественно и удовлетворяет неравенству , Фату [139] исследует наибольшее из ограниченных множеств на , остающихся инвариантными при преобразовании . Это множество, которое я называю вещественной пылью Фату, можно считать близким родственником канторовой пыли.  Дальнейших объяснений оно не требует; что касается портрета, то он представлен на рис. 273.

В комплексной плоскости при вышеуказанных значениях  наибольшим ограниченным самоквадратируемым множеством остается вещественная пыль Фату.

Самоквадратируемые кривые Жюлиа на плоскости [398]

Положив , получаем простейшую самоквадратируемую кривую – окружность . При преобразовании  кольцо, однократно опоясывающее окружность, растягивается в кольцо, опоясывающее эту же окружность дважды, причем «пряжка» при  остается неподвижной. Соответствующая наибольшая ограниченная самоквадратируемая область – диск .

Однако введение вещественного  (см. рис. 264 и 266) или любого комплексного  (рис. 271 и 270) открывает настоящий ящик Пандоры, доверху набитый бесконечными возможностями, имя которым фрактальные кривые Жюлиа. Они радуют глаз в той степени, в какой дают пищу для ума.

Сепаратор . Топология наибольшего ограниченного самоквадратируемого множества зависит от того, где расположена точка  по отношению  к открытой мною разветвленной кривой , которую я теперь называю сепаратором. Сепаратор – это связная граница черной фигуры на рис. 268 (внизу); иначе говоря, это некая «предельная лемниската», т.е. предел при  алгебраических кривых, называемых лемнискатами и определяемых выражением , где  есть некоторое большое число. Структура кривой  показана на рис. 269.

Атомы. Открытая область внутри  разбивается на бесконечное множество максимально связных множеств, которые я предлагаю называть «атомами». Границы двух атомов либо совсем не пересекаются, либо имеют одну общую точку (назовем ее «связью»), которая принадлежит .

Топологическая размерность. Когда точка  лежит вне области, ограниченной кривой , наибольшим ограниченным квадратируемым множеством является пыль (пыль Фату). Если же   находится внутри  или является связью, то таким наибольшим множеством будет область, ограниченная некоторой самоквадратируемой кривой. Из принадлежащих   точек,   по крайней мере, несколько дают древовидную кривую.

Самоквадратируемые фракталы. Если верить слухам, то фрактальность вышеупомянутых пылей и кривых при   была полностью доказана Денисом Салливеном и для некоторых других случаев, и я ничуть не сомневаюсь, что такое доказательство осуществимо для всех случаев без исключения.

Форма самоквадрируемой пыли или кривой изменяется непрерывно вместе с ; следовательно, размерность  должна быть гладкой функцией от .

Ветвление. Когда  находится внутри одного из открытых пустых дисков, изображенных на рис. 269 (вверху), самоквадратируемая кривая будет простой замкнутой кривой (петлей без ветвления), как на рис. 264 и 266.

Когда  принадлежит окружностям  или  или лежит в окружающей их открытой связной области, самоквадратируемая кривая имеет вид разветвленной сети с тремами, ограниченными фрактальными петлями, как драконы на рис. 270.

Когда же  лежит внутри молекул-островов, которые, как мы вскоре покажем, являются областями не стремления к точке , самоквадратируемая кривая представляет собой либо - петлю, либо  - дракона, как на рис. 271 (внизу). Новой петли  не вводит.

Рис. 264. Самоквадрируемые фрактальные кривые при вещественном значении  

Фигуры на рисунках 264 – 273 публикуются впервые (за некоторыми исключениями, использованными мною в [398]).

Слева представлены наибольшие ограниченные самоквадрируемые области при различных значениях  (а именно, 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 и 3,0). Черная фигура в центре охватывает интервал .

: двустворчатая раковина.

: дракон Сан-Марко. Своего рода безудержная математическая экстраполяция очертаний венецианской базилики на фоне неба вместе с ее отражением в затопленной пьяцце: я окрестил эту кривую драконом Сан-Марко.

Справа помещена кривая при . Это значение  является ядерным (согласно определению на с. 262) и соответствует периоду . Кривая развернута на , иначе она не входила в отведенные для иллюстрации рамки.

