Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


3.3. Операции на нечетких множествах

В этом пункте приводятся основные операции на нечетких множествах - как операции на множествах, так и алгебраические.

Определение 3.11

Пересечением нечетких множеств  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности

                       (3.37)

для каждого .

Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.14. Пересечение нечетких множеств  определяется функцией принадлежности

                                    (3.38)

для каждого .

049-1.jpg

Рис. 3.14. Графическое представление операции пересечения нечетких множеств.

049-2.jpg

Рис. 3.15. Графическое представление операции алгебраического произведения.

Замечание 3.2

В литературе помимо определения понятия «пересечение» (intersection) нечетких множеств также встречается определение понятия «алгебраическое произведение» (algebraic product) этих множеств. Алгебраическое произведение нечетких множеств  и  - это нечеткое множество , определенное как

.                  (3.39)

Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.15.

Определение 3.12

Сумма нечетких множеств  и  - нечеткое множество , определенное функцией принадлежности

                       (3.40)

для каждого . Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.16.

Функция принадлежности суммы нечетких множеств  выражается зависимостью

                      (3.41)

для каждого .

050.jpg

Рис. 3.16. Графическое представление операции суммирования нечетких множеств.

Следует помнить, что свойство выпуклости нечетких множеств сохраняется для их пересечения, а свойство вогнутости - для их суммы, т.е.

1) если  и  - выпуклые нечеткие множества, то  - выпуклое нечеткое множество;

2) если  и  - вогнутые нечеткие множества, то  - вогнутое нечеткое множество.

Пример 3.9

Допустим, что  и

                  (3.42)

                  (3.43)

В соответствии с определением 3.11 получаем

.                (3.44)

В силу определения 3.12 имеем

.                (3.45)

В то же время алгебраическое произведение нечетких множеств  и , заданное выражением (3.39), принимает вид

.              (3.46)

В литературе известна так называемая теорема о декомпозиции. Она позволяет представить произвольное нечеткое множество  в виде суммы нечетких множеств, генерируемых -разрезами множества .

Теорема 3.1

Любое нечеткое множество  можно представить в виде

,                     (3.47)

где  означает нечеткое множество, элементам которого приписаны следующие степени принадлежности:

                  (3.48)

Пример 3.10

Проведем декомпозицию нечеткого множества (3.34). В соответствии с выражением (3.47) получим

.                        (3.49)

Замечание 3.3

В литературе известны и другие, отличающиеся от 3.11 и 3.12 определения пересечения и суммы нечетких множеств. Вместо продублированных ниже формул (3.37) и (3.40)

а)

можно встретить и альтернативные определения, например,

б)                              (3.50), (3.51)

в)                                    (3.52), (3.53)

г)                    (3.54)

                    (3.55)

д) ,                     (3.56)

                                      (3.57)

для .

Как станет ясно из п. 3.7, операцию пересечения нечетких множеств можно определить с помощью так называемой -нормы, тогда как операцию суммирования - с помощью так называемой -нормы. Таким образом, формулы (3.37), (3.50), (3.52), (3.54) и (3.56) - это примеры реализации -нормы (операция пересечения), тогда как формулы (3.40), (3.51), (3.53), (3.55) и (3.57) - это примеры реализации -нормы (операция суммирования).

Замечание 3.4

В литературе известны попытки аналитического определения «наилучших» операций пересечения и суммирования нечетких множеств. Например, Беллман и Гиртц (Bellman and Giertz) в работе [1] поставили и решили задачу построения двух функций  и

таких, что

,                    (3.58)

.                    (3.59)

Авторы отмеченной публикации выдвинули ряд условий, которым должны удовлетворять функции  и , после чего показали, что этим условиям удовлетворяют только операции (3.37) и (3.40), предложенные в оригинальной работе Заде [34]. Это не означает, что операции (3.37) и (3.40) адекватны во всех приложениях; например, если

,                    (3.60)

то при этом в результате выполнения операции (3.37) получаем

                (3.61)

независимо от величины . Другими словами, функция принадлежности нечеткого множества  не оказывает никакого влияния на результат пересечения нечетких множеств  и . Этот факт иллюстрируется на рис. 3.17. В такой ситуации более логичным представляется применение в качестве операции пересечения, например, выражения (3.50). При этом пересечение двух нечетких множеств будет идентично алгебраическому произведению этих множеств (см. замечание 3.2).

Определение 3.3

Дополнением нечеткого множества  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности

                (3.62)

для каждого . Графическая интерпретация операции дополнения представлена на рис. 3.18.

053-1.jpg

Рис. 3.17. Пересечение нечетких множеств  и  при .

053-2.jpg

Рис. 3.18. Графическое представление операции дополнения нечеткого множества.

Пример 3.11

Допустим, что , а также

.                   (3.63)

В соответствии с определением 3.13 дополнением множества  считается множество

.              (3.64)

Обратим внимание, что

,                        (3.65)

а также

.                 (3.66)

Можно показать, что представленные выше операции на нечетких множествах (определения 3.11 - 3.13) обладают свойствами коммутативности, связности и сепарабельности, и кроме того, отвечают правилу де Моргана и абсорбции. Однако в случае нечетких множеств не выполняется условие дополнительности, т.е.

,                (3.67)

.                (3.68)

Этот факт иллюстрируется рис. 3.19 и примером 3.11. Следует помнить, что функция принадлежности пересечения нечетких множеств  и  отвечает неравенству (см. [9])

.                     (3.69)

Аналогично в случае суммирования получаем

.                     (3.70)

Определение 3.14

Декартово произведение нечетких множеств  и  обозначается  и определяется как

                    (3.71)

или

              (3.72)

для каждого  и .

054.jpg

Рис. 3.19. Нечеткие множества  и .

Декартово произведение нечетких множеств   будем обозначать  и определим как

                    (3.73)

либо

                       (3.74)

для каждого .

Пример 3.12

Допустим, что ,  и

,                       (3.75)

.              (3.76)

При использовании для декартова произведения нечетких множеств  и  формулы (3.71) получаем

.                   (3.77)

Другие алгебраические операции на нечетких множествах играют важную роль в семантике лингвистических переменных (см. пункт 3.8).

Определение 3.15

Концентрация нечеткого множества  обозначается  и определяется как

                  (3.78)

для каждого .

Определение 3.16

Разбавление нечеткого множества  обозначается  и определяется как

                  (3.79)

для каждого .

Графическая интерпретация операции концентрации и разбавления представлена на рис. 3.20.

056.jpg

Рис. 3.20. Графическое представление операций концентрации и разбавления нечеткого множества.

Пример 3.13

Если  и

,                (3.80)

то в соответствии с определениями (3.15) и (3.16) получаем

,             (3.81)

.               (3.82)

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>