1.5.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ (ПЕРСПЕКТИВНАЯ) ПРОЕКЦИЯ

При центральной проекции все проектирующие лучи проходят через определенную точку пространства  – центр проекции. Физическим устройством, реализующим центральную проекцию, является объектив. При визуальном наблюдении роль объектива выполняет глаз. В объективе лучи, соединяющие сопряженные точки в пространстве предметов и изображений, проходят через заднюю главную точку, являющуюся центром проекции (рис. 1.5.3). Из этого основного свойства центральной проекции вытекает математический метод построения изображения: координаты каждой точки изображения могут быть вычислены путем определения точки пересечения прямой, проходящей через предметную точку  и центр проекции , с поверхностью проекции (изображения). Если в выбранной объектной системе координат  известны координаты точек  и , а также уравнение поверхности изображения , то координаты точки изображения  определяются в результате решения системы уравнений

                     (1.5.6)

Рис. 1.5.3. Общая схема центральной проекции

Поверхность проекции в большинстве случаев можно считать плоской. Это приближение достаточно точно выполняется и для глаза. Хотя светочувствительная поверхность глаза – сетчатка имеет почти сферическую форму, для области ясного зрения, ограниченной угловым размером в несколько градусов, ее вполне можно считать плоской.

В соответствии с законами оптики для получения резкого изображения необходимо, чтобы светочувствительная поверхность была перпендикулярна оптической оси объектива и располагалась на определенном расстоянии от центра проектирования, которое, как правило, принимают равным фокусному расстоянию . Фактически изображение располагается на картинном расстоянии от центра проектирования, которое всегда больше фокусного. Однако если предмет удален от объектива на расстояние , то разница между картинным и фокусным расстоянием незначительна. Таким образом, положение плоскости изображения легко фиксировано относительно центра проекции  и оптической оси объектива. Если объектив разворачивается с тем, чтобы в его поле зрения попадали определенные объекты, то вместе с ним должна разворачиваться и плоскость изображения.

Если учесть отмеченные особенности центральной проекции в реальных устройствах формирования изображения, то связь координат точек пространства предметов и пространства изображений может быть выражена в иной форме, чем в системе уравнений (1.5.7). Введем систему координат  для плоскости изображения, связанную систему координат объектива  и систему координат пространства предметов  (рис. 1.5.4). Особенность центральной проекции можно выразить следующим образом: векторы  и , соединяющие центр проекции  с сопряженными точками  и , являются коллинеарными. Отсюда следует

,             (1.5.7)

где  – константа для данной пары точек  и .

Рис. 1.5.4. Схема разворотов плоскости изображения

Учитывая, что съемочная камера может быть развернута на углы  и  относительно осей , из (1.5.8) получаем

,              (1.5.8)

где  – координаты центра проектирования  в системе ;  – координаты центра проектирования  в системе .

Если учесть, что поверхность проекции является плоской , начало координат системы , как правило, совпадает с главной точкой картинной плоскости , расположенной на расстоянии  от  , то

.                     (1.5.9)

Исключая в (1.5.9) константу путем деления первой и второй строк на третью, получаем уравнения, связывающие координаты сопряженных точек в системах  и :

                (1.5.10)

Из системы (1.5.10) по координатам точек изображения  можно определить координаты сопряженных точек  в пространстве предметов, если задано уравнение наблюдаемой поверхности . Затем по координатам  точки , уравнению поверхности  и известным условиям освещения могут быть определены атрибуты точки  (яркость, цвет) и рассчитаны соответствующие атрибуты точки изображения . Описанная здесь кратко процедура синтеза изображений основана на отслеживании луча, исходящего из пространства изображений в пространство предметов, т.е. в направлении, противоположном ходу лучей в реальной системе. Этот подход в машинной графике назовем методом обратного трассирования лучей.

Из уравнения (1.5.9) можно получить формулы прямого преобразования

    (1.5.11)

В этом случае по координатам  точки  предмета и ее атрибутам определяются координаты  и атрибуты точки изображения .

Формулы (1.5.10) и (1.5.11) широко используются в фотограмметрии [30]. Они удобны при моделировании изображений, получаемых съемочными системами, анализе изменений масштаба по полю изображения. При моделировании крупных планов фотограмметрические формулы практически не используются, предпочтение отдается описанию трассирующих лучей уравнением прямой.

Характерной особенностью центральной проекции является существенное различие в масштабах изображения предметов, находящихся на различных расстояниях от центра проектирования. Это связано с уменьшением угловых размеров предмета (и соответственно с уменьшением линейных размеров в плоскости изображения) при удалении от съемочной сцены. На рис.1.5.5 приведен результат съемки предмета в виде полосы с нанесением на нее рисунка из периодически повторяющихся прямоугольников. Изменение ширины полосы и размеров прямоугольников создает ощущение глубины пространства. Принципиально изображение может быть рассчитано, например, по формулам (1.5.12), но его можно построить с достаточной степенью точности, если задать точку схода лучей. Расчеты с использованием координаты точки схода лучей значительно проще. Потому такой подход широко используется при имитации визуально наблюдаемой обстановки в видеотренажерах.

Рис. 1.5.5. Перспективное изображение, построенное с использованием точки схода лучей