IX ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЫ

27 СТОКИ РЕК. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕТИ И ШУМЫ

Переход к дробным броуновским фракталам знаменует собой один из важнейших поворотных пунктов настоящего эссе. До сих пор мы придерживались фракталов, связанных с временными и/или/ пространственными решетками, которые налагали определенные ограничения на свойства инвариантности фракталов, т.е. на допустимые преобразования сдвига и подобия, отображающие данный фрактал на себя.

Такие ограничения противоречат второму доводу в пользу рандомизации фракталов, изложенному в главе 22. Более того, в большинстве занимающих нас случаев они не имеют никакого физического смысла. И вот теперь, в главах 27 – 35, мы займемся, наконец, фракталами, инвариантности которых и при сдвиге, и при преобразовании подобия остаются ничем не ограниченными.

В этой главе мы рассмотрим обобщенное броуновское движение (обозначив его через ), которое в [404] называется дробным броуновским движением (сокращенно, ДБД). В качестве мотивации здесь выступит необходимость отыскания закономерности изменения объемов годового стока рек, а кроме того, упоминаются масштабно-инвариантные сети и шумы («- шумы). Главы 28 – 30 посвящены исследованию соответствующих поверхностей.

Как важно быть гауссовым

Первой чертой, объединяющей главы 27 – 30, является то, что все они занимаются исключительно гауссовыми процессами. Статистики полагают, что «гауссовость» непременно представляет собой нечто чрезвычайно особенное, однако я с некоторых пор не разделяю эту точку зрения. (см. мои замечания по этому поводу в главе 42.) Тем не менее, гауссовы процессы остаются своего рода эталонным тестом, и их следует изучить прежде, чем мы начнем двигаться дальше.

Нерекурсивные определения

Еще одна присущая главам 27 – 30 особенность не встречается ни в каком другом месте настоящего эссе.

Конструкции (и случайные, и нет), описываемые в других главах, строятся рекурсивно, т.е. посредством добавления все более мелких деталей к менее детализированным формам, полученным на предыдущих этапах построения. Свойства получающегося при этом фрактала выводятся из правил построения.

Теперь же мы начинаем с объявления желательными тех или иных свойств и только затем находим такие правила построения, которые удовлетворяли бы нашим пожеланиям. Хотя искомые свойства легко формулируются и выглядят простыми, реализующие их правила, к сожалению, нерекурсивны и, более того, часто весьма неприятны.

Если все так плохо, то почему же мы продолжаем настаивать на этих свойствах? Потому что в их число входят такие свойства, как самоподобие и отсутствие складок (т.е. стационарность), составляющие самую суть науки вообще и теории фракталов, в частности.

Относительная ценность «аксиоматического» подхода, используемого в этой главе, видна особенно отчетливо, когда его результат сравнивается с фракталом, полученным рекурсивно. Представьте себе, например, что вы исследуете какой-то конкретный случай, требующий построения плоской фрактальной кривой, размерность  которой лежит где-то между 1 и 2, и не можете решить, какой метод для этого использовать: процесс срединного смещения из главы 26 или процесс, описываемый ниже. В первом неизбежны складки, тогда как  второй лишен этого недостатка. А последовательность дискретных этапов, из-за которой рекурсивные построения представляются столь привлекательными, оборачивается в большинстве случаев возникновением слоев, не имеющих никакого смысла, а зачастую и вовсе нежелательных.

Эффект иосифа и эффект ноя

Прозвучавшее в первой главе утверждение о том, что негладкие природные структуры издавна привлекали внимание людей, как правило, очень трудно подтвердить документально. Однако в Библии имеются два совершенно очаровательных исключения из этого правила:

«…и отворились все источники земные, и отверзлись хляби небесные. И лил дождь на землю сорок дней и сорок ночей.» Бытие, 6: 11-12.

«… и были семь лет великого изобилия во всей земле египетской. И были после них семь лет голода.» Бытие, 41: 29-30.

В истории Ноя сложно не увидеть иносказательного повествования о неравномерности выпадения осадков на Ближнем Востоке, а в истории Иосифа – о том, что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию группироваться по нескольку подряд. В курсе лекций «Новые формы случайностей в науке» (не опубликованном, но частично изложенном в [405] и [373]) я даже предложил для описываемых в этих историях явлений особые термины: эффект Ноя и Эффект Иосифа.

