26 СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ СРЕДИННОГО СМЕЩЕНИЯ
Повествование, продолжаемое в этой главе, имеет логическое начало в середине предыдущей главы, сразу после раздела о генерации броуновского движения посредством рандомизации кривой Пеано.
Напомним, что
- й терагон броуновской функции
прямолинеен между двумя последовательными моментами времени вида
, а
- й терагон получается посредством случайного смещения средних точек сторон
- го терагона. То же относится и к терагонам
и
координатных процессов
и
функции
.
Поскольку процедура срединного смещения проходит совершенно гладко с кривыми, размерность которых
, возникает вполне естественное желание попробовать адаптировать ее к оригинальной снежинке и другим кривым Коха с
, а затем применить упомянутую процедуру к построению поверхностей. Этим мы сейчас и займемся.
Пытаясь воспроизвести и улучшить графику «Фракталов» 1977 г. и обойтись при этом наиболее прямыми и наименее дорогостоящими процедурами, многочисленные художники, специализирующиеся в создании фильмов и графических работ с помощью компьютера, применяли, как правило, один и тот же общий подход. Эти специалисты оказались не способны осознать, что метод случайного срединного смещения дает результаты, существенно отличающиеся от тех, что они стремились достичь. Простота и в самом деле входит в число достоинств этого метода, однако вместе с тем он обладает многими другими, часто вовсе нежелательными особенностями.
Пространственно неограниченные случайные кривые коха с временнóй решеткой
Напомним, что можно построить снежинку Коха с основанием
, используя генератор, составленный из двух интервалов длины
. В этом случае – вообще говоря, в любом случае, когда генератор состоит из двух интервалов длины
, где
, - само построение определяет, в каком направлении смещаются средние точки сторон - го терагона: влево или вправо. Смещение всегда ортогонально к соответствующей стороне, и квадрат его длины задается следующей разностью:
.
Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение. Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадратическому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. Обозначим ее через
, где
, что вскоре получит исчерпывающее объяснение.
В результате соотношение между смещением
на временнóм промежутке
и двумя интерполированными смещениями
и
принимает вид
,
где
- некоторая произвольно заданная величина, меньшая 2.
Отсюда следует, что если временной интервал
является двоичным, т.е. если
и
, то верно следующее:
.
Величину
в качестве параметра мы выбрали потому, что она представляет собой показатель при среднеквадратическом смещении.
Можно также показать, что если
, то функция
статистически самоподобна относительно отношений приведения вида
. Это – весьма желательное обобщение наших знаний о конструкциях с размерностью
.
Нестационарные приращения
Не будем, однако, радоваться слишком бурно. Функция
является статистически самоподобной относительно отношений приведения иного, нежели
, вида только в пеано – броуновском случае
, когда она сводится к
.
Более серьезная проблема возникает тогда, когда интервал
не является двоичным, хотя и имеет ту же длину
- например, если
и
. На таких интервалах приращение
имеет иную и меньшую дисперсию, зависимую от
. Нижняя граница этой дисперсии выглядит как
. Более того, если известна величина
, а время
не известно, то распределение соответствующего приращения
не является гауссовым, но представляет собой случайную смесь различных гауссовых распределений.
В результате складки, возникающие в двойных точках аппроксимирующего терагона, остаются и в предельной кривой. При размерности
чуть меньше 2 (т.е. при
чуть больше
) складки довольно незначительны. Однако когда значение
приближается к 1 (в главе 28 мы увидим, что при моделировании рельефа поверхности Земли нам приходится иметь дело с
), складки становятся очень заметными – их можно увидеть и на выборочных функциях. Единственным способом избежать их оказывается отказ от рекурсивной схемы срединного смещения, что мы и сделаем в следующем разделе и в главе 27.
Случайно размещенные слои
Для того чтобы установить причину нестационарности кривых и поверхностей срединного смещения, рассмотрим координатную функцию
некоторой кривой
. На каждом этапе построения мы получаем некоторую ломаную функцию
, нуль – множество которой, во-первых, периодично с периодом
и, во-вторых, включает в себя нуль – множество функции
. То есть можно сказать, что каждая такая ломаная функция находится в синхронии со всеми последующими.
Из-за того, что нуль - множества периодичны и синхронны («иерархичны»), приращения не могут быть стационарными. И наоборот, стационарности можно достичь путем устранения этих свойств.
Один из подходов состоит в построении ломаной функции
следующим образом. Выберем пуассоновскую последовательность моментов времени
со средним числом точек на единицу времени, равным
, затем положим, что функция
принимает независимые и одинаково распределенные случайные значения, и, наконец, произведем линейную интерполяцию между моментами времени
. Бесконечная сумма
таких вкладов представляет собой некую стационарную случайную функцию, впервые описанную в докторской диссертации гидролога О. Дитлефсена (1969). (См. также [424] и [370].)
Оглянувшись назад, мы видим, что такое обобщение вовсе не требует, чтобы среднее число нулей было равно
. Оно может иметь вид
, где
- любая вещественная база, большая 1.
Допустимые отношения приведения соответствующего фрактала задаются дискретной последовательностью
. По мере того, как
, эта последовательность становится все более плотной, - в сущности, асимптотически непрерывной. Таким образом, функция
становится как нельзя более приемлемой для тех, кому нужны стационарность и широкий выбор коэффициентов подобия. Однако при этом она, к сожалению, теряет свою специфичность. Из рассуждений в [370] явствует, что функция
сходится к случайной функции
, которую мы рассмотрим в следующей главе.

Рис. 345. В роли художника – ошибка в программе, опус 1
Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 424 – 427.
Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.
Очевидно, что по замыслу в «правильных» иллюстрациях должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался нарушен, причем никакого другого порядка также не наблюдается.
То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд, - вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.