X СЛУЧАЙНЫЕ ТРЕМЫ. ТЕКСТУРА

31 ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ. ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ

Структура этой группы глав несколько запутана. Понятия случайных трем и текстуры сойдутся вместе только в главе 35, где будет показано, как можно управлять текстурой. В главе 34 понятие текстуры вводится вне особой связи с тремами; здесь описаны факты, которые можно было бы разбросать по нескольким предыдущим главам, однако ради сохранения целостности рассмотрения я предпочел собрать их в одном месте.

Что касается глав 31 – 33, то текстура в них совсем не упоминается, а тремы активно используются для построения случайных фракталов, многие из которых встретятся нам впервые. Новые фракталы (как и те, что рассматривались в предыдущих – броуновских – главах) свободны от временных и/или/ пространственных решеток.

В настоящей главе мы поговорим о случайных пылевидных множествах, ограниченных прямой, и попытаемся применить их к решению проблемы шума, с которой мы впервые столкнулись в главе 8, а также подготовим почву для их обобщения на плоскость  и пространство; различные варианты такого обобщения будут описаны дальше, в главах 32 и 33.

Главная практическая цель глав 32, 33 и 35 – внести вклад в построение модели скоплений галактик; впервые возможности решения этой проблемы мы обсуждали в главе 9.

Условно стационарные ошибки [21]

В главе 8 мы с восторгом обнаружили, что канторова пыль представляет собой вполне приемлемую модель главных характерных особенностей некоторых избыточных шумов в первом приближении. Однако мы даже не попытались проверить действительное соответствие модели реальным данным. Причина, очевидно, заключается в том, что мы заранее знали – никакого соответствия здесь нет и в помине. Канторова пыль слишком правильна для того, чтобы служить точной моделью любого из известных мне естественных иррегулярных феноменов. В частности, коэффициенты самоподобия канторовой пыли ограничены величинами вида . Кроме того, способ построения канторовой пыли также накладывает свой отпечаток (весьма неудачный, надо сказать): канторово множество не сможет быть совмещено само с собой посредством сдвига – иными словами, оно не является инвариантным относительно сдвига.

Иррегулярность можно легко привнести – для этого существует рандомизация. Что касается инвариантности  при сдвигах, то от нашей искомой замены канторову множеству потребуется лишь инвариантность в статистическом смысле. В рамках вероятностной терминологии это означает, что множество должно быть стационарным или, по меньшей мере, удовлетворять некоторому подходящим образом смягченному условию стационарности.

В главе 23 было предложено весьма простое средство для частичного достижения этой цели. В настоящей главе мы продвинемся еще на три шага вперед.

Первый шаг можно позаимствовать из самой ранней реалистичной модели перемежаемости. В работе [21] мы начали с некоторого конечного приближения пыли с порогами  и , а затем случайным образом перемешали  пустоты, чтобы добиться их статистической независимости друг от друга. Интервалы длины  между последовательными пустотами мы оставили неизменными. В главе 8 показано, что относительное количество пустот, длина которых превышает , задается в канторовой пыли почти гиперболической ступенчатой функцией. Рандомизация по-новому интерпретирует эту функцию в качестве распределения вероятностей больших отклонений .

В результате получаем рандомизированную канторову пыль с . К сожалению, ступени распределения   все еще сохраняют в себе следы исходных значений  и . Поэтому в [21] мы сгладили эти ступени: мы положили, что длины последовательных пустот, измеренные в единицах , представляют собой статистически независимые целые числа , причем их распределение имеет следующий вид:

.

Соответствие этой модели действительности оказалось на удивление хорошим: немецкие государственные телефонные линии показали , а согласно сообщениям других авторов, исследовавших позднее другие каналы, значение  варьируется от  до почти 1.

Длительности последовательных пустот в нашей с Берегером модели независимы; следовательно, ошибки представляют собой то, что в теории вероятности называется «процессом восстановления» или «возвратным процессом» (см. [147]). Каждая ошибка – это точка возврата, где прошлое и будущее статистически независимы друг от друга и следуют одинаковым для всех ошибок правилам.

Линейная пыль леви

К сожалению, множество, полученное перемешиванием пустот усеченной канторовой пыли (и сглаживанием их распределения), также не избавлено от недостатков:  соответствие формулы данным наблюдения по избыточным шумам все еще не полно;  ограничение , возможно, вполне приемлемо для физиков, однако весьма досадно с эстетической точки зрения;  построение остается неуклюжим и произвольным; и, наконец,  оно слишком далеко по духу от оригинального построения Кантора.

В [347], воспользовавшись множеством, предложенным Полем Леви, я построил усовершенствованный вариант искомого множества, лишенный недостатков (а) и (б). Позвольте мне назвать такое множество пылью Леви. При заданном значении  пыль Леви является единственным множеством, сочетающим в себе два желаемых свойства. Как и в рандомизированной усеченной канторовой пыли, прошлое и будущее, рассматриваемые из принадлежащей этому множеству точки, независимы друг от друга. Как и канторова пыль, пыль Леви статистически тождественна самой себе при уменьшении с произвольным коэффициентом подобия  в интервале от 0 до 1 – ничем подобным канторова пыль похвастаться не может.  

