3.9.1. Классический модуль нечеткого управления
На рис. 3.26 представлена типовая структура модуля нечеткого управления. Он состоит из следующих компонентов: базы правил, блока фуззификации (fuzzification), блока выработки решения, блока дефуззификации.

Рис. 3.26. Модуль нечеткого управления.
3.9.1.1. База правил
База правил, иногда называемая лингвистической моделью, представляет собой множество нечетких правил
,
, вида
: IF (
это
AND
это
… AND
это
)
THEN (
это
AND
это
… AND
это
), (3.224)
где
- количество нечетких правил,
- нечеткие множества
,
, (3.225)
- нечеткие множества
,
, (3.226)
- входные переменные лингвистической модели, причем
, (3.227)
- входные переменные лингвистической модели, причем
. (3.228)
Символами
,
и
,
обозначаются соответственно пространства входных и выходных переменных.
Для дальнейших рассуждений примем, что конкретные правила
,
связаны между собой логическим оператором «ИЛИ». Кроме того, допустим, что выходы
взаимно независимы. Поэтому без утраты общности будем использовать нечеткие правила со скалярным выходом в форме
: IF (
это
AND
это
… AND
это
)
THEN (
это
), (3.229)
где
и
.
Заметим, что каждое правило вида (3.229) состоит из части IF, называемой посылкой (antecedent), и части THEN, называемой следствием (consequent). Посылка правила содержит набор условий, тогда как следствие содержит вывод. Переменные
и
могут принимать как лингвистические (например, «малый», «средний», «большой»), так и числовые значения. Если ввести обозначения
, (3.230)
, (3.231)
то правило (3.229) можно представить в виде нечеткой импликации
,
. (3.232)
Обратим внимание, что правило также можно интерпретировать как нечеткое отношение, определенное на множестве
, т.е.
- это нечеткое множество с функцией принадлежности
. (3.233)
При проектировании модулей нечеткого управления следует оценивать достаточность количества нечетких правил, их непротиворечивость и наличие корреляции между отдельными правилами. Эти проблемы детально обсуждаются в работах [5, 7, 26].
3.9.1.2. Блок фуззификации
Система управления с нечеткой логикой оперирует нечеткими множествами. Поэтому конкретное значение
входного сигнала модуля нечеткого управления подлежит операции фуззификации, в результате которой ему будет сопоставлено нечеткое множество
. В задачах управления чаще всего применяется операция фуззификации типа синглетон (singleton):
(3.234)
Нечеткое множество
подается на вход блока выработки решения. Если входной сигнал поступает зашумленным, то нечеткое множество
можно определить функцией принадлежности
, (3.235)
где
. В этом случае операция фуззификации имеет тип non-singleton.
3.9.1.3. Блок выработки решения
Допустим, что на вход блока выработки решения подано нечеткое множество
. На выходе этого блока также появится соответствующее нечеткое множество. Рассмотрим два случая, которым будут соответствовать различные методы дефуззификации (п. 3.9.1.4).
Случай 1
На выходе блока выработки решения в соответствии с обобщенным нечетким правилом modus ponens получаем
нечетких множеств
.
Условие
Импликация
|
это 

, 

|
(3.236)
|
Вывод
|
это , 
|
Нечеткое множество
определяется комбинацией нечеткого множества
и отношения
, т.е.
,
. (3.237)
При использовании определения 3.28 можно задать функцию принадлежности нечеткого множества
в виде
. (3.238)
Конкретная форма функции
зависит от применяемой
-нормы (п. 3.6), определения нечеткой импликации
(п. 3.8.3) и от способа определения декартова произведения нечетких множеств (определение 3.14). Следует отметить, что если выполняется операция фуззификации типа синглетон (3.234), то выражение (3.238) принимает вид
. (3.239)
Пример 3.32
Если
,
-норма имеет тип min, нечеткая импликация определяется правилом типа min и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.71), то выражение (3.238) принимает вид
(3.240)
Последнее равенство следует из того, что
(3.241)
и
. (3.242)
Пример 3.33
Если
,
-норма имеет тип произведение, нечеткая импликация определяется правилом типа произведение и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.72), то выражение (3.238) принимает вид
(3.243)
Пример 3.34
Если
,
-норма имеет тип min, нечеткая импликация определяется правилом типа произведение и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.72), то получаем выражение
(3.244)
Случай 2
На выходе блока выработки решения получаем одно нечеткое множество
по обобщенному нечеткому правилу modus ponens, которое принимает вид
Условие
Импликация
|
это 