Рис. 266. Обобщение самоквадрируемых фрактальных кривых при вещественных  

Изображенная на рисунке «драпировка» была построена в памяти компьютера с помощью процесса, который сводится к отсечению от исходного куба всех точек, итерации которых при отображении  уходят в бесконечность. Параметр  - вещественное число, изменяющееся в интервале от 1 до 4. Ось  расположена вертикально, а координаты  и  образуют комплексное число .

Любое горизонтальное сечение представляет собой наибольшую ограниченную самоквадрируемую область с соответствующими значениями параметра .

При особом значении  границей сечения является окружность; будем считать ее «поясом» нашей задрапированной фигуры.

При всех остальных значениях  границами сечений являются фрактальные кривые, включая и те, что изображены на рис. 264. Можно различить замечательные «складки», расположение которых изменяется в зависимости от ; ниже пояса они «вдавлены» внутрь, а выше пояса выступают наружу.

Особый интерес представляют наросты на стене, с которой свисает драпировка. К сожалению, данная иллюстрация не может показать сложную структуру верхней части модели во всей ее красе. . Для каждого значения  драпировка включает в себя (в качестве своего рода «опоры») фрактальное дерево, составленное из итерированных прообразов точек  - интервала . При всех малых и некоторых больших значениях  ветви этого дерева обладают по всей своей длине некоторой толщиной. Однако при других больших значениях  от дерева остается лишь голый остов, полностью лишенный толщины. На рисунке мы можем видеть ветви вдоль прямых  или , остальные же при данном графическом процессе неизбежно оказываются потеряны. . Некоторые горизонтальные участки стены за драпировкой полностью покрыты крохотными «холмами» или «складками», однако мы можем увидеть лишь немногие, самые выдающиеся из них. Эти холмы и складки относятся к «молекулам – островам» (см. рис. 268 и 269), пересекающим вещественную ось. С учетом замечаний  и  теория Мирберга – Фейгенбаума предстает в более общем виде.

Рис. 268 и 269. Сепараторы отображений  и

Рис. 268 (внизу).  - отображение. Значения  внутри замкнутой черной области, ограниченной фрактальной кривой, таковы, что итерации точки  при отображении  не уходят в бесконечность. Большая точка заострения соответствует точке , а самая правая точка – точке .

Рис. 269 (вверху).  - отображение. Значения  внутри замкнутой черной области и внутри пустого диска удовлетворяют неравенству  и таковы, что итерации точки  при отображении  не уходят в бесконечность. Полное  - отображение симметрично относительно прямой .

Диск  и диск  без точки . Значения  внутри этих областей таковы, что итерации точки  сходятся к некоторой ограниченной предельной точке.

Корона и отростки. Снаружи пустых дисков  - отображение образует «корону». Она разбивается на «отростки», «корнями» которых являются «принимающие связи», определяемые как точки вида , где  - неприводимое рациональное число, меньшее 1.

Рис. 268 (вверху). На рисунке показана часть инверсии  - отображения относительно точки . Если внимательно рассмотреть на  - отображении отростки, корни которых имеют вид , может сложиться впечатление, что «соответствующие точки» лежат на окружностях. Рисунок подтверждает истинность этого впечатления. Правильность других кажущихся окружностей подтверждается с помощью других инверсий.

Молекулы – острова. Многие «пятна», возникающие при вышеописанных отображениях, представляют собой истинные «молекулы – острова», о которых впервые сообщается в [398]. Форма такой молекулы идентична форме всего  - отображения целиком, если не учитывать нелинейного искажения.

Сепаратор, основания и деревья. Граница заполненной черной области при  и  - отображениях является связной кривой; так как эту кривую обнаружил я, моим долгом было дать ей имя – я назвал ее сепаратором . Множество внутри ограниченной этой кривой области разбивается на открытые атомы (см. текст). Обозначив период атома через , определим его основание как кривую, на которой значение  вещественно.

Основания, лежащие на вещественной оси, известны в теории самоотображений как интервал , а их замыкание – как интервал .

Словом, я обнаружил, что замыкание других атомных оснований разбивается на совокупность деревьев, каждое из которых укореняется на принимающей связи. В каждой точке такого дерева мы имеем несколько степеней ветвления – степень ветвления для концов ветвей плюс порядки бифуркации, ведущей к корню дерева. Кроме того, когда корень дерева приходится на атом-остров, сюда следует добавить порядки бифуркации, ведущей от дисков  и  к этому атому.