Оказывается, нуль – множество броуновского движения (глава 25) представляет собой пыль Леви с .

К сожалению, метод, использованный Леви при введении своего множества, сохраняет вышеупомянутые недостатки (в) и (г). К тому же, он весьма деликатен в формальном смысле: требуется, чтобы значение было не просто целым числом , но и могло принимать любые положительные вещественные значения с  вплоть до . Так как , общая «вероятность» также бесконечна. Метод, используемый для устранения этой, по всей видимости, нелепой возможности, весьма важен и интересен, однако никакого отношения к нашей работе не имеет.

К счастью, от этих трудностей легко избавиться, приняв более естественный способ построения «трем», предложенный в [371].

Действительные и виртуальные тремы

Предварительное замечание: я утверждаю, что было бы очень полезно описать исходную канторову пыль с помощью сочетания «действительных» и «виртуальных» трем. Начинаем – как обычно – с интервала  и вырезания его средней трети . После этого этапа сущность построения остается той же, однако формальное описание изменяется. Мы делаем вид, что средние трети на втором этапе вырезаются из каждой трети исходного интервала . Хотя вырезание средней трети из уже вырезанной средней трети не оказывает сколько-нибудь заметного воздействия, виртуальные тремы вскоре окажутся весьма удобными. Далее аналогичным образом вырезаем средние трети из каждой девятой части интервала , затем из каждой 27 –й  и т.д. Заметим, что распределение количества трем, длина которых превосходит , задается теперь ступенчатой функцией, общий характер изменения которой пропорционален уже не , а   . Характер зависимости от  сохраняется неизменным при различных правилах створаживания; от метода построения зависят только расположение ступеней и коэффициент пропорциональности.

Тремы в интервале и соответствующие пустоты [371]

В работе [371] я рандомизировал канторово построение путем сглаживания ступеней распределения и выбором расположения трем и их длин случайным образом, независимо друг от друга. Наконец, для реализации пропорциональности  предполагается, что количество трем, длина которых превышает , а центр приходится на некий интервал длины , имеет математическое ожидание, равное , и пуассоновское распределение. Причина введения обозначения  вскоре прояснится.

Будучи независимыми, тремы могут пересекаться, чем они и занимаются с большим удовольствием: вероятность того, что какую-либо трему ни разу не пересечет другая трема, равна нулю. Иными словами, понятия тремы и пустоты (или паузы) больше не совпадают: термином пустота  мы теперь обозначаем интервалы, образованные перекрывающимися тремами. Возникает вопрос: сливаются ли все тремы, в конце концов, в одну гигантскую пустоту, или в интервале остаются непокрытые ими точки? Мы сначала объявим ответ, а затем, в следующем разделе, обоснуем его с помощью наглядного рассуждения на примере процесса рождения и покажем, что непокрытые точки образуют невынужденные кластеры. 

Рассмотрим интервал, не покрытый полностью тремами с длиной больше , и введем меньшие тремы, длина которых превышает движущийся порог , убывающий с  до 0. Устремив при  порог  к 0, мы почти наверняка (вероятность стремится к 1) получим интервал, в котором не остается непокрытой ни одна точка. При  может получиться то же самое, однако почти полной уверенности тут уже нет.

Даже в пределе существует некоторая положительная вероятность, что какой-то участок («трема – фрактал») останется непокрытым. В [371] доказывается, что этот трема – фрактал представляет собой не что иное, как пыль Леви с размерностью .

Короче говоря, .

Процесс рожения и невынужденная кластеризация в пыли леви

При построении, описанном в главе 8, канторовы ошибки поступают иерархическими пакетами или «кластерами», причем интенсивность кластеризации находится в соответствии с показателем , Это свойство сохраняется и тогда, когда паузы перемешаны случайным образом, однако доказательство этого утверждения весьма запутано и мало что проясняет.

Напротив, доказательство того же результата для пыли со случайными тремами является очень простым и представляет подлинный интерес.

Суть, опять же, заключается в том, чтобы начать с трем, длина которых несколько больше порога , затем многократно умножать  на некоторый коэффициент  (скажем, ) с тем, чтобы значение  устремилось к нулю. Начинаем с межпаузного интервала, не содержащего трем, ограниченного двумя « - паузами». Добавление трем с длинами между  и  приводит иногда к совершенно опустошительному результату: стирается весь интервал. Существует, однако, неплохая вероятность того, что воздействие будет значительно более мягким:  ограничивающие « - паузы» растягиваются в более длинные  - паузы  и  внутри нашего межпаузного интервала появляются дополнительные малые  - паузы. Заново определенные межпаузные интервалы неизбежно выглядят как кластеризованные. Аналогичным образом порождаются и подкластеры, только  нужно заменить на

Эволюция этих кластеров при  управляется новым процессом – процессом рождения и гибели. Как и в классической теории (см. главу 23), кластеры гибнут или множатся независимо от других кластеров с тем же , равно как и от истории их семей. Вероятность стирания длинного межпаузного интервала меньше, чем вероятность стирания короткого, и кроме того, длинный интервал порождает в среднем более многочисленное потомство. При возрастании величины  интервалы между  - паузами становятся короче, а некоторые интервалы между  - паузами исчезают вовсе. Таким образом, ожидаемое количество потомков уменьшается двумя путями. Значение  является критическим в том смысле, что при  семейство почти наверное обречено на вымирание, тогда как при  существует положительная вероятность того, что семья будет процветать и множиться вечно.

