1.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРАЖЕННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

Отражающие свойства объектов описываются коэффициентами отражения, коэффициентами яркости и индикатрисой отражения.

В основу классификации объектов по характеру отражения падающего на них лучистого потока положено пространственное распределение отраженного ими излучения, т.е. индикатриса отражения. Определяющее влияние на индикатрису излучения оказывает структура поверхности объекта. По виду индикатрисы отражения принято выделять четыре типа поверхностей (рис. 1.4.1).

Рис. 1.4.1. Вид индикатрис различных типов поверхностей: а – ортотропной; б – с зеркальным отражением; в – с обратным отражением; г – смешанной

Ортотропные поверхности отражают падающий на них лучистый поток диффузно или равномерно по всем направлениям. Ортотропные поверхности в литературе часто называют диффузными или ламбертовскими. Ламбертовские отражатели являются доминирующими среди естественных и искусственных объектов. В видимой области ортотропными поверхностями являются пески, рыхлый снег, неофактуренный бетон, сухой асфальт, большинство грунтов. Отличительная особенность диффузных поверхностей – независимость их яркости от положения наблюдателя (рис. 1.4.1,а).

Зеркальные поверхности отражают падающий на них поток преимущественно в плоскостях падающих лучей и под углом, равным углу падения. В видимой области к зеркально отражающим относятся чистые стеклянные поверхности, пластики, обработанные металлические поверхности, чистый лед, обнаженный скальный грунт, сухие каменные поверхности, поверхности водных бассейнов в спокойном состоянии. Следует отметить, что применительно к реальным объектам термин "зеркальная поверхность" указывает на направленный характер отражения ею падающего лучистого потока, но не означает, что отражение происходит в полном соответствии с законами геометрической оптики. Для реальных зеркальных отражений положение максимума отраженного излучения определяется в соответствии с законами геометрической оптики: угол отражения  равен углу падения . При этом падающее излучение рассеивается в некотором телесном угле относительно направления максимума (рис. 1.4.1,б). При моделировании для упрощения принято полагать, что индикатриса зеркального отражения симметрична относительно максимума.

Поверхности, для которых закон отражения выполняется достаточно строго, будем называть идеально отражающими в отличие от реальных зеркальных поверхностей.

К третьему типу относят поверхности, отражающие излучение преимущественно в направлении к источнику (рис. 1.4.1,в). Для обозначения этого типа поверхностей используются различные термины, единого установившегося термина пока нет. Их называют изрытыми, антизеркальными, световозвращающими. Отражение от объекта в направлении источника называют обратным блеском или просто обратным отражением. Такое отражение типично для сельскохозяйственных культур, лугов и другой растительности.

Четвертый тип составляют поверхности со смешанным отражением. Для таких поверхностей характерно наличие двух или трех типов отражений. В общем случае для поверхностей со смешанным отражением можно выделить диффузную, зеркальную и обратную составляющие, а индикатриса имеет два максимума (рис. 1.4.1,г). Смешанное отражение общего вида наблюдается у рисовых полей, покрытых росой лугов и других аналогичных объектов.

Различие в типах индикатрис обусловлено структурой отражающей поверхности и степенью их шероховатости. Для гладких поверхностей характерно наличие зеркального отражения. Идеально отражающими являются поверхности, удовлетворяющие критерию Рэлея:

,                   (1.4.1)

где  – высота шероховатости;  – угол падения излучения.   

С увеличением высоты шероховатостей зеркальная компонента снижается, и отражение приобретает диффузный характер. В ряде случаев диффузное отражение является преобладающим и для объектов с гладкими поверхностями. Примерами таких объектов являются молочное стекло и вода со значительной концентрацией взвешенных частиц. Диффузное излучение таких объектов обусловлено тем, что значительная часть падающего лучистого потока проникает в приповерхностный слой и рассеивается массой мелких неоднородностей. В результате наряду с зеркальным отражением от поверхности раздела объекта и внешней среды наблюдается диффузное излучение из внутренних областей объекта.