, 

|
(3.245)
|
Вывод
|
это 
|
При использовании комбинированного правила вывода получаем
, (3.246)
где
. В силу определений 3.12 и 3.28 получаем
. (3.247)
Заметим, что вывод по схеме (3.245) - это результат комбинирования посылки
и глобального правила (отношения)
, которое представляет собой обобщение отдельных правил
,
. Будем называть такой прием глобальным подходом к проблеме синтеза блока выработки решения.
Допустим теперь, что выполняется равенство
. (3.248)
Легко проверить [22], что равенство (2.248) соблюдается, если правила нечеткой импликации (п. 3.8.3) определены
-нормой типа min или произведение. При использовании определений 3.12 и 3.28 получаем функцию принадлежности нечеткого множества
в виде
, (3.249)
причем функция принадлежности
задается выражением (3.238).
В этом случае вывод по схеме (3.245) представляет собой результат локального комбинирования (3.238) посылки
и правила
,
с последующим агрегированием, которое определяется равенством (3.249). Будем называть такой прием локальным подходом к проблеме синтеза блока выработки решения.
Пример 3.35
Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил
: IF (
это
AND
это
) THEN (
это
), (3.250)
: IF(
это
AND
это
) THEN (
это
). (3.251)
На его вход подан сигнал
. После выполнения фуззификации типа синглетон на входе блока выработки решения получаем нечеткие множества
и
, причем
,
. (3.252)
Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом
. Воспользуемся выражением (3.238), которое принимает вид
. (3.253)
В качестве
-нормы будем применять операцию minimum. Кроме того, допустим, что
(3.254)
В этом случае
(3.255)
В качестве нечеткой импликации
(3.256)
можно применить одно из десяти правил, представленных в п. 3.8.3. При использовании правила типа minimum получаем
. (3.257)
Кроме того,
. (3.258)
В результате
(3.259)
. (3.260)
На рис. 3.27 представлена графическая интерпретация нечеткого вывода.

Рис. 3.27. Иллюстрация к примеру 3.35.
Пример 3.36
В этом примере мы повторим рассуждения, проведенные в примере 3.35, однако вместо нечеткой импликации (3.257) применим правило типа «произведение», т.е.
. (3.261)
В результате использования правил (1) и (2) получаем нечеткое множество
с функцией принадлежности
. (3.262)
В этом случае
. (3.263)
Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.28.

Рис. 3.28. Иллюстрация к примеру 3.36.
Пример 3.37
Рассмотрим модуль нечеткого управления, описанный в примере 3.35, при условии, что входные сигналы (числовые)
и
подвергаются операции фуззификации, в результате которой на входе блока выработки решения появляются нечеткие множества
и
с функциями принадлежности
и
. Другими словами, мы отступаем от соотношений (3.252), ограничивающих класс множеств
и
нечеткими синглетонами. Другие принципы, сформулированные в примере 3.35, остаются в силе. В соответствии с выражением (3.238) получаем
(3.264)
Для упрощения последующих формул операцию min обозначим символом
. При этом
(3.265)
В результате
(3.266)
Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.29.

Рис. 3.29. Иллюстрация к примеру 3.37.
Пример 3.38
В примере 3.37 мы предположили, что нечеткая импликация имеет тип minimum, т.е.
.
Применим теперь импликацию типа «произведение»
.
Остальные условия такие же, как в примере 3.37. По аналогии с предыдущим примером получаем
(3.267)
Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.30.

Рис. 3.30. Иллюстрация к примеру 3.38.
Пример 3.39
В примере 3.37 мы предположили, что
-норма, декартово произведение и нечеткая импликация определяются с помощью операции minimum. Теперь заменим эту операцию на произведение. В соответствии с формулой (3.238) получаем
(3.268)
Функцию принадлежности нечеткого множества
зададим согласно формулам (3.268) и (3.249). Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.31.