Как подтверждают данные из достоверных источников, библейские «семь и семь» лет представляют собой не что иное, как поэтическое упрощение реальности, а любая кажущаяся периодичность в записях об уровне воды в Ниле – не более чем иллюзия  (хотя это уже не так очевидно). С другой стороны, твердо установленным фактом является то, что последовательные годовые данные по стоку и уровню паводка Нила и многих других рек демонстрируют чрезвычайно высокую степень персистентности.

Эта персистентность в равной степени является и предметом живого интереса со стороны самых разных ученых, и жизненно важным фактором для проектировщиков плотин. Однако в течение долгого времени она оставалась недоступной измерению, а следовательно, и анализу. Как всякая наука, делающая свои первые шаги в статистике, гидрология начала с допущения, что последовательные объемы стока любой реки представляют собой независимые, одинаково распределенные гауссовы переменные, или белый гауссов шум. Следующим шагом стало допущение существования между ними марковской зависимости. Обе модели, однако, ни в малейшей степени не соответствуют реальности. Прорыв произошел вместе с выходом моей работы [348], основанной на эмпирических результатах Херста [232, 233]. (Биографию Херста читайте в главе 40.)

Феномен херста. показатель

Обозначим через  совокупный сток реки за первый период от начала нулевого года до конца  - го года. Согласуем его посредством вычитания выборочного среднего стока за период между нулевым и  - м годами и определим величину  как разность между максимумом и минимумом согласованного стока  при . При таком определении величина  представляет собой пропускную способность, какой должен обладать водоем для обеспечения идеального функционирования на протяжении соответствующего числа лет . Водоем функционирует идеально, если уровень воды в нем в конце и в начале указанного периода одинаков, водоем никогда не пустеет, никогда не переполняется и производит однородный поток. Идеал, очевидно, недостижим, однако величину  вполне можно брать за основу метода проектирования водохранилищ, - например метода, предложенного Рипплом и примененного при строительстве Асуанской плотины. Херсту пришло в голову, что  можно использовать и в качестве инструмента исследования действительного поведения статистики речных стоков. Из соображений удобства он разделил  на коэффициент подобия  и рассмотрел зависимость отношения  от .

Если допустить, что объемы годовых стоков представляют собой белый гауссов шум, то коэффициент  теряет свою значимость, а совокупный сток , согласно известной теореме, приблизительно совпадает с броуновской функцией из прямой в прямую . Следовательно, пропускная способность  прямо пропорциональна среднеквадратическому объему стока , который, в свою очередь, прямо пропорционален . Отсюда получаем  (см. [146]). Тот же результат верен и в том случае, если объемы годового стока зависимы, но зависимость эта марковская с конечной дисперсией, или в том случае, когда зависимость объемов стока принимает какую-либо из форм, описанных в элементарных учебниках по статистике или теории вероятности. 

Однако, руководствуясь результатами наблюдений, Херст пришел к совершенно иному и абсолютно неожиданному выводу, который заключается в том, что , где  почти всегда больше . Объемы годового стока Нила (самые зависимые из всех) демонстрируют . Для рек Св. Лаврентия, Колорадо и Луары показатель  находится где-то между  и . Рейн – река особенная, ее совершенно не волнует ни история Иосифа, ни феномен Херста, и она держит показатель  на уровне  с точностью до экспериментальной погрешности. Результаты всевозможных наблюдений можно найти в работе [407].

Шум херста – масштабно-инвариантный шум

Флуктуацию (или шум) , для которой выполняется соотношение , я предлагаю называть шумом Херста. В [384] показано, что величина показателя должна удовлетворять неравенству .

