1.2.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ПРОСТОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

В инженерной практике обычно используют определенную схематизацию источников излучения. Реальный источник заменяют совокупностью излучающих поверхностей или их участков, в пределах которых можно полагать их яркость постоянной. В процессе моделирования исключают из рассмотрения те поверхности, вклад которых в суммарное излучение незначителен, и не учитывают взаимное влияние излучающих поверхностей.

Процедура расчета освещенности от источника произвольной формы включает определение освещенности от элементарной площадки с последующим интегрированием по излучающей поверхности. При наличии нескольких источников производится суммирование освещенностей, создаваемых каждым из них. Таким образом, для расчетов в принципе достаточно задать форму излучающих поверхностей и их яркость.

Если источник расположен относительно освещаемой поверхности на расстоянии, которое значительно превышает его геометрические размеры, то его можно считать точечным. В частности, если расстояние от источника в 5 раз превышает его размеры, то погрешность в расчете освещенности, обусловленная заменой его точечным, не будет превышать 1 % [15]. Если источник излучения имеет площадь  (рис. 1.2.1), то яркость в заданном направлении равна , и в соответствии с определением яркости  получаем , где  – угол между нормалью  к излучающей поверхности и направлением, для которого определяется сила света .

Рис. 1.2.1. Схема для определения связи энергетических характеристик элементарной площадки

Интегрируя по поверхности излучателя , определяем силу излучения:

.                      (1.2.5)

В моделях источника излучения, как правило, используется предположение, что излучение их отдельных поверхностей носит диффузный (рассеянный) характер, причем яркость каждой отдельной поверхности имеет одинаковую величину по всем направлениям. Для диффузной излучающей поверхности можно записать .

Для плоского диффузного излучателя в соответствии с (1.2.5) получим

.              (1.2.6)

Излучающую плоскую площадку  при расчетах можно заменить точечным источником с координатами центра площадки  с индикатрисой излучения, определяемой (1.2.6). Угловое распределение излучения площадки в пространстве определяется положением единичного вектора нормали . Для направления, заданного единичным вектором , значение  равно скалярному произведению . Так как при синтезе изображений приходится определять силу излучения для большей совокупности направлений с соответствующими значениями  и вычислять для каждого из них , то целесообразно индикатрису излучения представить не в виде функции угла , а в виде функции от параметра . Это заметно снижает объем вычислений при расчете освещенности от источников излучения, поскольку исключается операция вычисления обратных тригонометрических функций . Если использовать переменную , то для плоской излучающей площадки

,                (1.2.7)

где .

Индикатриса излучения плоской площадки является симметричной, ось симметрии определяется вектором .

Лучистый поток , создаваемый источником излучения, определяется суммированием по всем направлениям. Чтобы получить в математической форме взаимосвязь потока и силы излучения, поместим источник излучения в центре воображаемой сферической поверхности (рис. 1.2.1). Поток излучения в направлении элемента  сферы составляет , где  – телесный угол, в котором распространяется поток, падающий на элемент . Если радиус сферы , то . Для элементарного потока

.                  (1.2.8)

Полный поток, испускаемый источником по всем направлениям, составляет

.

Если распределение излучения источника симметрично относительно вертикальной оси, то

.              (1.2.9)

Отметим, что интегрирование должно проводиться только по той области, где  больше или равно нулю. В частности, для плоской площадки область интегрирования ограничивается диапазоном от  до . Если использовать переменную , то (1.2.9) принимает вид

.

Для искусственного освещения довольно часто используются источники с повышенной направленностью излучения. Для моделирования таких источников в машинной графике весьма удобной является аппроксимация в виде степенной функции от :

; .

При использовании переменной индикатриса такого источника представляется в виде

; ,                     (1.2.10)

а его лучистый поток в соответствии с формулой (1.2.10) равен

.                            (1.2.11)

Величину  для аппроксимирующей функции можно приближенно получить из индикатрисы излучения , где  – половинное значение угла, в пределах которого сила излучения превышает 50% максимального ее значения. Значение  для снижения объема вычислений целесообразно выбирать целым.

Достоинством рассмотренной аппроксимации является не только удобство вычислений, но и возможность получения при целых  аппроксимирующей функции, описывающей с небольшой погрешностью реальные индикатрисы.