Рис. 269 (внизу слева).  Здесь представлена подробная картина  - отображения вблизи точки . Множество внутри  представляет собой предел областей вида , границами которых являются алгебраические кривые, называемые лемнискатами. Показано несколько таких областей, совмещенных друг с другом. При больших  области, равно как и само  - отображение, выглядят несвязными; в действительности, они связаны, но вне сетки, использованной при вычислениях.

Рис. 269 (внизу справа). Здесь представлена подробная картина  - отображения вблизи точки . У этого стократно ветвящегося дерева и у  - отображения на рис. 270 имеется несколько весьма удивительных общих свойств.

Рис. 271 и 270. Самоквадрируемые драконы; приближение к «пределу Пеано»

Каждая самоквадрируемая кривая привлекательна по-своему. Я, например, нахожу самыми привлекательными «драконов», изображенных на этих рисунках и на рис. С5.

Драконья линька. Дракон, возводящий сам себя в квадрат, представляет собой совершенно бесподобное зрелище! Чудовищная «линька» отделяет бесчисленные складки от кожи на брюхе и спине дракона. Затем она растягивает шкуру на брюхе и спине так, что ее длина – которая, разумеется, и без того бесконечна – увеличивается вдвое! Затем шкура вновь складывается вдоль спины и брюха. И наконец, на последнем этапе, все складки аккуратно водворяются на новые места.

 

Фрактальная геральдика. Не следует путать самоквадрируемых драконов с самоподобным драконом от Хартера и Хейтуэя (рис. 101 и 102). Читателю предоставляется прекрасная возможность развлечься, отыскивая немногие сходные черты и многочисленные различия.

Последовательные бифуркации. Наилучшие самоквадрируемые драконы получаются, когда точка  располагается в отростке (см. рис. 269), который соответствует значению , где  и  - малые целые числа. При бифуркации заданного порядка  вокруг каждой точки сочленения появляется драконьих голов – или хвостов, если хотите. Вторая бифуркация порядка  разбивает каждую из этих областей на  «сосискообразных» связей и еще более утончает их.

Чтобы получить умеренно упитанного дракона – ни чрезмерно тучного, ни слишком костлявого, - следует поместить точку  внутри отростка на некотором расстоянии от его корня. Красиво перекрученные драконы получаются, когда точка  лежит около одного из двух суботростков, соответствующих порядку бифуркации от 4 до 10: один из суботростков дает изгиб влево, другой – вправо.

Рис. 271 (вверху справа).  «Истощенный дракон». Дракон, испытавший на себе бесконечное число бифуркаций, теряет всю свою плоть и ссыхается в скелетообразную разветвленную кривую.

Если множество не расходится в бесконечность, его топологическая размерность равна 0 (для пылевидных множеств Фату), 1 (для недоедающих драконов) и 2 (для всех остальных драконов).

Рис. 271 (внизу).  - дракон. Это множество связно, точка  лежит на большом «прибрежном острове» с рис. 269 (внизу).

Рис. 270. Особый предел . Драконы Пеано. Выберем точку  на острове, расположенном недалеко от связи при . При  величина ; следовательно,  стремится к 1. Форма соответствующего дракона неизбежно должна устремиться к форме двустворчатой раковины (образующей основание задрапированной фигуры на рис. 266). Однако между  и  очень большим, но конечным, имеется все же качественное различие.

По мере того, как , растет число конечностей дракона, его шкура сминается, а ее размерность при этом возрастает. Вся конструкция представляется этаким «драконом-отшельником», пытающимся забиться внутрь двустворчатой раковины  и способным заполнить всю ее внутреннюю область без остатка, т.е. размерность дракона стремится к . Что же получается? Самоквадрируемая кривая Пеано? Безусловно; однако, как нам известно из главы 7, кривые Пеано вовсе не являются кривыми. Так происходит и здесь: по достижении размерности  наш дракон прекращает свое существование в виде кривой и перевоплощается в область плоскости.

Рис. 273. Вещественные самоквадрируемые пылевидные множества Фату на интервале

Работа Фату [139] представляет собой истинный шедевр в рамках того странного литературного жанра, который называется «заметки в «Отчетах» Парижской Академии наук». Задача пишущего в этом жанре часто сводится к тому, чтобы раскрыть по возможности меньше, но при этом создать впечатление, что автор учел все, что только можно было учесть.