В ответ на вызов Х. А. Томаса – младшего, усомнившегося в моей способности дать объяснение феномену Херста, я рискнул предположить, что дело здесь в масштабной инвариантности. Для того чтобы дать наглядное определение масштабно-инвариантного шума, вспомним о том, что любую естественную флуктуацию можно обработать таким образом, чтобы ее стало слышно – о чем, собственно, говорит и сам  термин шум. Запишем ее на пленку и прослушаем через громкоговоритель, который точно воспроизводит диапазон частот, скажем, от 40 до 14 000 Гц. Затем прослушаем эту же пленку на большей или меньшей скорости. В общем случае можно ожидать, что характер звука существенно изменится. Скрипка, например, будет звучать совсем не так, как должна звучать скрипка. А если проиграть на достаточно большой скорости песню кита, то она станет слышимой для человеческого уха. Имеется, однако, некий особый класс звуков, которые ведут себя совсем иначе. Достаточно лишь подрегулировать громкость, и после изменения скорости движения пленки громкоговоритель воспроизведет звук, неотличимый на слух от исходного. Я предлагаю называть такие звуки или шумы масштабно-инвариантными.

Белый гауссов шум после вышеописанных трансформаций представляет собой все то же маловразумительное гудение, а следовательно, его можно считать масштабно-инвариантным. Однако для создания моделей можно приспособить и другие масштабно-инвариантные шумы.

Дробная дельта-дисперсия

В главе 21 дельта-дисперсия случайной функции определяется как дисперсия приращения функции за приращение времени . Дельта – дисперсия обыкновенной броуновской функции равна  (см. главу 25). Как я отметил в [348], для объяснения соотношения Херста , где  может принимать любое значение, вполне достаточно, чтобы кумулятивный процесс  был гауссовым процессом с обращающимся в нуль дельта - ожиданием и дельта – дисперсией, равной . Эти условия определяют некоторый уникальный масштабно-инвариантный случайный гауссов процесс. А поскольку показатель  представляет собой дробное число, этот уникальный процесс может с полным правом называться дробной броуновской функцией из прямой в прямую (приведенной). Подробности и иллюстрации можно найти в [404, 405, 406, 407, 408].

Переходя от функций из прямой в прямую к функциям  из прямой в плоскость, можно предложить в качестве необходимого дополнения следующее альтернативное определение: среди кривых с размерностью , параметризованных по времени, след функции  является единственной кривой, приращения которой подчиняются гауссову распределению и стационарны относительно любого смещения (т.е. «лишены складок»), а также масштабно-инвариантны относительно любого значения коэффициента .

Значение  (или ) соответствует обыкновенному броуновскому движению, которое, как мы знаем, представляет собой процесс, не проявляющий персистентности (т.е. его приращения независимы). Остальные ДБД распадаются на два резко отличных друг от друга семейства. Значения показателя Херста  соответствуют персистентному ДБД, следами которого являются кривые с размерностью , причем . Значения показателя Херста  соответствует антиперсистентному ДБД.  

Дробное интегродифференцирование

После того, как желательная дельта-дисперсия определена, остается реализовать ее на практике. Если мы начинали с броуновского движения, то теперь следует привнести в него персистентность. Стандартным методом для этого является интегрирование, однако оно вносит больше персистентности, чем нам необходимо. К счастью, существует способ получить при интегрировании лишь некоторую часть стандартного эффекта. При  то же верно и для дифференцирования. Идея такого способа скрывается в одном из «классических, но не вполне ясных» закоулков математики. Впервые она пришла в голову еще Лейбницу (см. главу 41), а затем была воплощена Риманом, Лиувиллем и Вейлем.

Из школьного курса дифференциального исчисления мы помним, что если  - некоторое целое положительное число, то  - кратным дифференцированием функция  преобразуется в функцию , а  - кратным интегрированием  - в функцию  (не забываем, разумеется, об умножении каждый раз на соответствующую константу). Алгоритм Римана – Лиувилля – Вейля обобщает это преобразование на случай нецелого , а дробное интегродифференцирование порядка , примененное к броуновскому движению, дает ДБД. Таким образом, обычная броуновская  формула   заменяется ее обобщенным вариантом , где . Чего мы, собственно, и добивались.

Соответствующие формулы приведены в [404], а приближения (настоящие) описаны в [408] и [364].