При значительной высоте шероховатостей существенную роль играет микроструктура отражающей поверхности. Для исследования общих закономерностей отражения поверхностями сложной структуры используют специальные модели.

Одной из наиболее разработанных аналитических моделей является фацентная модель отражения Торрэнса-Спэрроу. В этой модели поверхность представляется в виде совокупности случайно ориентированных микроскопических зеркальных граней. Отражение от каждой микрограни определяется по формуле Френеля, затем методами геометрической оптики учитывается затенение микрограней соседними и маскирование (экранирование) части зеркально отраженного излучения соседними микрогранями. Модель Торрэнса-Спэрроу позволяет в аналитической форме учесть длину волны и угол падения освещающих лучей. Для многих природных образований поверхность представляют аналогичным образом, но отражение каждой из микроплощадок принимается ортотропным. Такая модель качественно подтверждает возможность появления зеркальной и обратной составляющих отраженного излучения у объектов, все элементы которых отражают диффузно.

Для анализа особенностей отражения от растительности, покрытой листвой, используют слоистую модель, каждый отражающий слой которой образован отдельными, в общем случае не перекрывающимися площадками определенных форм и размеров и обладающими ортотропным отражением. Специфика отражения в таких слоистых структурах обусловливается затенением отражающих площадок нижних слоев вышележащими. Получить аналитическое решение для такой модели чрезвычайно сложно, и обычно моделирование выполняется методом Монте-Карло. Результаты моделирования показывают, что поверхности такой структуры обладают обратным отражением. Количественные результаты близки к экспериментальным.

Модели, основанные на статистическом описании структуры отражающих поверхностей, сложны, расчеты на их основе связаны со значительным объемом вычислений. Это существенно ограничивает их непосредственное использование в машинной графике. При моделировании отраженного излучения обычно ограничиваются приближенными моделями, в которых учитываются лишь главные особенности рассеянного светового потока поверхностью объекта. Как правило, полагают, что форма индикатрисы отражения не зависит от длины волны и для каждой составляющей отраженного излучения ее можно описать осесимметричной функцией. Для составляющих зеркального и обратного отражений наиболее удобной является степенная функция от косинуса угла между направлениями наблюдения и максимума отражения.

Рассмотрим модель определения яркости площадки , на которую под углом  падает лучистый поток от источника освещения (рис. 1.4.2). Пусть наблюдение данной площадки осуществляется в направлении, определяемом единичным вектором . Яркость наблюдаемой площадки в общем случае определяется прямым излучением источника и рассеянным излучением окружающей предмет полусферы:

,                  (1.4.2)

где  и  – освещенности, обусловленные рассеянным и прямым излучениями;  – коэффициент яркости площадки для рассеянного излучения;  – суммарный коэффициент яркости площадки в заданном направлении.

Рис. 1.4.2. Диаграмма направлений

Каждая из компонент яркости в (1.4.2) в свою очередь включает диффузную, зеркальную и обратную составляющие. Лучистый поток, обусловленный отражением рассеянного излучения, составляет

.                                           (1.4.3)

С другой стороны, используя коэффициенты отражения, получаем

,              (1.4.4)

где  – коэффициент диффузного отражения;  - коэффициенты зеркального и обратного отражений при рассеянном освещении.

Из (1.4.3) и (1.4.4) получаем

.                                  (1.4.5)

Коэффициенты отражения  и  принципиально могут быть определены путем интегрирования по всем углам падения лучей в пределах полусферы [15], если известны зависимости коэффициентов отражения от угла падения лучей. Аналитическое определение  возможно только для оптически гладкой поверхности диэлектриков. В частности, для спокойной поверхности воды , для поверхности стекла . Величины  и  для растительности обычно невелики и составляют 0,001...0,01, для таких поверхностей основной вклад дает диффузное рассеивание.

