Фракталы (определение)

Хотя в главе 3 мы и определили термин фрактал, я все же продолжаю считать, что наша тема представляет собой как раз такой случай, когда лучше всего обойтись совсем без определения (в эссе 1975 г., кстати, никакого определения не было).

Самый простой довод в пользу такого нежелания состоит в том, что настоящее определение, как мы вскоре увидим, исключает из семейства фракталов кое-какие множества, которые нам не хотелось бы терять.

Имеется и иное фундаментальное соображение: мое определение включает размерности  и , однако понятие фрактальной структуры является, по всей видимости, более базовым, чем  или . По сути, понятия размерностей получили неожиданное новое применение и, как следствие, бóльшую значимость!

Иными словами, должна существовать возможность определить фрактальную структуру как инвариантную под воздействием некоторой соответствующей определенным требованиям совокупности гладких преобразований. Задача эта, однако, едва ли окажется простой. Для того чтобы оценить ее сложность в стандартном контексте, вспомним хотя бы о том, что под некоторые определения комплексного числа попадают и вещественные числа! На данном этапе основной для нас является необходимость провести границу между простыми фрактальными множествами и стандартными множествами евклидовой геометрии. Этой необходимости мое определение отвечает.

Мое очевидное отсутствие энтузиазма в отношении определения фракталов было, несомненно, отмечено (и, надеюсь, правильно понято) многими выдающимися математиками, не обнаружившими такого в эссе 1975 г. Тем не мене, мы вполне можем предпринять кое-какие шаги для уточнения существующего определения.

1. Определение

Впервые фрактальное множество было определено в предисловии к эссе 1975 г. как множество в метрическом пространстве, для которого верно следующее неравенство:

,

где  - размерность Хаусдорфа – Безиковича, а  - топологическая размерность.

Фракталы, описанные в этой книге, представляет собой, за одним исключением, множества в евклидовом пространстве размерности . Их можно назвать евклидовыми фракталами. Исключение представлено в главе 28: броуновскую береговую линию на сфере можно рассматривать как риманов фрактал.

2. Критика. размерности частично арифметические и чисто фрактальные

Вышеприведенное математическое определение является строгим, но не окончательным. Желая уточнить его, мы могли бы предложить несколько, на первый взгляд, вполне естественных поправок, однако здесь следует соблюдать известную осторожность.

Давным-давно, в поисках подходящей меры для свойств, которые впоследствии назовут фрактальными, я решил остановиться на размерности Хаусдорфа – Безиковича , так как она была изучена основательнее остальных. Мне, однако, до сих пор не дает покоя то обстоятельство, что авторы трактатов, подобных [141], считают своим долгом вводить все новые и новые бесчисленные варианты мер, отличающихся от  весьма незначительными деталями. Как бы то ни было, рассмотрение этих деталей можно пока отложить.

Кроме того, при наличии нескольких возможных вариантов размерностей необходимо избегать тех, что связаны с явно внешними характеристиками. Наиболее же существенно то, что в понятии размерности  совершенно отсутствует арифметический аспект, чего нельзя сказать ни о размерности Фурье  (с. 511), ни о показателе Безиковича – Тейлора (с. 510, см. также [251], с. 89).

3. Промежуточные случаи  хаусдорфа

Промежуточные случаи всегда очень проблематичны. Несправляемую кривую с размерностью  можно a priori назвать как фрактальной, так и нефрактальной; то же верно и в случае любого множества, для которого , а хаусдорфова мера, полученная с помощью пробной функции , бесконечна (не может обратиться в нуль). Приведу еще более раздражающий пример: канторова чертова лестница (см. рис. 125) на интуитивном уровне воспринимается как фрактал, поскольку она самым очевидным образом демонстрирует различные масштабы длины. Меня решительно не устраивает, что ее нельзя считать фракталом, пусть даже  (см. с. 541). За неимением иных критериев, я провожу границу, руководствуясь соображениями краткости определения. Если (и когда) будет предложен другой достойный критерий, определение нужно будет соответствующим образом изменить. См. также раздел хаусдорфова мера …, 8.

4. Вариант определения

Понятие емкостной размерности  или размерности Фростмана (см. потенциалы и емкости, 4) удовлетворяет критерию, установленному в подразделе 2 данного раздела, просто потому, что ее значение совпадает со значением . Следовательно, можно сформулировать альтернативное определение фрактала как множества, емкостная размерность которого больше его топологической размерности.

5. Фрактальные времена, внутренние и локальные

Некоторое количество сырого материала на эту тему можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.