1.5. ПРОЕКЦИИ В ТРЕХМЕРНОЙ МАШИННОЙ ГРАФИКЕ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Все виды проекций, используемые в инженерной графике, а также реализуемые в системах формирования изображений, представляют собой комбинации двух главных типов проекций: параллельной и перспективной (центральной).

1.5.1. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ

В инженерной графике и начертательной геометрии преимущественно используется параллельная проекция. Точки предмета проецируются на поверхность пучком лучей, параллельных заданному направлению  (рис.1.5.1).

Рис. 1.5.1. Параллельная проекция

Координаты точек изображения при параллельной проекции определяются путем совместного решения уравнения прямой, проходящей через предметную точку  параллельно единичному вектору, и уравнения поверхности проекции:

                        (1.5.1)

где  – координаты точки предмета;  – координаты точки изображения;  – уравнение поверхности проекции.

Если проецирование осуществляется на плоскость и проектирующие лучи перпендикулярны к ней, то проекция называется ортогональной или перпендикулярной. Этот вид проекции широко используется в техническом черчении. Если оси  лежат в плоскости проекции, a  перпендикулярна ей, то при представлении предмета в координатном базисе плоскости проекции, координаты точек изображения можно определить по координатам точек предмета с помощью простого соотношения

,             (1.5.2)

где  – координата плоскости проекции по оси .

Как следует из (1.5.2), для получения ортогональной проекции принципиально достаточно определить координаты  и  предмета. Однако этим не ограничивается процедура построения трехмерной модели на экране дисплея. Предмет обычно задается в своей объектной системе координат , оси которой в исходном состоянии параллельны экранной системе дисплея . Изображение предмета отображается на экране дисплея с некоторым масштабным коэффициентом , а начало объектной системы координат располагается в точке  экрана. Для этого более общего случая можно записать

.              (1.5.3)

Выбором значения  можно осуществлять масштабирование изображения объекта.

Чтобы обеспечить наиболее наглядное отображение объемности предмета, обычно выбирается положение предмета относительно плоскости проекции. В техническом черчении положение предмета определяется типом аксонометрической проекции. Чтобы получить аксонометрическую проекцию, предмет вместе со связанной системой координат разворачивается таким образом, что проекции координатных осей получают определенную ориентацию друг относительно друга, а отрезки, взятые по координатным осям, отображаются на проекции с определенным соотношением масштабных коэффициентов.

Чтобы в машинной графике воспроизвести предмет в заданной проекции, необходимо определить матрицу преобразования координат. Основой для этого являются принципы построения изображения в данной проекции. В частности, в изометрической проекции координатные оси предмета  отображаются на плоскости экрана дисплея под углом 120°, а масштабные коэффициенты по всем трем осям одинаковы (рис. 1.5.2). С учетом этих свойств изометрической проекции получим

.                      (1.5.4)

Рис. 1.5.2. Отображение координатных осей предмета на экране дисплея в изометрической и ортогональной проекциях

Аналогично можно получить формулу преобразования для фронтальной проекции, при которой оси  проецируются параллельно осям  дисплея, а проекция оси  совпадает с биссектрисой угла между осями  и  (рис. 1.5.2). В этом случае преобразование координат выполняется следующим образом:

.                 (l.5.5)

Можно отметить, что фронтальная проекция не является линейным преобразованием пространства предметов.

Формулы преобразования (1.5.4) и (1.5.5) принципиально позволяют обеспечить вычерчивание на дисплее изображений в изометрической или фронтальной проекции, если задано математическое описание предмета. Однако такой узкопрактический подход не позволяет в полной мере использовать возможности машинной графики. В системах трехмерной машинной графики нет необходимости фиксировать какие-либо конкретные виды проекций. В программах формирования трехмерных изображений обычно предусматриваются операции вращения предмета вокруг двух или трех осей. Это позволяет пользователю получать такой вид объекта, который наиболее выразительно отображает его геометрическую форму.