Устойчивые по леви случайные величины и функции

Среди достоинств гиперболического распределения отметим непревзойденную формальную простоту и инвариантность при усечении (см. раздел масштабная инвариантность при усечении). Другие преобразования, оставляющие его инвариантным, нас сейчас не интересуют. Гораздо большее значение для нас имеют сейчас распределения, инвариантные при сложении. Гиперболическими они являются лишь асимптотически, а Поль Леви выбрал для них в свое время в качестве названия донельзя перегруженный термин: «устойчивые распределения». Он же ввел и понятие устойчивого процесса, в котором участвуют как гиперболическое, так и устойчивое распределения.

До публикации моих работ устойчивые случайные величины считались явлениями «патологическими» и даже «чудовищными»; единственное исключение составлял случайный вектор Хольтсмарка, о котором мы поговорим в подразделе 9. Я предложил некоторые области приложения устойчивых случайных величин, важнейшие из которых описаны в главах 31, 32 и 37; Кроме того, ниже (подраздел 4) упоминается о возможности применения таких величин в генетике.

Литература. Существует огромное количество различных источников, но ни один из них нельзя счесть удовлетворительным. В монографии Феллера ([148], том II) материал по устойчивости представлен, пожалуй, в самом полном объеме, однако он разбросан по всей книге, и порой очень трудно отыскать необходимые сведения. Книга Ламперти [284] может послужить неплохим введением в курс дела. Рекомендую также и работу Гнеденко и Колмогорова [172], несмотря на ее почтенный возраст. Много полезных подробностей можно найти у Лукача [320]. Оригинальные трактаты Леви [302,  304] вряд ли придутся по вкусу всем, поскольку эти великие научные труды являют собой яркие образцы авторского стиля (см. главу 40).

1. Гауссовы С.В. масштабно-инвариантны при сложении

Известно, что гауссово распределение обладает следующим свойством: возьмем две независимые гауссовы случайные величины  и  и запишем

;      ;      ;

тогда их сумма удовлетворяет равенству

;      .

Что более важно, величина  сама является гауссовой случайной величиной. Таким образом, гауссово свойство инвариантно при сложении независимых случайных величин. Иными словами, гауссову случайную величину можно рассматривать как возможное решение системы уравнений, состоящей из функционального уравнения.

                          

и вспомогательные соотношения

                       .

В действительности же, только гауссово распределение удовлетворяет как уравнению , так и соотношению  (без учета масштаба).

Более того, если в качестве вспомогательного соотношения выступает , то гауссова случайная величина опять оказывается единственным решением.

Функциональное уравнение , для обозначения которого Леви использует термин устойчивость, подвергнуто весьма глубокому исследованию в его работе [302]. Во избежание возможной двусмысленности я использую в соответствующих случаях несколько громоздкую конструкцию устойчивость по Леви.

2. Случайная величина коши

Поскольку практически настроенные ученые не склонны подвергать сомнению соотношение , широко распространено мнение о том, что гауссово распределение является единственным устойчивым распределением. Это определенно не соответствует истине, о чем нам первым поведал Коши еще в 1853 г. (см. [71], с. 206). Коши приводит в пример некую случайную величину (впервые рассмотренную Пуассоном и называемую теперь «приведенной переменной Коши»), которая удовлетворяет следующему равенству

;

отсюда

.

Коши показал, что эта случайная величина является решением системы уравнений, составленной из  и альтернативного вспомогательного соотношения

                                         .

Для случайной величины Коши  или, точнее, . То есть для выражения такой очевидной вещи, как равенство масштаба произведения случайной величины  на некоторое неслучайное число  произведению  на масштаб , нам потребуется для измерения масштаба величина, отличная от среднеквадратического значения. Одним из кандидатов на эту роль является расстояние между квартилями  и , где .

Чаще всего случайная величина Коши используется в качестве контрпримера, как это сделано, например, в [33], с. 321 – 323. См. также [212].