Среди прочих восхитительных откровений, которые лучше всего понимаешь только после тщательного самостоятельного изучения, Фату отмечает следующее: когда число  вещественно и либо , либо , наибольшее ограниченное множество, остающееся инвариантным при преобразовании , представляет собой пыль, заключенную в интервале . На рисунке показана форма этой пыли при . По вертикальной оси откладывается величина  в интервале от  до 5. Концевые точки  и  средней тремы являются решениями уравнения ;  на рисунке они образуют параболу. Тремы второго порядка оканчиваются в точках , ,  и  - таких, что , и так далее.

Мне думается, что эта замечательная связь между пылевидными множествами, подобными канторовым, и одной из элементарнейших функций заслуживает самой широкой известности, не ограниченной узким кругом специалистов.

 - атомы и  - молекулы

При дальнейшем исследовании параметрического отображения нам будет удобнее пользоваться параметром .  - атом может иметь сердцевидную форму – в этом случае он является «затравкой», с которой связывается бесконечное множество атомов овальной формы (как непосредственно, так и через атомы – посредники). Совокупность взаимно связанных атомов и связей между ними образует «молекулу». Точка заострения затравки связью не бывает никогда.

Каждому атому сопоставлено некоторое целое число , его «период». Когда точка  лежит внутри атома периода , итерации  уходят в бесконечность или образуют устойчивый предельный цикл, состоящий из  точек. Внутри атома периода  справедливо неравенство , причем равенство  описывает точку заострения, или «корневую» точку. Каждый атом содержит точку (назовем ее «ядром»), в которой выполняются равенства  и .

О ядрах, расположенных на вещественной оси, впервые сообщил Мирберг в 1962 г. [440]; после этого они сплыли лишь в 1973 г. (см. [430]). Соответствующие отображения часто называют «сверхустойчивыми» (см. [83]).

Если рассматривать равенство  как алгебраическое уравнение относительно , то его порядок равен . Следовательно, может существовать не более   атомов периода ; в действительности их меньше, за исключением случая . При  уравнение  имеет два корня, однако один из них уже является ядром «предыдущего» атома периода 1. В более общем виде все корни уравнения   являются также корнями уравнения , где  - целое число, большее 1. Заметим далее, что каждая рациональная граничная точка, расположенная на границе атома периода  и удовлетворяющая условию , где  - неприводимое рациональное число, меньшее 1, заключает в себе «принимающую связь», готовую присоединить атом периода . Как следствие, некоторые новые атомы соединяются с существующими принимающими связями. Однако в этот процесс оказываются вовлечены не все новые атомы, и оставшимся не остается ничего иного, как послужить затравкой для новых молекул. Таким образом, число молекул бесконечно.

Когда значение  непрерывно изменяется внутри молекулы, каждое направленное наружу прохождение связи ведет к бифуркации:  умножается на . Пример: увеличение вещественного  приводит к мирбергову удвоению периода. Инверсия бифуркации, которая я рассматриваю в [398] и называю слиянием, должна прекратиться по достижении периода затравки молекулы. Молекула-континент является областью слияния в , а каждая молекула-остров является областью слияния с . Форма дракона или субдракона регулируется значениями  и .

Сепаратор как фрактальная кривая; показатель фейгенбаума  как следствие

Я предполагаю, исходя из «перенормировочных» соображений, что чем дальше находятся атомы от затравки своей молекулы, тем более идентичными становятся их формы.

Следствие: граница каждой молекулы локально самоподобна. Так как она не является гладкой в малом масштабе, мы можем считать ее фрактальной кривой.

Это локальное самоподобие позволяет обобщить одно свойство бифуркации Мирберга, о котором сообщают Гроссман и Томэ [179], а также Фейгенбаум [142]. Длины отрезков, отсекаемых все уменьшающимися отростками на вещественной оси  и , образуют убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом  (см. [83]). Первоначально считалось, что существование коэффициента  обусловлено особенностями аналитического метода. Рассмотренный в новом свете показатель  оказывается связан с более широким свойством фрактального скейлинга.

Каждая бифуркация из  ветвей вводит дополнительный базисный коэффициент.