Рис. 3.31. Иллюстрация к примеру 3.39.
В таблице 3.5 сгруппированы способы определения операции фуззификации,
-нормы, декартова произведения и нечеткой импликации из примеров 3.35 - 3.39.
Таблица 3.5. Способы определения операции фуззификации,
-нормы, декартова произведения и нечеткой импликации из примеров 3.35 - 3.39
Пример
|
Операция
фуззификации
|
-норма декартова произведения
|
Определение
нечеткой импликации
|
Правило
|
Рисунок
|
3.35
|
синглетон
|
min
|
min
|
min
|
3.27
|
3.36
|
синглетон
|
min
|
min
|
произведение
|
3.28
|
3.37
|
не синглетон
|
min
|
min
|
min
|
3.29
|
3.38
|
не синглетон
|
min
|
min
|
произведение
|
3.30
|
3.39
|
- не синглетон
- синглетон
|
произведение
|
произведение
|
произведение
|
3.31
|
Пример 3.40
Ранее мы рассматривали правила вида (3.229). В этом примере два первых правила
и
представляют собой частные случаи выражения (3.229), тогда как правило
содержит связку OR
: IF (
это
AND
это
) THEN (
это
),
: IF (
это
AND
это
) THEN (
это
),
: IF (
это
OR
это
) THEN (
это
).
На рис. 3.32 показана графическая интерпретация нечеткого вывода при условии, что
-норма, декартово произведение и правило нечеткой импликации имеют тип min. Обсуждаемая проблема решается и другим способом. Для этого обратим внимание на то, что правило можно представить в виде двух правил
и
:
: IF (
это
) THEN (
это
),
: IF (
это
) THEN (
это
).

Рис. 3.32. Иллюстрация к примеру 3.40.
Мы получили правила
,
,
и
, которые представляют собой частные случаи выражения (3.229). Читатель с легкостью выведет аналитическую форму функции принадлежности множества
, базируясь на результатах примера 3.37.
3.9.1.4. Блок дефуззификации
На выходе блока выработки решения формируется либо
нечетких множеств
(случай 1, п. 3.9.1.3) с функциями принадлежности
,
, либо одно нечеткое множество
(случай 2, п. 3.9.1.3) с функцией принадлежности
. Встает задача отображения нечетких множеств
(либо нечеткого множества
) в единственное значение
, которое представляет собой управляющее воздействие, подаваемое на вход объекта. Такое отображение называется дефуззификацией (defuzzification), и реализуется оно в одноименном блоке.
Если на выходе блока выработки решения формируется
нечетких множеств
, то значение
можно рассчитать с помощью различных методов.
1. Метод дефуззификации по среднему центру (сenter average defuzzification). Значение
рассчитывается по формуле
, (3.269)
где
- это точка, в которой функция
принимает максимальное значение, т.е.
. (3.270)
Точка
называется центром (center) нечеткого множества
.
На рис. 3.33 представлена идея этого метода для
. Обратим внимание, что значение
не зависит от формы и носителя функции принадлежности
.

Рис. 3.33. Иллюстрация метода дефуззификации по среднему центру.
2. Метод дефуззификации по сумме центров (center of sums defuzzification). Значение
рассчитывается следующим образом:
. (3.271)
Если выходное значение блока выработки решения представляет собой единственное нечеткое множество
, то значение
можно определить с применением следующих двух методов.
3. Метод центра тяжести (center of gravity method, center of area method). Значение
рассчитывается как центр тяжести функции принадлежности
, т.е.
(3.272)
при условии, что оба интеграла в приведенном выражении существуют. На рис. 3.34 иллюстрируется способ определения значения
по методу центра тяжести.

Рис. 3.34. Иллюстрация метода центра тяжести.
4. Метод максимума функции принадлежности. Значение
рассчитывается в соответствии с формулой
(3.273)
при условии, что
- это унимодальная функция. Этот метод не учитывает форму функции принадлежности, что иллюстрируется на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Иллюстрация метода максимума функции принадлежности.