Геометрическая порождающая модель. Вышеприведенную формулу  можно реализовать геометрически, разместив точку  с равномерным распределением вероятностей на окружности  и определив  как абсциссу точки, в которой прямая, проходящая через начало координат  и точку , пересекает прямую  . Случайная величина , определяемая в этом же построении как ордината точки, в которой прямая, проходящая через  и , пересекает прямую , имеет то же распределение, что и . Поскольку , получается, что величина, обратная случайной величине Коши, также является случайной величиной Коши.

Более того: всякий раз, когда вектор  является изотропно распределенным случайным вектором в плоскости, величина  является случайной величиной Коши. В частности, отношение двух независимых гауссовых случайных величин есть случайная величина Коши.

3. Возвращение броуновского движения

Составим систему из уравнения  и вспомогательного соотношения

                         .

Решением этой системы будет случайная величина, плотность которой при  равна нулю, а в остальных случаях имеет вид

.

Величина  представляет собой вероятность того, что броуновская функция, удовлетворяющая равенству , удовлетворяет также равенству  при некотором значении  из интервала .

4. Обобщенные устойчивые по леви случайные величины

Коши рассмотрел обобщенное вспомогательное соотношение

                         .

Симметричные решения. Основываясь на формальных расчетах, Коши утверждает, что система уравнений  и  имеет при любом значении  единственное решение: случайную величину, плотность которой имеет вид

.

Пойа и Леви показывают, что при  предположение Коши и в самом деле подтверждается, а гауссово распределение и распределение Коши являются частными случаями этого правила. Однако при  это предположение оказывается несостоятельным, поскольку в этом случае вышеприведенная формальная плотность принимает отрицательные значения, что есть абсурд.

Крайние несимметричные решения. Леви, кроме того, показывает, что система уравнений  и  допускает и несимеетричные решения. В случае наиболее экстремально асимметричных решений порождающая функция (преобразование Лапласа) определена и равна .

Другие несимметричные решения. Общим решением системы уравнений  и  является взвешенная разность двух независимых одинаково распределенных решений с крайней асимметрией. Веса принято обозначать через  и .

Окончательное обобщение уравнения . При неизменном  заменим условие  условием

                          .

При  такая замена ничего не меняет, однако при  система допускает дополнительные решения, которые называются асимметричными случайными величинами Коши.

Бактерии – мутанты. В статье [377] я показал, что общее количество мутировавших бактерий в старой культуре (задача Луриа – Дельбрюка) представляет собой устойчивую по Леви случайную величину с крайней асимметрией.

5. Форма устойчивых по леви плотностей

Если не считать трех исключений ( с ,  с  и  с ), нам не известны устойчивые по Леви распределения в замкнутой аналитической форме, однако свойства этих простых исключений можно обобщить и на другие случаи.

Во всех крайних асимметричных случаях с  плотность при  обращается в нуль.

В результате обобщения того факта, что гауссова плотность равна , мы имеем небольшой хвост крайних асимметричных случаев с . Плотность здесь .

При  плотность Коши , а плотность возвращений броуновской функции . В общем виде, при любом  плотность в длинном хвосте (или хвостах) .

В иных случаях поведение плотности  приходится находить численно. В [335] приведены графики для крайнего асимметричного случая, в [336] к ним добавлены примечания относительно очень близких к 2 значений , а в [341] – графики для симметричного случая. Методы быстрого преобразования Фурье значительно облегчают эту задачу, см. [120,  121].

6. Неравенство слагаемых и проистекающая из него кластеризация

Пусть  и  независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности . Плотность вероятности величины  имеет вид

.

Если известно значение суммы , то плотность условного распределения каждого из слагаемых  равна . Рассмотрим подробно форму этой плотности

Примеры. Когда плотность  является гауссовой плотностью с единичной дисперсией, т.е. унимодальной функцией (или функцией с одним максимумом), условное распределение также является гауссовым с центром в точке ,  а его дисперсия равна , т.е. не зависит от  (см. раздел броуновские фрактальные множества, 3). При  относительные значения слагаемых почти равны.

