3.10.1. Построение нечетких правил

Допустим для упрощения, что мы создаем базу правил для нечеткой системы с двумя входами и одним выходом. Очевидно, что для этого необходимы обучающие данные в виде множества пар

,                      (3.278)

где ,  - сигналы, подаваемые на вход модуля нечеткого управления, а  - ожидаемое (эталонное) значение выходного сигнала. Задача заключается в формировании таких нечетких правил, чтобы сконструированный на их основе модуль управления при получении входных сигналов генерировал корректные (имеющие наименьшую погрешность) выходные сигналы.

Шаг 1. Разделение пространств входных и выходных сигналов на области.

Представим, что нам известно минимальное и максимальное значения каждого сигнала. По ним можно определить интервалы, в которых находятся допустимые значения. Например, для входного сигнала  такой интервал обозначим . Если значения  и  неизвестны, то можно воспользоваться обучающими данными и выбрать из них соответственно минимальное и максимальное значения

, .                     (3.279)

Аналогично для сигнала  определим интервал , а для эталонного сигнала  - интервал .

Каждый определенный таким образом интервал разделим на  областей (отрезков), причем значение  для каждого сигнала подбирается индивидуально, а отрезки могут иметь одинаковую или различную длину. Отдельные области обозначим следующим образом:  (Малый ), ...,  (Малый 1),  (Средний),  (Большой 1), ...,  (Большой ) и для каждого из них определим одну функцию принадлежности. На рис. 3.37 представлен пример такого разделения, где область определения сигнала  разбита на пять подобластей , сигнала  - на семь подобластей , тогда как область определения выходного сигнала  - на пять подобластей .

Рис. 3.37. Разделение пространств входных и выходных сигналов на области и соответствующие им функции принадлежности.

Каждая функция принадлежности имеет треугольную форму; одна из вершин располагается в центре области и ей соответствует значение функции, равное 1. Две других вершины лежат в центрах соседних областей, им соответствуют значения функции, равные 0. Очевидно, что такое разделение выбрано для примера. Можно предложить много других способов разделения входного и выходного пространства на отдельные области и использовать другие формы функций принадлежности.

Шаг 2. Построение нечетких правил на основе обучающих данных.

Вначале определим степени принадлежности обучающих данных (,  и ) к каждой области, выделенной на шаге 1. Эти степени будут выражаться значениями функций принадлежности соответствующих нечетких множеств для каждой группы данных. Например, для случая, показанного на рис. 3.37, степень принадлежности данного  к области  составляет 0,8, к области  - 0,2, а к остальным областям - 0. Аналогично для данного  степень принадлежности к области  составляет 1, а к остальным областям - 0. Теперь сопоставим обучающие данные ,  и  областям, в которых они имеют максимальные степени принадлежности. Заметим, что  имеет наибольшую степень принадлежности к области , а  - к области . Окончательно для каждой пары обучающих данных можно записать одно правило, т.е.

 : IF( это  AND  это ) THEN  это ;

: IF( это  AND  это ) THEN  это .

Шаг 3. Приписывание каждому правилу степени истинности.

Как правило, в наличии имеется большое количество пар обучающих данных, по каждой из них может быть сформулировано одно правило, поэтому существует высокая вероятность того, что некоторые из этих правил окажутся противоречивыми. Это относится к правилам с одной и той же посылкой (условием), но с разными следствиями (выводами). Один из методов решения этой проблемы заключается в приписывании каждому правилу так называемой степени истинности с последующим выбором из противоречащих друг другу правил того, у которого эта степень окажется наибольшей. Таким образом, не только разрешается проблема противоречивых правил, но и значительно уменьшается их общее количество. Для правила вида

: IF( это  AND  это ) THEN ( это )                    (3.280)

степень истинности, обозначаемая как , определяется как

.             (3.281)

Таким образом, первое правило  из нашего примера имеет степень истинности

          (3.282)

а второе правило -

        (3.283)

Шаг 4. Создание базы нечетких правил.

Способ построения базы нечетких правил представлен на рис. 3.38. Эта база представляется таблицей, которая заполняется нечеткими правилами следующим образом: если правило имеет вид

: IF ( это  AND  это ) THEN  это ,                (3.284)

то на пересечении строки  (соответствующей сигналу ) и столбца  (сигнал ) вписываем название нечеткого множества, присутствующего в следствии, т.е.  (соответствующего выходному сигналу ). Если имеется несколько нечетких правил с одной и той же посылкой, то из них выбирается то, которое имеет наивысшую степень истинности.

Рис. 3.38. Форма базы нечетких правил

Шаг 5. Дефуззификация.

Наша задача заключается в определении с помощью базы правил отображения , где  - выходная величина нечеткой системы. При определении количественного значения управляющего воздействия  для данных, входных сигналов  необходимо выполнять операцию дефуззификации. Вначале для входных сигналов  с использованием операции произведения объединим посылки (условия) –го нечеткого правила. Таким образом, определяется так называемая степень активности –го правила. Ее значение рассчитывается по формуле

.              (3.285)

Например, для первого правила  степень активности определяется выражением

.                               (3.286)

Для расчета выходного значения  воспользуемся способом дефуззификации по среднему центру (3.269)

.                   (3.287)

Рассмотренный метод легко можно обобщить на случай нечеткой системы с любым числом входов и выходов. На рис. 3.39 представлен алгоритм построения базы правил в виде блок-схемы, которая может служить основой для подготовки соответствующей программной реализации.

Рис. 3.39. Блок-схема построения базы правил на основе численных данных.