Афинность (само- ) и подобие
Термины самоподобный и самоаффинный (неологизм) применяются в тексте и к ограниченным, и к неограниченным множествам (не внося, смею надеяться, двусмысленности). Во многих описаниях турбулентности, равно как и в моих ранних работах, термин самоподобный употребляется в «общем» смысле, включая в себя и понятие самоаффинности, однако в настоящем эссе общее значение оставлено лишь за термином масштабно-инвариантный.
1. Самоподобие
Преобразование подобия представляет собой преобразование в евклидовом пространстве
, определяемое вещественным коэффициентом
. При таком преобразовании точка
переходит в точку
, а множество
, соответственно, в множество
(см. [235]).
Ограниченные множества. Ограниченное множество
самоподобно (относительно коэффициента
и целого числа
), если
представляет собой объединение
непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству
. Термин конгруэнтно означает «тождественно с точностью до смещения и / или / поворота».
Ограниченное множество
самоподобно (относительно массива коэффициентов
), если
представляет собой объединение
непересекающихся подмножеств, соответственно конгруэнтных
.
Ограниченное случайное множество
статистически самоподобно (относительно коэффициента
и целого числа
), если
представляет собой объединение
непересекающихся подмножеств, каждое из которых имеет вид
, где
множеств
конгруэнтны по своему распределению множеству
.
Неограниченные множества. Неограниченное множество
самоподобно относительно коэффициента
, если множество
конгруэнтно множеству
.
2. Самоаффинность
Аффинное преобразование в евклидовом
- мерном пространстве определяется совокупностью положительных вещественных коэффициентов
. При этом преобразовании каждая точка
переходит в точку
![](/archive/arch.php?path=../htm/book_fract/files.book&file=fract_41.files/image016.gif)
а множество
, как следствие, переходит в множество
.
Ограниченные множества. Ограниченное множество
самоаффинно (относительно вектора коэффициентов
и целого числа
), если
представляет собой объединение
непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству
.
Неограниченные множества. Неограниченное множество
самоаффинно относительно вектора коэффициентов
, если множество
конгруэнтно множеству
.
Вышеприведенное определение часто применяется при следующих условиях:
множество
представляет собой график функции
из скалярного времени
в
- мерный евклидов вектор;
;
. В этом случае прямое определение выглядит следующим образом: вектор – функция
от времени самоаффинна (относительно показателя
и фокального времени
), если существует некоторый показатель
- такой, что при любом
функция
независима от
.
Полуустойчивость по Ламперти. Случайные неограниченные самоаффинные множества в работах Ламперти [283, 285] полуустойчивыми.
Аллометрия . В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в
раз диаметр его ствола изменяется в
раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.