Когда плотность  представляет собой приведенную плотность Коши, т.е. снова унимодальную функцию, следует различать два очень непохожих случая. При , что составляет половину всех значений , условное распределение также унимодально, а наиболее вероятным значением снова является . В противоположном случае (при ) значение  становится наименее вероятным (локально). При  условное распределение разветвляется на две отдельные «огивы», центры которых расположены в окрестности точек  и . По мере того, как , становится все труднее отличить эти огивы от огив Коши с центрами в точках 0 и .

Когда плотность  представляет собой плотность возвращений броуновской функции, ситуация напоминает случай Коши, только еще более крайний, причем плотность условного распределения является бимодальной с вероятностью .

Вывод: рассмотрим три последовательных возвращения в нуль некоторого случайного блуждания: ,  и . Если значение разности  велико, то точка среднего возвращения с наибольшей вероятностью располагается чрезвычайно близко либо к точке , либо к , вероятность же того, что она окажется где-нибудь посередине между крайними возвращениями, можно полагать наименьшей. Этот результат сродни одному знаменитому «противоестественному» правилу из теории вероятности: закону арксинуса Леви.

Рассмотрим теперь условное распределение величины , если известно, что сумма  величин  принимает очень большое значение  . В случае гауссова распределения результат, скорее всего, окажется таким: каждое слагаемое  будет приблизительно равно . В случае же Коши (равно как и в случае броуновских возвращений) следует ожидать прямо противоположного результата: все слагаемые, кроме одного, будут очень малы.

Несоответствие, заключенное в идее «одинаковых» вкладов в сумму. Из того, что слагаемые a priori одинаковы (т.е. имеют одинаковое распределение), следует, что их значения могут a posteriori оказаться либо почти равными (как в случае гауссова распределения), либо в различной степени неравными (как в случае устойчивого по Леви распределения при очень большом значении суммы).

7. Нестандартные центральные ределы. Роль гиперболических случайных величин

Дана бесконечная последовательность , составленная из независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная задача формулируется следующим образом: возможно ли выбрать такие веса  и , чтобы сумма   имела нетривиальный предел при ?

В стандартном случае  ответ на этот вопрос будет стандартен и утвердителен: , , а предел является гауссовым.

Нестандартный случай  намного сложнее:  выбор  и  не всегда возможен;  когда выбор возможен, предел оказывается устойчивым негауссовым;  для того, чтобы показатель предела был равен , достаточно, чтобы последовательность  имела асимптотически гиперболическое распределение с показателем  (см. главу 38);  необходимое  и достаточное условие приводится в источниках, перечисленных в начале этого раздела.

8. Устойчивые по леви функции из прямой в прямую

Эти функции представляет собой случайные функции со стационарными независимыми приращениями, причем величина приращений  является устойчивой по Леви случайной величиной. Масштабный коэффициент , благодаря которому величина  остается независимой от , должен иметь вид .

Этот процесс является обобщением обыкновенного броуновского движения на случай .

Наиболее поразительное свойство функции  заключается в том, что она разрывна и содержит скачки.

Случай . В этом случае  не содержит ничего, кроме скачков, причем количество скачков, происходящих за интервал от  до  и имеющих абсолютное значение, превышающее , представляет собой распределенную по закону Пуассона случайную величину с математическим ожиданием .

Относительные количества положительных и отрицательных скачков равны, соответственно,  и . Крайний асимметричный случай  допускает только положительные скачки; такая функция называется устойчивым субординатором и служит для определения лестниц Леви, изображенных на рис. 399 и 400.

Парадокс. Поскольку  при , общее ожидаемое количество скачков бесконечно, какой бы малой ни была величина . То обстоятельство, что связанная с этим ожиданием вероятность также окажется бесконечной, представляется парадоксальным. Однако парадоксальность исчезает, как только мы обращаем внимание на то, что общее количество скачков, для которых , составляет конечную величину. Этот вывод выглядит вполне естественным, если отметить, что ожидаемая длина малого скачка конечна и пропорциональна

.

Случай . В этом случае вышеприведенный интеграл расходится, т.е. общий вклад малых скачков составляет бесконечную величину. Вследствие этого функция  содержит два члена, непрерывный и скачковый; каждый из членов бесконечен, однако сумма их конечна.

