ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ

2.1. ОПИСАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Параметрическое описание поверхностей. Поверхности, заданные в форме , , , где  – параметры, изменяющиеся в заданных пределах, относятся к классу параметрических. Для одной фиксированной пары значений  можно вычислить только положение одной точки поверхности. Для полного представления о всей поверхности необходимо с определенным шагом перебрать множество пар  из диапазона их изменений, вычисляя для каждой пары значение  в трехмерном пространстве. Любую поверхность, описанную неявно, можно представить и параметрически, но обратное правило в большинстве случаев не выполняется. Приведем несколько примеров параметрического описания.

Плоскость, проходящая через точку  и векторы  и , исходящие из этой точки, определяется уравнением [23]  или в выражении для компонент , , , где ; ;  – проекции вектора   на оси  соответственно.

Приведенное уравнение опишет прямоугольник со сторонами, длины которых равны соответственно  и , если единичные векторы  и  будут расположены перпендикулярно друг другу, а диапазон изменения  будет выбран от нуля до единицы.

Нормаль  к плоскости, заданной в параметрическом виде, может быть определена как векторное произведение: . Вектор  ориентирован так, чтобы тройка  составляла правую систему осей.

Эллипсоид вида  параметрически представляется в форме , , , где  – долгота,  – широта.

Нормаль к поверхности эллипсоида определяется следующим образом: .

В общем случае нормаль  к параметрически заданной поверхности в точке  имеет вид [25,28,40]:

Особенно важными для практики являются параметрические бикубические поверхности, математические аспекты описания которых рассмотрены в § 3.4.4. Бикубические поверхности являются простейшими среди форм поверхностей, с помощью которых достигается непрерывность составной функции и ее первых производных. Другими словами, функция, составленная из нескольких смежных бикубических участков, будет обладать непрерывностью и гладкостью в местах стыка. Обычно бикубические участки – это гладкие изогнутые четырехугольники, представление о которых могут дать листы металла, бумаги и других материалов, обладающих упругостью. Описанию и изображению бикубических поверхностей посвящена обширная литература [54,62,63,79,99,104,146], что обусловлено свойствами этих поверхностей описывать любые геометрические формы. К недостаткам такой формы задания поверхностей следует отнести трудоемкость описания и большие вычислительные затраты. Последние определяются необходимостью численных, а не аналитических методов математических решений.

Основным преимуществом параметрического описания является возможность передачи геометрической формы очень сложных поверхностей, которые другими методами описать очень сложно. Например, даже такое сложное тело, как винтообразная улитка, может быть описано [88] посредством параметрического представления суммы трех векторов: первого, вокруг которого завивается улитка; второго, конец которого очерчивает спираль, а начало скользит по первому; и третьего, начало которого скользит по спирали, а конец вращается вокруг спирали. Другим примером является описание тора [54], симметричного относительно оси  и плоскости :

где  – радиус кольцевого "баллона" тора;  – расстояние от центра тора до оси "баллона"; ; .

Неявное описание типа  этих и многих других поверхностей невозможно.

Другое преимущество параметрического описания заключается в приспособленности к физическим процессам управления резцом в станках с числовым программным управлением. Резец в этом случае должен вытачивать деталь, двигаясь в пространстве по законам, заданным в параметрической модели [35]. Этот подход является единственным приемлемым для моделирования очень сложных гладких участков посредством аппроксимации сплайнами [49].

Однако параметрическое описание подразумевает, что исходной позицией светового луча, строящего изображение, является точка на объекте. Это затрудняет применение алгоритмов компьютерного синтеза изображений, предполагающих иную начальную позицию луча, например метода трассирования лучей. Это, в свою очередь, ведет к ограничениям по изобразительным свойствам: иллюстрации параметрических поверхностей, как правило, не имеют теней, не передают прозрачности и зеркального отражения соседних объектов [31,32].

Параметрические поверхности очень легко ограничиваются в пространстве путем задания пределов изменения параметров. Например, наружная поверхность дольки апельсина в виде  шара радиуса  задается в виде , , , где ; .

Описание ограничений в неявно заданных поверхностях достигается более сложным путем.

Описание поверхности неявными функциями заключается в моделировании поверхностей следующей математической формой: , где  – координаты объектного пространства.

В качестве функции  могут быть функции различных порядков, однако из-за сложности математической обработки на практике обычно ограничиваются первой и второй степенью. Известны аналитические методы [16,23] решения уравнений третьей и четвертой степени, однако поверхности, описываемые функциями такой степени, незначительно расширяют возможности геометрической имитации форм, а вычислительные затраты резко возрастают. Поверхности первого порядка типа , где  – коэффициенты, представляют собой плоскости. Поверхности второго порядка типа  в зависимости от значения коэффициентов  могут описывать две плоскости, конусы, гиперболоиды параболоиды и эллипсоиды. Неявная форма задания поверхности органично приспособлена для использования в методе твердотельного описания объектов и при трассировании лучей, так как существуют простые приемы определения взаимного положения точки и поверхности такого типа, определения точки пересечения прямой и поверхности. Математические свойства таких поверхностей рассмотрены в § 2.2.

Поточечное описание поверхностей заключается в представлении поверхности множеством отдельных точек, принадлежащих этой поверхности. Теоретически при бесконечном увеличении числа точек такая модель обеспечивает непрерывную форму описания. Точки, используемые для описания, должны располагаться достаточно часто, чтобы можно было воспринять поверхность без грубых потерь и искажения информации. Основной особенностью такою описания в отличие от других подходов является отсутствие информации о поверхности между точками. Например, при задании полигональных поверхностей [60] вершины каждою плоскою полигона, а следовательно, и вся модель хотя и могут быть описаны точками, но предполагается, что между точками располагаются участки плоскостей. Поточечное описание поверхностей применяют в тех случаях, когда поверхность очень сложна, не обладает гладкостью, а детальное представление многочисленных геометрических особенностей важно для практики. К поверхностям такого типа можно отнести участки грунта на других планетах, формы малых небесных тел, информация о которых доставлена с искусственного спутника в виде нескольких стереопар, микрообъекты, снятые с помощью электронных микроскопов, Другие образования со сложной причудливой формой.

Практическая цель обработки таких поверхностей методами машинной графики заключается, как правило, в построении разноракурсных изображений с целью наилучшего восприятия формы, в том числе в создании мультипликационных фильмов на основе синтезированных изображений.

Исходная информации о поточечно описанных объектах представляется в виде матрицы трехмерных координат точек (см. §4.1.5). Определение этих координат производят автоматизированными методами обработки стереопар. В простейшем случае координаты точки определяют на стереоприборе путем визуального отождествления положений соответствующих точек [30], однако трудозатраты на обработку будут исключительно велики. Известны реально работающие системы, которые автоматически распознают соответствующие точки на кадрах стереопары и известными расчетными методами устанавливают трехмерные координаты каждой точки в относительной или абсолютной объектной системе координат. Процесс "снятия" координат должен учитывать требования достаточной частоты расположения точек в пространстве. Основная идея, определяющая требования к выбору пространственной частоты точек, заключается в том, чтобы достичь состояния, когда две соседние точки на поверхности объекта спроецировались максимум в два соседних рецептора на экране. Алгоритм изображения поточечно описанных объектов подробно изложен в § 4.1.5. Описываемый подход применяется на практике достаточно редко, что связано с трудоемкостью снятия данных об объекте, большими вычислительными затратами и значительным объемом исходных данных на описание объекта.