Здесь имеется еще одна сложность – можно сказать, потенциальная ловушка. Алгоритм Римана – Лиувилля – Вейля включает в себя свертку, и, как следствие, может возникнуть искушение реализовать его через метод быстрого преобразования Фурье (БПФ). Поступив таким образом, мы получим периодическую функцию, т.е. функцию с исключенным систематическим трендом. При исследовании стандартных временных рядов исключение тренда не имеет практически никаких последствий, так как зависимость ограничена весьма кратким временным промежутком. В случае же ДБД исключение тренда последствия имеет (тем бóльшие, чем больше ), причем они могут оказаться очень и очень значительными. В развернутом контексте этот эффект можно проиллюстрировать сравнением различных горных пейзажей на рисунках, помещенных после следующей главы. Рис. 370 и 371, полученные  с помощью БПФ, не демонстрируют никакого общего тренда и, как следствие, имитируют форму горных вершин, тогда как на рис. 374, полученном без каких бы там ни было упрощений, общий тренд ясно виден.

Поскольку БПФ чрезвычайно экономично, часто бывает удобнее использовать все-таки его, однако период следует брать значительно длиннее, чем ожидаемый размер выборки, а также не забывать учитывать потери, которые возрастают, по мере того как .

: долговременная (бесконечно долгая) персистентность и непериодические циклы

Существенное свойство функции  в случае  заключается в весьма особенном поведении персистентности ее приращений: она распространяется на бесконечно долгий срок. Следовательно, связь между ДБД и феноменом Херста подразумевает, что персистентность,  наблюдаемая в гидрологической статистике, не ограничена короткими временными интервалами (такими, например, как срок службы фараоновых министров) и даже на тысячелетия. Степень персистентности измеряется параметром .

Персистентность весьма ярко проявляет себя на графиках приращений функции  и в статистике объемов годового стока рек, каковую статистику и моделируют эти приращения. Почти все выборки выглядят как «случайные шумы» на некотором фоне, проходящие несколько циклов вне зависимости от длины выборки. Однако эти циклы не являются периодическими, т.е. их нельзя экстраполировать при увеличении длины выборки. Кроме того, в такой выборке можно часто наблюдать некий основополагающий тренд, который вовсе не обязательно продолжится в экстраполяции.

Эти наблюдения становятся еще интереснее, если учесть, что аналогичное поведение статистических выборок часто наблюдается в экономике: излюбленным занятием экономистов является разложение любого набора данных на тренд, несколько циклов и шум. Такое разложение призвано облегчить понимание основополагающих механизмов экономики, однако, как мы только что увидели на примере ДБД, и тренд, и циклы могут быть порождены шумом, который сам по себе ничего не значит.

Интерполяция. В том случае, когда обыкновенная броуновская функция  известна в моменты времени  (не обязательно равностоящие), ожидаемые значения  между этими моментами вычисляются с помощью линейной интерполяции. В частности, интерполяция на интервале  зависит исключительно от значений  в моменты  и . И напротив, во всех случаях  интерполяция функции  нелинейна и зависит от всех   и от всех . При увеличении значения  влияние  уменьшается, но медленно. Таким образом, интерполяцию функции  можно описать как глобальную. Случайные кривые срединного смещения, рассмотренные в главе 26, ведут себя совершенно иначе, поскольку их интерполяции линейны на определенных временных интервалах. В этом и заключается самая суть различия между двумя упомянутыми процессами.

Размерность  обобщенной броуновской функции и ее нуль – множества

Приращения персистентны, и график функции   менее иррегулярен, чем график обыкновенной броуновской функции ,  причем во всех масштабах. Это выражается в размерности функции  (). Размерность ее нуль – множества равна .

: дробные броуновские следы

В случае двумерной векторнозначной функции   нас будут интересовать движения, направления которых стремятся персистентности во всех масштабах. Персистентность включает в себя достаточно сильное стремление (не подразумевающее, однако, обязательности) избежать самокасаний. А поскольку в настоящем Эссе мы желаем сохранить и самоподобие, допустим, что координатные функции  и  представляют собой дробные броуновские функции из прямой в прямую от времени, статистически независимые и характеризующиеся одним параметром . Таким образом, мы получаем дробный броуновский след из прямой в плоскость (см. рис. 357).