9. Устойчивые по леви векторы и функции

Заменим случайную величину  в функциональном уравнении , участвующем в определении устойчивости, случайным вектором . Если задан некоторый единичный вектор , то очевидно, что система уравнений  и  имеет элементарное решение – произведение вектора  на скалярную устойчивую случайную величину.

Леви [304] показывает, что общее решение есть просто сумма всех элементарных решений, каждое из которых соответствует своему направлению в пространстве и взвешено в соответствии с некоторым распределением по поверхности единичной сферы. Вклады этих решений могут быть дискретными (конечными или счетно бесконечными), либо бесконечно малыми. Для того, чтобы вектор  был изотропным, элементарные вклады должны быть распределены равномерно по всем направлениям.

Устойчивые по Леви векторные функции от времени. Подобно устойчивым скалярным функциям, векторные функции допускают разложение в сумму скачков, следующих гиперболическому распределению. Размеры и направления скачков определяются распределением по поверхности сферы.

Распределение Хольтсмарка. Спектроскопические исследования Хольтсмарка [220] пережили свое время благодаря тому, что их результаты оказалось возможным переформулировать в терминах ньютоновского притяжения (см. [76]); до появления моих работ только в этих исследованиях фигурировал конкретный пример устойчивого по Леви распределения.  Предположим, что в точке  имеется некая звезда, а в пространстве распределено (независимо друг от друга и с ожидаемой плотностью ) еще некоторое количество звезд единичной массы. Какова общая сила притяжения, испытываемая звездой  со стороны этих звезд? Вскоре после того, как Ньютон открыл свой знаменитый обратно - квадратичный закон притяжения, преподобный Бентли написал ему письмо, в котором указал на то, что притяжение звезд, заключенных внутри узкого конуса  с вершиной в точке , имеет бесконечное математическое ожидание; то же можно сказать и о притяжении звезд, заключенных внутри узкого конуса , симметричного конусу  относительно точки . Бентли заключил, что разница между этими бесконечностями не определена.

При решении задачи Хольтсмарка (в том виде, в каком ее обычно формулируют) подобная трудность нам не грозит, так как здесь мы имеем дело не с самими математическими ожиданиями, а с разностями между действительными и ожидаемыми величинами притяжения. Для начала рассмотрим звезды, заключенные внутри области, ограниченной вышеописанным конусом угловой величины  и сферами радиусов  и . Каждая звезда притягивает с силой , а их количество представляет собой пуассонову случайную величину с ожиданием . Следовательно, для разности между действительным притяжением и его математическим ожиданием имеем характеристическую функцию

.

Как выясняется, эта разность соответствует устойчивой по Леви случайной величине с показателем  и  . Из подраздела 6 (см. выше) нам известно, что большое положительное значение  обусловлено, скорее всего, присутствием одной – единственной звезды вблизи точки  и не зависит от плотности звезд в других местах; распределение случайной величины  при очень больших  ведет себя как распределение величины притяжения ближайшей звезды.

Таким образом, общее избыточное притяжение представляет собой изотропный устойчивый по Леви вектор с .

Смысл устойчивости можно объяснить так: допустим, звезда  испытывает притяжение со стороны двух равномерно распределенных звездных облаков, состоящих, скажем, из красных и голубых звезд; тогда величины силы притяжения только красных звезд, только голубых звезд и всех звезд вместе различаются лишь масштабным коэффициентом, а не аналитической формой их распределения.

10. Устойчивые случайные функции из пространства в прямую

Построение броуновской функции из пространства в прямую, предложенное Ченцовым [79], обобщено мною для устойчивого случая в [379].

11. Размерности

Самые ранние вычисления размерности устойчивого процесса для негауссова случая можно найти в работах [420] и [39,  41]. Полная библиография приведена у Прюитта и Тейлора [484].

12. масштабная инвариантность при взвешенном сложении

В разделе нелакунарные фракталы (подраздел 4) описывается представленное в статьях [376, 378] семейство обобщений устойчивых по Леви случайных величин. Эти обобщения основываются на обобщении условия устойчивости по Леви , заключающемся в замене весов  случайными величинами.