3.4. Принцип расширения
Принцип расширения позволяет перенести (расширить) различные математические операции с четких множеств на нечеткие множества. Рассмотрим некоторое четкое отображение
пространства
в пространство 
. (3.83)
Пусть
будет заданным нечетким множеством, определенным в пространстве
, т.е.
. Если нечеткое множество
имеет вид (3.3), т.е.

и отображение
является взаимно однозначным, то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением и определенное в пространстве
нечеткое множество
имеет вид
. (3.84)
Пример 3.14
Допустим, что
(3.85)
и
. В соответствии с принципом расширения получаем
. (3.86)
Рассмотрим теперь ситуацию, в которой более чем один элемент множества
отображается в один и тот же элемент
(отображение
не является взаимно однозначным). В такой ситуации степень принадлежности элемента
к нечеткому множеству
равна максимальной степени принадлежности среди тех элементов множества
, которые отображаются в один и тот же элемент
. Для иллюстрации этой реализации принципа расширения рассмотрим следующий пример.
Пример 3.15
Если
(3.87)
и
, то нечеткое множество
, генерируемое отображением
, равно
, (3.88)
поскольку
.
Обозначим
множество тех элементов
, которые отображаются в элемент
преобразованием
. Если
представляет собой пустое множество, т.е.
, то степень принадлежности элемента
к нечеткому множеству
равна нулю. Приведенные рассуждения и иллюстрирующие их примеры позволяют сформулировать следующее определение:
Определение 3.17
Если существует некоторое четкое отображение вида (3.83) и задано нечеткое множество
, то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением нечеткое множество
имеет вид
, (3.89)
где
(3.90)
Определение 3.17 охватывает пространство
как с конечным количеством элементов (когда множество
задается формулой (3.84)), так и с бесконечным количеством элементов. Во втором случае формируемое отображением
нечеткое множество
можно представить в виде
. (3.91)
В некоторых приложениях (например, в нечетких числах, п. 3.5) полезным оказывается другое представление принципа расширения, выражаемое следующим определением:
Определение 3.18
Пусть
- это декартово произведение четких множеств
. Если существует некоторое четкое отображение
, (3.92)
а также некоторые нечеткие множества
, то принцип расширения гласит, что формируемое отображением
нечеткое множество
имеет вид
, (3.93)
при этом
(3.94)
Очередные два примера иллюстрируют факт, что принцип расширения позволяет переносить арифметические операции на нечеткие множества.
Пример 3.16
Допустим, что
- это декартово произведение множеств
. Пусть
- это нечеткое множество чисел, «близких числу 2»:
, (3.95)
тогда как
- нечеткое множество чисел, «близких числу 4»:
. (3.96)
Если
, (3.97)
то формируемое отображением (3.97) множество
будет нечетким множеством чисел, «близких числу 8», причем
. Согласно определению 3.18 получаем

(3.98)
Следующий пример иллюстрирует случай, когда элементу
принимает одно и то же значение при различных значениях элементов
и
.
Пример 3.17
Допустим, что
- декартово произведение множеств
. Определим следующее нечеткое множество
чисел, «близких числу 2»:
, (3.99)
а также нечеткое множество чисел
, «близких числу 3»
. (3.100)
В этом случае формируемое отображением (3.97) множество
будет нечетким множеством чисел, «близких числу 6», причем
. Согласно определению (3.18) получаем
(3.101)