Фрактальная размерность такого следа определяется как ; ее наименьшее значение , каким оно, собственно, и должно быть у кривой, а наибольшее - . Последнее значение предполагает, что след функции  заполняет плоскость менее «плотно», чем обыкновенный броуновский след. Для того чтобы подтвердить это предположение, рассмотрим по отдельности ограниченный и неограниченный следы.

Влияние параметра  на ограниченные следы носит чисто количественный характер. При  (равно как и при ) ограниченный броуновский след представляет собой фрактальную сеть, пронизанную бесконечным количеством пустот. Исходя из сильных эвристических соображений, можно предположить, что площадь этих пустот удовлетворяет равенству .

Кроме того, я экспериментально исследовал границы ограниченных следов с различными  в поисках отклонения от значения , каковое значение, согласно пояснению к рис. 340, наблюдается в броуновском случае. Никакого сколько-нибудь явного отклонения я не обнаружил!

На неограниченные же следы параметр  оказывает качественное влияние. Если след начинается в точке  в момент времени 0, то известно, что ожидаемое количество его возвращений в малую окрестность точки  бесконечно для броуновской модели; однако при   оно становится конечным. Причина заключается в том, что интеграл , полученный в предпоследнем разделе главы 25, при  расходится, а при  сходится. Когда в одном объеме укладывается некоторое конечное число фрактальных сетей, покрытие становится менее лакунарным, однако достичь таким образом плотного покрытия почти наверное невозможно. Количество уложенных в одном объеме решеток мало, если значение параметра  близко к 1, и устремляется к бесконечности при .

Рис. 357 Дробные броуновские следы (размерности  и )

На рисунке слева представлен пример статистически самоподобной фрактальной кривой с размерностью . Ее координатные функции – независимые дробные броуновские функции с показателем , которым и обусловлено возникновение на Ниле эффекта Иосифа. Того обстоятельства, что  близок к 1, оказывается недостаточно для предотвращения самопересечений, однако оно весьма осложняет им существование, побуждая «тренд» кривой к персистентности в любом направлении, какое он уже избрал. Представляя сложные кривые как наложения друг на друга больших, средних и малых сверток, можно сказать, что в случае высокой персистентности и близости размерности к единице малые свертки едва различимы.

Для рисунка справа мы воспользовались той же компьютерной программой, что и для рисунка слева, изменив лишь размерность  (теперь она равна ). Псевдослучайная затравка не изменилась, поэтому общая форма линии остается узнаваемой. Однако увеличение  приводит к росту относительной значимости малых сверток, а также – до некоторой степени – и средних. Становятся отчетливо видны ранее невидимые детали.

: антиперсистентные дробные броуновские движения

Дробные броуновские движения с  описываются антиперсистентными функциями и следами. Под антиперсистентностью подразумевается стремление постоянно возвращаться к исходной точке, следствием чего является более медленное (чем у броуновских аналогов) рассеяние.     

Формула  справедлива только при условии, что . Если же  (особенно в случае плоскости, ), то фрактальная размерность достигает наибольшего возможного значения, . Напомним, что наибольшим возможным значением размерности для броуновского следа является , и этот максимум может быть реализован только в случае . Если втиснуть броуновский след в реальную прямую с размерностью , то ему придется примириться с . При  след ДБД едва заполняет обыкновенное З – пространство.

В случае же плоскости  анализ размерностей показывает, что неограниченный след с  почти наверное посещает любую заданную точку бесконечно часто. Таким образом, в противоположность функции , которая не совсем отвечает ожиданиям, связанным с ее размерностью , и заполняет плоскость плотно, но не полностью, броуновский след при любом превышении параметром  значения 2 заполняет плоскость полностью. Для доказательства того, что след  почти наверное бесконечно часто возвращается к своей исходной точке, вспомним из главы 25, что размерность множества моментов возвращения равна  и, как следствие, при  положительна. Это же рассуждение справедливо и для точек, отличных от . Следовательно, пересечение неограниченного дробного броуновского следа при  с единичным квадратом имеет единичную же площадь.

Ограниченный след представляет собой сеть с пустотами, однако площадь его положительна (привет из главы 15!).