С учетом ориентации площадки  для яркости, обусловленной отражением рассеянного излучения, получим

,              (1.4.6)

где  – нормаль к горизонтальной поверхности сцены;  - средняя яркость полусферы, отражающей моделируемую сцену.

Яркость поверхности, обусловленную отражением прямого излучения освещаемого источника, можно определить следующим образом:

,                      (1.4.7)

где , , , , ,  – соответственно максимальные значения коэффициента яркости, показатели сжатия индикатрис отражения, углы между направлением наблюдения и максимумами для зеркальной и обратной составляющих отраженного излучения;  – освещенность, создаваемая источником в точке на площадке, перпендикулярной падающим лучом.

Поскольку при синтезе изображений направления задаются векторами, то все косинусы углов в (1.4.7) целесообразно выразить в виде скалярных произведений соответствующих векторов. В результате (1.4.7) приводится к виду

.                        (1.4.8)

Вектор  определяется через векторы  и , где  – матрица, определяющая направление зеркального отражения.

Матрица  представляет собой матрицу поворота вокруг  на угол . Если составляющие вектора нормали  к выбранной системе координат равны  и , то

.

Таким образом, яркость наблюдаемой площадки определяется формулой

.                    (1.4.9)

Для расчетов по (1.4.9) должны быть заданы четыре коэффициента яркости , , , . Для большинства объектов они могут быть получены лишь экспериментально. Укажем количественные данные  для нескольких поверхностей: лес хвойный – 0,04...0,08; кирпич красный – 0,20; стена беленая – 0,70; мел очищенный – 0,90.

Данных по коэффициентам яркости для зеркальной и обратной составляющих в литературе приводится очень мало. Коэффициент яркости обратного отражения для растительности близок по величине к , в отдельных случаях может превышать  в 2...3 раза. При углах падения лучей  величина  уменьшается. Значения  для растительности лежат в пределах 10...100. Повышение густоты растительности сопровождается увеличением .

Зеркальное отражение от растительности при углах падения лучей  выражено очень слабо, а при  быстро возрастает с увеличением . Рост  приблизительно происходит пропорционально третьей-пятой степеням . При углах падения лучей  величина  для посевов зерновых культур в 4...5 раз превышает . Весьма значительный рост  с увеличением  характерен для спокойных водных поверхностей. При углах падения лучей   может в 20...30 раз превышать  и быть в 2...3 раза ярче, чем идеальный диффузный отражатель.

Специфику зеркального отражения реальных объектов в значительной мере объясняет теория отражения излучения на гладкой границе изотропных диэлектриков, развитая Френелем. Поэтому формулы Френеля для естественно поляризованного света [15] могут быть использованы при моделировании зеркального отражения как определенное приближение. Чтобы использовать френелевский коэффициент отражения , выразим зеркальную составляющую отраженного излучения через этот коэффициент. Зеркально отраженный от площадки  лучистый поток составляет

.                                             (1.4.10)

С другой стороны, величину  в соответствии с (1.2.9) можно вычислить следующим образом:

.                  (1.4.11)

Так как значения подынтегральной функции имеют существенные значения в сравнительно узком диапазоне углов , можно полагать .

Тогда

.                (1.4.12)

Из (1.42) и (1.44) определяем связь  и :

.                             (1.4.13)

С учетом (1.4.13) формулу (1.4.9) можно привести к виду

           (1.4.14)

Формула (1.4.14) может быть легко обобщена на случай освещения несколькими источниками.

В приложении приведена программная реализация на Турбо Паскале упрощенной модели расчета освещенности (модули Е2, ALFF, ВЕТТА). Пояснения к использованию Е2 приведены в комментариях к тексту программы, на рис. 1.4.3 показаны направления векторов и правила отсчета углов.

Рис. 1.4.3. Пояснение расположения векторов и углов к программе E2 (см. приложение)