Среднее количество ошибок согласно модели бергера – мандельброта

Это техническое отступление призвано показать, что основные результаты, касающиеся распределения ошибок в модели, основанной на канторовой пыли, остаются истинными и после рандомизации. Более того, в этом случае рассуждения и выводы значительно упрощаются, особенно если принять . Мы продемонстрируем применение условного математического ожидания в самоподобных процессах на следующем примере.

Предположим, что в интервале  имеется, по меньшей мере, одна ошибка; значение  находится  в диапазоне, определяемом неравенствами  и  . Такое условие имеет вид . Причина, по которой модель Бергера – Мандельброта называется условно стационарной, заключается в следующем: если интервал  целиком находится внутри интервала , то распределение условного количества ошибок, определяемого выражением , не зависит от . Следовательно, достаточно рассмотреть его при . Кроме того, учитывая аддитивность математических ожиданий, из одной лишь условной стационарности следует, что

.

Самоподобие же подразумевает, что

,

где  - константа, определяемая спецификой рассматриваемого процесса. Для доказательства этого утверждения достаточно ввести некоторую промежуточную величину , удовлетворяющую неравенству , и разложить нашу условную вероятность  в виде

.

Объединив два последних равенства, получим

.

Таким образом, для того, чтобы показать, что

,

вполне достаточно просто объединить условную стационарность с самоподобием. В данной конкретной модели . Кроме того, из одного лишь самоподобия следует, что величины

  и

являются случайными величинами, зависящими от , но не зависимых ни от , ни от .

В отличие от условной вероятности, абсолютная вероятность обусловливающего события  сильно зависит от . Однако если усечение до  произведено должным образом, то получается следующее равенство:

.

Поскольку последнее выражение можно вывести из выражения, приведенного в предыдущем абзаце, просто заменив  на  , а  на , событие «, если известно, что » можно рассматривать как событие « , если известно, что ». В пределе  вероятность того, что интервал  целиком поместится в некоторой очень длинной паузе, стремится к единице, т.е. вероятность возникновения ошибки становится бесконечно малой. Однако на выведенную ранее условную вероятность количества ошибок это никак не влияет.

Предыдущее рассуждение можно рассматривать как дополнение обсуждению условного космографического принципа в главе 22.

Рис. 398. Улицы, проложенные случайным образом

Как уже указывалось в главе 8, канторову пыль, к большому нашему сожалении, очень сложно изобразить непосредственно. Однако мы можем представить ее себе опосредованно, в виде пересечения троичной кривой Коха с ее основанием. Аналогичным образом можно опосредованно представить пыль Леви, На иллюстрации показаны черные полосы, напоминающие улицы и расположенные случайным образом; что особенно важно, их направления изотропны. Ширина «улиц» следует гиперболическому распределению и очень быстро уменьшается настолько, что их становится невозможно изобразить на рисунке. Площадь остаточного множества (участки белого цвета, или «кварталы») асимптотически приближается к нулю, а размерность  - к некоторой величине, меньшей 2.

Пока остаточные кварталы имеют размерность , их пересечение произвольной прямой представляет собой пыль Леви с размерностью . Если же , то пересечение почти наверное является пустым множеством. Этот вывод, однако, не представляется очевидным, так как на рисунке невозможно отобразить сколько-нибудь поздний этап построения.

В главе 33 имеется более удачная иллюстрация. В случае, когда вычитаемые из плоскости тремы представляет собой случайным образом расположенные диски случайного размера, как показано на рис. 424 – 427, пересечения трема – фракталов с прямыми суть не что иное, как пыль Леви.

Рис. 399 и 400. Дьявольские лестницы поля Леви (размерность ; размерности множеств абсцисс ступеней раны, соответственно, ,  и )

Эти графики представляют собой рандомизированные аналоги функции Кантора (иначе – чертовой лестницы) с рис. 125. Размерность наибольшей из этих лестниц Леви равна размерности Канторова оригинала; размерности двух оставшихся лестниц либо намного меньше, либо намного больше.

Для того чтобы построить лестницу Леви, рассмотрим абсциссу как функцию от ординаты. На первом этапе будем увеличивать абсциссу на некоторую случайную величину согласно распределению  при всяком увеличении ординаты на величину  (в наших примерах ). На втором этапе масштабируем абсциссу так, чтобы лестница заканчивалась в точке . Количество ступеней в маленькой лестнице с  кажется меньше из-за чрезвычайно сильной кластеризации абсцисс ступеней.