«Хорошо мотивированная» дробная броуновская модель речного стока

Нужно заметить, что первоначальная мотивировка введения функции  основана на личном опыте пишущего эти строки геометра, чьи математические и графические приемы, как правило, срабатывают. Я готов поспорить, что отсутствие серьезной мотивировки в модели, которая согласуется с явлением и должным образом работает, гораздо предпочтительнее, нежели недостаток согласованности в модели, которая выглядит хорошо мотивированной; однако ученым подавай и то, и другое. К сожалению, существующие «объяснения» несколько, на мой взгляд, надуманны и еще менее ясны, чем само объясняемое явление.

Для того чтобы понять, почему последовательные объемы годового стока рек являются независимыми величинами, следует начинать с учета объема воды, проходящей через естественные водоемы за сезон. Однако при естественном способе хранения ресурса мы получаем краткосрочное сглаживание статистики и можем рассчитывать, в лучшем случае, лишь на краткосрочную персистентность. С точки же зрения долговременности размерность графика совокупного стока остается, по существу (или «эффективно» - в том смысле, в каком это слово употреблено в главе 3), равной .

Двигаясь дальше, стоит ознакомиться с трудами многочисленных авторов, которые гораздо лучше меня подкованы в извлечении на свет целой иерархии процессов, каждый из которых имеет собственный масштаб. В простейшем случае вклады компонентов носят аддитивный характер. Первый компонент отвечает за естественные водоемы, второй учитывает микроклиматические изменения, третий – макроклиматические изменения и т.д.

К сожалению, бесконечный диапазон персистентности требует бесконечного количества компонентов, и в итоге Модель обзаводится бесконечным же количеством параметров. Необходимо еще объяснить, почему сумма различных вкладов масштабно-инвариантна.

На одном из этапов обсуждения функция (корреляция) записывается как бесконечная сумма экспоненциальных функций. Я уже не помню, сколько раз я пытался убедить окружающих в том, что показатель гиперболичность этой суммы ничуть не проще, чем объяснить гиперболичность исходной кривой, и сколько бесконечных часов потратил я на доказательство того, что все попытки высосать эту причину из пальца обладают лишь магической (но никак не научной) ценностью – по крайней мере  до тех пор, пока остаются безрезультатными. Можете себе представить, каким облегчением оказалось для меня открытие, что я не одинок в своих трудах, - и самому Джеймсу Клерку Максвеллу приходилось в свое время заниматься чем-то подобным (см. раздел масштабная инвариантность: живучие панацеи из прошлого в главе 41).  

Разумеется, практикующему инженеру-гидрологу ничего не стоит навязать любому процессу конечный внешний порог, величина которого будет сравнима со сроками выполнения самого затянутого инженерного проекта.

Другие масштабно-инвариантные шумы.  - шумы

Формальное определение. Шум  следует называть масштабно-инвариантным, если либо сама функция , либо ее интеграл или производная (повторные, если возникает такая необходимость) самоаффинны. То есть функция статистически тождественна своему преобразованию при сжатии времени, сопровождаемом соответствующим изменением интенсивности. Следовательно, должен существовать такой показатель , что функция  была бы статистически тождественна функции  при любом . В более общем виде (особенно для случая дискретного ) функцию  следует называть асимптотически масштабно-инвариантной, если существует некая медленно изменяющаяся функция  - такая, что функция  стремится к пределу при .

Такое определение подразумевает необходимость проверки всех математических характеристик функций  и  . А это означает, что в эмпирической науке масштабную инвариантность никак нельзя доказать, и в большинстве случаев заключение о наличии этого свойства делается на основании одного – единственного критерия, который затрагивает только какой-нибудь один аспект тождественности – например, распределение длин пауз (глава 8) или отношение Херста .

Наиболее широко распространенный критерий масштабной инвариантности основан на спектрах. Шум можно считать спектрально масштабно-инвариантным, если его измеренная спектральная плотность на частоте  имеет вид , где   - некоторый положительный показатель. В случае, когда величина  настолько близка к 1, что становится возможным заменить  на , мы получаем так называемый « - шум»

Многие масштабно-инвариантные шумы находят в своих областях весьма интересные применения, а объединяет все эти шумы то, что их можно встретить буквально повсюду.