3.3. Операции на нечетких множествах

В этом пункте приводятся основные операции на нечетких множествах - как операции на множествах, так и алгебраические.

Определение 3.11

Пересечением нечетких множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности

(3.37)

для каждого .

Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.14. Пересечение нечетких множеств определяется функцией принадлежности

(3.38)

для каждого .

Рис. 3.14. Графическое представление операции пересечения нечетких множеств.

Рис. 3.15. Графическое представление операции алгебраического произведения.

Замечание 3.2

В литературе помимо определения понятия «пересечение» (intersection) нечетких множеств также встречается определение понятия «алгебраическое произведение» (algebraic product) этих множеств. Алгебраическое произведение нечетких множеств и - это нечеткое множество , определенное как

. (3.39)

Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.15.

Определение 3.12

Сумма нечетких множеств и - нечеткое множество , определенное функцией принадлежности

(3.40)

для каждого . Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.16.

Функция принадлежности суммы нечетких множеств выражается зависимостью

(3.41)

для каждого .

Рис. 3.16. Графическое представление операции суммирования нечетких множеств.

Следует помнить, что свойство выпуклости нечетких множеств сохраняется для их пересечения, а свойство вогнутости - для их суммы, т.е.

1) если и - выпуклые нечеткие множества, то - выпуклое нечеткое множество;

2) если и - вогнутые нечеткие множества, то - вогнутое нечеткое множество.

Пример 3.9

Допустим, что и

(3.42)

(3.43)

В соответствии с определением 3.11 получаем

. (3.44)

В силу определения 3.12 имеем

. (3.45)

В то же время алгебраическое произведение нечетких множеств и , заданное выражением (3.39), принимает вид

. (3.46)

В литературе известна так называемая теорема о декомпозиции. Она позволяет представить произвольное нечеткое множество в виде суммы нечетких множеств, генерируемых -разрезами множества .

Теорема 3.1

Любое нечеткое множество можно представить в виде

, (3.47)

где означает нечеткое множество, элементам которого приписаны следующие степени принадлежности:

(3.48)

Пример 3.10

Проведем декомпозицию нечеткого множества (3.34). В соответствии с выражением (3.47) получим

. (3.49)

Замечание 3.3

В литературе известны и другие, отличающиеся от 3.11 и 3.12 определения пересечения и суммы нечетких множеств. Вместо продублированных ниже формул (3.37) и (3.40)

а)

можно встретить и альтернативные определения, например,

б) (3.50), (3.51)

в) (3.52), (3.53)

г) (3.54)

(3.55)

д) , (3.56)

(3.57)

для .

Как станет ясно из п. 3.7, операцию пересечения нечетких множеств можно определить с помощью так называемой -нормы, тогда как операцию суммирования - с помощью так называемой -нормы. Таким образом, формулы (3.37), (3.50), (3.52), (3.54) и (3.56) - это примеры реализации -нормы (операция пересечения), тогда как формулы (3.40), (3.51), (3.53), (3.55) и (3.57) - это примеры реализации -нормы (операция суммирования).

Замечание 3.4

В литературе известны попытки аналитического определения «наилучших» операций пересечения и суммирования нечетких множеств. Например, Беллман и Гиртц (Bellman and Giertz) в работе [1] поставили и решили задачу построения двух функций и

таких, что

, (3.58)

. (3.59)

Авторы отмеченной публикации выдвинули ряд условий, которым должны удовлетворять функции и , после чего показали, что этим условиям удовлетворяют только операции (3.37) и (3.40), предложенные в оригинальной работе Заде [34]. Это не означает, что операции (3.37) и (3.40) адекватны во всех приложениях; например, если

, (3.60)

то при этом в результате выполнения операции (3.37) получаем

(3.61)

независимо от величины . Другими словами, функция принадлежности нечеткого множества не оказывает никакого влияния на результат пересечения нечетких множеств и . Этот факт иллюстрируется на рис. 3.17. В такой ситуации более логичным представляется применение в качестве операции пересечения, например, выражения (3.50). При этом пересечение двух нечетких множеств будет идентично алгебраическому произведению этих множеств (см. замечание 3.2).

Определение 3.3

Дополнением нечеткого множества называется нечеткое множество с функцией принадлежности

(3.62)

для каждого . Графическая интерпретация операции дополнения представлена на рис. 3.18.

Рис. 3.17. Пересечение нечетких множеств и при .

Рис. 3.18. Графическое представление операции дополнения нечеткого множества.

Пример 3.11

Допустим, что , а также

. (3.63)

В соответствии с определением 3.13 дополнением множества считается множество

. (3.64)

Обратим внимание, что

, (3.65)

а также

. (3.66)

Можно показать, что представленные выше операции на нечетких множествах (определения 3.11 - 3.13) обладают свойствами коммутативности, связности и сепарабельности, и кроме того, отвечают правилу де Моргана и абсорбции. Однако в случае нечетких множеств не выполняется условие дополнительности, т.е.

, (3.67)

. (3.68)

Этот факт иллюстрируется рис. 3.19 и примером 3.11. Следует помнить, что функция принадлежности пересечения нечетких множеств и отвечает неравенству (см. [9])

. (3.69)