Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


3.9.1. Классический модуль нечеткого управления

На рис. 3.26 представлена типовая структура модуля нечеткого управления. Он состоит из следующих компонентов: базы правил, блока фуззификации (fuzzification), блока выработки решения, блока дефуззификации.

085.jpg

Рис. 3.26. Модуль нечеткого управления.

3.9.1.1. База правил

База правил, иногда называемая лингвистической моделью, представляет собой множество нечетких правил , , вида

: IF ( это  AND  это  … AND  это )

THEN ( это  AND  это  … AND  это ),           (3.224)

где - количество нечетких правил,  - нечеткие множества

, ,                   (3.225)

 - нечеткие множества

, ,                (3.226)

 - входные переменные лингвистической модели,     причем

,                    (3.227)

 - входные переменные лингвистической модели, причем

.                   (3.228)

Символами ,  и ,  обозначаются соответственно пространства входных и выходных переменных.

Для дальнейших рассуждений примем, что конкретные правила ,  связаны между собой логическим оператором «ИЛИ». Кроме того, допустим, что выходы  взаимно независимы. Поэтому без утраты общности будем использовать нечеткие правила со скалярным выходом в форме

: IF ( это  AND  это  … AND  это )

THEN ( это ),                     (3.229)

где  и .

Заметим, что каждое правило вида (3.229) состоит из части IF, называемой посылкой (antecedent), и части THEN, называемой следствием (consequent). Посылка правила содержит набор условий, тогда как следствие содержит вывод. Переменные  и  могут принимать как лингвистические (например, «малый», «средний», «большой»), так и числовые значения. Если ввести обозначения

,                       (3.230)

,                      (3.231)

то правило (3.229) можно представить в виде нечеткой импликации

, .                        (3.232)

Обратим внимание, что правило также можно интерпретировать как нечеткое отношение, определенное на множестве , т.е.  - это нечеткое множество с функцией принадлежности

.                (3.233)

При проектировании модулей нечеткого управления следует оценивать достаточность количества нечетких правил, их непротиворечивость и наличие корреляции между отдельными правилами. Эти проблемы детально обсуждаются в работах [5, 7, 26].

3.9.1.2. Блок фуззификации

Система управления с нечеткой логикой оперирует нечеткими множествами. Поэтому конкретное значение  входного сигнала модуля нечеткого управления подлежит операции фуззификации, в результате которой ему будет сопоставлено нечеткое множество . В задачах управления чаще всего применяется операция фуззификации типа синглетон (singleton):

                  (3.234)

Нечеткое множество  подается на вход блока выработки решения. Если входной сигнал поступает зашумленным, то нечеткое множество  можно определить функцией принадлежности

,                     (3.235)

где . В этом случае операция фуззификации имеет тип non-singleton.

3.9.1.3. Блок выработки решения

Допустим, что на вход блока выработки решения подано нечеткое множество . На выходе этого блока также появится соответствующее нечеткое множество. Рассмотрим два случая, которым будут соответствовать различные методы дефуззификации (п. 3.9.1.4).

Случай 1

На выходе блока выработки решения в соответствии с обобщенным нечетким правилом modus ponens получаем  нечетких множеств .

Условие

 

 

Импликация

 

 это

,

            (3.236)

Вывод

 это ,

Нечеткое множество  определяется комбинацией нечеткого множества  и отношения , т.е.

, .               (3.237)

При использовании определения 3.28 можно задать функцию принадлежности нечеткого множества  в виде

.              (3.238)

Конкретная форма функции  зависит от применяемой -нормы (п. 3.6), определения нечеткой импликации  (п. 3.8.3) и от способа определения декартова произведения нечетких множеств (определение 3.14). Следует отметить, что если выполняется операция фуззификации типа синглетон (3.234), то выражение (3.238) принимает вид

.                 (3.239)

Пример 3.32

Если , -норма имеет тип min, нечеткая импликация определяется правилом типа min и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.71), то выражение (3.238) принимает вид

  (3.240)

Последнее равенство следует из того, что

                    (3.241)

и

.                       (3.242)

Пример 3.33

Если , -норма имеет тип произведение, нечеткая импликация определяется правилом типа произведение и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.72), то выражение (3.238) принимает вид

