1.2.3. ОСВЕЩЕННОСТЬ, СОЗДАВАЕМАЯ ТОЧЕЧНЫМИ И ПРОТЯЖЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
Пусть точечный источник с индикатрисой
размещен в точке
и освещает элементарную площадку
, координаты которой
(рис.1.2.2). Угловую ориентацию индикатрисы излучения и площадки определяют единичные векторы
и
. Освещенность элементарной площадки
по определению равна
, где
– элементарный лучистый поток в направлении
. Величина
определяется через силу света в данном направлении
.

Рис. 1.2.2. Схема определения освещенности от точечного источника
Телесный угол
, в пределах которого распространяется поток излучения
, равен
, где
– угол между нормалью к площадке
и направлением на источник излучения;
– расстояние от источника излучения до облучаемой площадки.
После подстановок и преобразований для освещенности
получим формулу
, (1.2.12)
которая носит название закона обратных квадратов расстояний. Полученная формула (1.2.12) по форме совпадает с известной формулой для освещенности от точечных источников. Отличие ее заключается в учете индикатрисы излучения.
Для практических расчетов (1.2.12) требует конкретизации. Вектор
, определяющий направление на источник излучения
,
,
где
– орты соответствующих координатных осей
.
Единичный вектор
и
вычисляются по формулам
;
, а вычисление параметра
производится следующим образом:
;
, где
- знак скалярного произведения векторов. В программе расчета должна предусматриваться проверка неотрицательности
.
Рассмотрим освещенность, создаваемую протяженным источником, площадь которого равна
, а поверхностная яркость –
. Для анализа разместим освещаемый элемент в центре координатной системы так, чтобы нормаль к элементу совпадала с вертикальной осью координат, и сформируем условную полусферу единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1.2.3).

Рис. 1.2.3. Схема определения освещенности от протяженного источника
Освещенность в точке
, создаваемая элементом
, будет определяться по формуле
, (1.2.13)
где
и
– косинусы углов для элемента
;
– расстояние между элементом
и точкой
.
Полная освещенность в точке
от всей поверхности
в соответствии с (1.2.13) может быть вычислена двумя путями:
; (1.2.14)
. (1.2.15)
В большинстве случаев получить аналитические формулы для
не удается [15], и вычисление должно производиться численными методами даже при постоянной яркости
по всей светящейся поверхности.
В частности, можно разделить всю светящуюся поверхность на отдельные участки, которые можно заменить точечными источниками, затем найти освещенность суммированием:
,
где
– число участков протяженного источника излучения.
В ряде случаев весьма удобным является использование формулы (1.2.15). Если яркость
всей поверхности источника одинакова, то
, (1.2.16)
где
– проекция на освещаемую плоскость участка сферической поверхности единичного радиуса, вырезаемого телесным углом
, который характеризует размеры источника.
Формула (1.2.1.6) позволяет получать в ряде ситуаций простые аналитические формулы. Например, требуется рассчитать освещенность горизонтальной площадки, создаваемую свечением купола с постоянной яркостью
. В этом случае
, а освещенность
.