3.3. Операции на нечетких множествахВ этом пункте приводятся основные операции на нечетких множествах - как операции на множествах, так и алгебраические. Определение 3.11 Пересечением нечетких множеств
для каждого Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.14. Пересечение нечетких множеств
для каждого Рис. 3.14. Графическое представление операции пересечения нечетких множеств. Рис. 3.15. Графическое представление операции алгебраического произведения. Замечание 3.2 В литературе помимо определения понятия «пересечение» (intersection) нечетких множеств также встречается определение понятия «алгебраическое произведение» (algebraic product) этих множеств. Алгебраическое произведение нечетких множеств
Графическая интерпретация этой операции представлена на рис. 3.15. Определение 3.12 Сумма нечетких множеств
для каждого Функция принадлежности суммы нечетких множеств
для каждого Рис. 3.16. Графическое представление операции суммирования нечетких множеств. Следует помнить, что свойство выпуклости нечетких множеств сохраняется для их пересечения, а свойство вогнутости - для их суммы, т.е. 1) если 2) если Пример 3.9 Допустим, что
В соответствии с определением 3.11 получаем
В силу определения 3.12 имеем
В то же время алгебраическое произведение нечетких множеств
В литературе известна так называемая теорема о декомпозиции. Она позволяет представить произвольное нечеткое множество Теорема 3.1 Любое нечеткое множество
где
Пример 3.10 Проведем декомпозицию нечеткого множества (3.34). В соответствии с выражением (3.47) получим
Замечание 3.3 В литературе известны и другие, отличающиеся от 3.11 и 3.12 определения пересечения и суммы нечетких множеств. Вместо продублированных ниже формул (3.37) и (3.40) а) можно встретить и альтернативные определения, например, б) в) г)
д)
для Как станет ясно из п. 3.7, операцию пересечения нечетких множеств можно определить с помощью так называемой Замечание 3.4 В литературе известны попытки аналитического определения «наилучших» операций пересечения и суммирования нечетких множеств. Например, Беллман и Гиртц (Bellman and Giertz) в работе [1] поставили и решили задачу построения двух функций таких, что
Авторы отмеченной публикации выдвинули ряд условий, которым должны удовлетворять функции
то при этом в результате выполнения операции (3.37) получаем
независимо от величины Определение 3.3 Дополнением нечеткого множества
для каждого Рис. 3.17. Пересечение нечетких множеств Рис. 3.18. Графическое представление операции дополнения нечеткого множества. Пример 3.11 Допустим, что
В соответствии с определением 3.13 дополнением множества
Обратим внимание, что
а также
Можно показать, что представленные выше операции на нечетких множествах (определения 3.11 - 3.13) обладают свойствами коммутативности, связности и сепарабельности, и кроме того, отвечают правилу де Моргана и абсорбции. Однако в случае нечетких множеств не выполняется условие дополнительности, т.е.
Этот факт иллюстрируется рис. 3.19 и примером 3.11. Следует помнить, что функция принадлежности пересечения нечетких множеств
Аналогично в случае суммирования получаем
Определение 3.14 Декартово произведение нечетких множеств
или
для каждого Рис. 3.19. Нечеткие множества Декартово произведение нечетких множеств
либо
для каждого Пример 3.12 Допустим, что
При использовании для декартова произведения нечетких множеств
Другие алгебраические операции на нечетких множествах играют важную роль в семантике лингвистических переменных (см. пункт 3.8). Определение 3.15 Концентрация нечеткого множества
для каждого Определение 3.16 Разбавление нечеткого множества
для каждого Графическая интерпретация операции концентрации и разбавления представлена на рис. 3.20. Рис. 3.20. Графическое представление операций концентрации и разбавления нечеткого множества. Пример 3.13 Если
то в соответствии с определениями (3.15) и (3.16) получаем
|