                     (3.243)

Пример 3.34

Если , -норма имеет тип min, нечеткая импликация определяется правилом типа произведение и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.72), то получаем выражение

               (3.244)

Случай 2

На выходе блока выработки решения получаем одно нечеткое множество  по обобщенному нечеткому правилу modus ponens, которое принимает вид

Условие

 

 

Импликация

 

 это

,

            (3.245)

Вывод

 это

При использовании комбинированного правила вывода получаем

,                  (3.246)

где . В силу определений 3.12 и 3.28 получаем

.                      (3.247)

Заметим, что вывод по схеме (3.245) - это результат комбинирования посылки  и глобального правила (отношения) , которое представляет собой обобщение отдельных правил , . Будем называть такой прием глобальным подходом к проблеме синтеза блока выработки решения.

Допустим теперь, что выполняется равенство

.                     (3.248)

Легко проверить [22], что равенство (2.248) соблюдается, если правила нечеткой импликации (п. 3.8.3) определены -нормой типа min или произведение. При использовании определений 3.12 и 3.28 получаем функцию принадлежности нечеткого множества  в виде

,                   (3.249)

причем функция принадлежности  задается выражением (3.238).

В этом случае вывод по схеме (3.245) представляет собой результат локального комбинирования (3.238) посылки  и правила ,  с последующим агрегированием, которое определяется равенством (3.249). Будем называть такой прием локальным подходом к проблеме синтеза блока выработки решения.

Пример 3.35

Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил

: IF ( это  AND  это ) THEN ( это ),             (3.250)

: IF( это  AND  это ) THEN ( это ).                        (3.251)

На его вход подан сигнал . После выполнения фуззификации типа синглетон на входе блока выработки решения получаем нечеткие множества  и , причем

, .                    (3.252)

Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом . Воспользуемся выражением (3.238), которое принимает вид

.                 (3.253)

В качестве -нормы будем применять операцию minimum. Кроме того, допустим, что

                  (3.254)

В этом случае

                       (3.255)

В качестве нечеткой импликации

                 (3.256)

можно применить одно из десяти правил, представленных в п. 3.8.3. При использовании правила типа minimum получаем

.               (3.257)

Кроме того,

.                       (3.258)

В результате

                     (3.259)

.                       (3.260)

На рис. 3.27 представлена графическая интерпретация нечеткого вывода.

091.jpg

Рис. 3.27. Иллюстрация к примеру 3.35.

Пример 3.36

В этом примере мы повторим рассуждения, проведенные в примере 3.35, однако вместо нечеткой импликации (3.257) применим правило типа «произведение», т.е.

.             (3.261)

В результате использования правил (1) и (2) получаем нечеткое множество  с функцией принадлежности

.            (3.262)

В этом случае

.                    (3.263)

Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.28.

092.jpg

Рис. 3.28. Иллюстрация к примеру 3.36.

Пример 3.37

Рассмотрим модуль нечеткого управления, описанный в примере 3.35, при условии, что входные сигналы (числовые)  и  подвергаются операции фуззификации, в результате которой на входе блока выработки решения появляются нечеткие множества  и  с функциями принадлежности  и . Другими словами, мы отступаем от соотношений (3.252), ограничивающих класс множеств  и  нечеткими синглетонами. Другие принципы, сформулированные в примере 3.35, остаются в силе. В соответствии с выражением (3.238) получаем

                  (3.264)

Для упрощения последующих формул операцию min обозначим символом . При этом

      (3.265)

В результате

           (3.266)

Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.29.

093.jpg

Рис. 3.29. Иллюстрация к примеру 3.37.

Пример 3.38

В примере 3.37 мы предположили, что нечеткая импликация имеет тип minimum, т.е.

.

Применим теперь импликацию типа «произведение»

.

Остальные условия такие же, как в примере 3.37. По аналогии с предыдущим примером получаем

        (3.267)

Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.30.

094.jpg

Рис. 3.30. Иллюстрация к примеру 3.38.

Пример 3.39

В примере 3.37 мы предположили, что -норма, декартово произведение и нечеткая импликация определяются с помощью операции minimum. Теперь заменим эту операцию на произведение. В соответствии с формулой (3.238) получаем

(3.268)

Функцию принадлежности нечеткого множества  зададим согласно формулам (3.268) и (3.249). Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.31.

095.jpg

Рис. 3.31. Иллюстрация к примеру 3.39.

В таблице 3.5 сгруппированы способы определения операции фуззификации, -нормы, декартова произведения и нечеткой импликации из примеров 3.35 - 3.39.

Таблица 3.5. Способы определения операции фуззификации, -нормы, декартова произведения и нечеткой импликации из примеров 3.35 - 3.39

Пример

Операция

фуззификации

-норма декартова произведения

Определение

нечеткой импликации

Правило

Рисунок

3.35

синглетон

min

min

min

3.27

3.36

синглетон

min

min

произведение

3.28

3.37

не синглетон

min

min

min

3.29

3.38

не синглетон

min

min

произведение

3.30

3.39

- не синглетон

 - синглетон

произведение

произведение

произведение

3.31

Пример 3.40

Ранее мы рассматривали правила вида (3.229). В этом примере два первых правила  и  представляют собой частные случаи выражения (3.229), тогда как правило  содержит связку OR

: IF ( это  AND  это ) THEN ( это ),

: IF ( это  AND  это ) THEN ( это ),

: IF ( это  OR  это ) THEN ( это ).

На рис. 3.32 показана графическая интерпретация нечеткого вывода при условии, что -норма, декартово произведение и правило нечеткой импликации имеют тип min. Обсуждаемая проблема решается и другим способом. Для этого обратим внимание на то, что правило можно представить в виде двух правил  и :

: IF ( это ) THEN ( это ),

: IF ( это ) THEN ( это ).

096.jpg

Рис. 3.32. Иллюстрация к примеру 3.40.

Мы получили правила , , и , которые представляют собой частные случаи выражения (3.229). Читатель с легкостью выведет аналитическую форму функции принадлежности множества , базируясь на результатах примера 3.37.

3.9.1.4. Блок дефуззификации

На выходе блока выработки решения формируется либо  нечетких множеств  (случай 1, п. 3.9.1.3) с функциями принадлежности , , либо одно нечеткое множество  (случай 2, п. 3.9.1.3) с функцией принадлежности . Встает задача отображения нечетких множеств  (либо нечеткого множества ) в единственное значение , которое представляет собой управляющее воздействие, подаваемое на вход объекта. Такое отображение называется дефуззификацией (defuzzification), и реализуется оно в одноименном блоке.

Если на выходе блока выработки решения формируется  нечетких множеств , то значение  можно рассчитать с помощью различных методов.

1. Метод дефуззификации по среднему центру (сenter average defuzzification). Значение  рассчитывается по формуле

,             (3.269)

где  - это точка, в которой функция  принимает максимальное значение, т.е.

.                  (3.270)

Точка  называется центром (center) нечеткого множества .

На рис. 3.33 представлена идея этого метода для . Обратим внимание, что значение  не зависит от формы и носителя функции принадлежности .

098.jpg

Рис. 3.33. Иллюстрация метода дефуззификации по среднему центру.

2. Метод дефуззификации по сумме центров (center of sums defuzzification). Значение  рассчитывается следующим образом:

.                       (3.271)

Если выходное значение блока выработки решения представляет собой единственное нечеткое множество , то значение  можно определить с применением следующих двух методов.

3. Метод центра тяжести (center of gravity method, center of area method). Значение  рассчитывается как центр тяжести функции принадлежности , т.е.

                  (3.272)

при условии, что оба интеграла в приведенном выражении существуют. На рис. 3.34 иллюстрируется способ определения значения  по методу центра тяжести.

099-1.jpg

Рис. 3.34. Иллюстрация метода центра тяжести.

4. Метод максимума функции принадлежности. Значение  рассчитывается в соответствии с формулой

                        (3.273)

при условии, что  - это унимодальная функция. Этот метод не учитывает форму функции принадлежности, что иллюстрируется на рис. 3.35.

099-2.jpg

Рис. 3.35. Иллюстрация метода максимума функции принадлежности.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>