4.1. Модели изображений и их линейных искажений

4.1.1. Формирование изображений

Большинство формирующих систем в первом приближении можно рассматривать как линейные и инвариантные к сдвигу. Изображения, сформированные такими системами, претерпевают линейные пространственно-инвариантные искажения, характеризующиеся тем, что механизм их возникновения один и тот же для  всех точек . Линейные искажения проявляются в ослаблении верхних частот исходного изображения. Визуально это приводит к ухудшению его резкости. В процессе записи изображения искажаются также шумами, присутствующими в любом реальном физическом устройстве. В ряде практически важных случаев шум можно считать аддитивным и независящим от исходного изображения.

Рис.4.2. Линейная модель формирования изображения

С учетом вышеизложенного наблюдаемое нерезкое изображение  можно представить как выход линейной системы, показанной на рис. 4.2, а  математическая модель процесса его формирования  имеет вид:

,

где  - аддитивный двумерный шум. Изображение , полученное путем линейного искажения исходного изображения при отсутствии шума, определяется интегралом свертки:

         (4.1)

где  - символ двумерной свертки;  - двумерная импульсная характеристика (или ФРТ - функция рассеяния точки) линейной искажающей системы. Таким образом, значение функции яркости  исходного изображения в точке с координатами  «размазывается» в соответствии с видом ФРТ  и искажается аддитивным шумом.

В выражении (4.1) учтено, что изображения, встречающиеся в практических задачах, имеют конечные размеры. Это означает, что яркость изображения полагается равной нулю всюду, кроме некоторой конечной области, которую будем называть кадром и обозначать через . Верхний индекс в кадре  соответствует символу изображения или ФРТ, для которого определен этот кадр. Например, кадр изображения  будем обозначать через . Мы будем рассматривать только прямоугольные кадры, стороны которых параллельны координатным осям. Под размерами кадра будем понимать совокупность длин вертикальной  и горизонтальной  сторон кадра . Часто оказывается удобным совместить центр кадра  изображения с началом координат на плоскости  изображения, тогда

                (4.2)

Относительные размеры кадров изображений и ФРТ в модели формирования (4.1) имеют важное значение. Как будет показано ниже, конечность их размеров значительно усложняет  решение задачи восстановления. Размеры кадров ,  и  равны между собой и обусловлены тем, что любая формирующая система имеет ограниченное поле зрения (рис.4.3).

Рис.4.3. Относительные размеры изображения и ФРТ

Кадр  функции рассеяния точки представляет собой минимальный прямоугольник, содержащий все точки с координатами , в которых величина абсолютного значения ФРТ заметно отлична от нуля, например, когда  . Следует отметить, что кадр  ФРТ не всегда симметричен относительно начала координат. В частности, симметрией ФРТ не обладают каузальные линейные системы. Действие ФРТ сводится к тому, что каждая точка исходного изображения  «размазывается» в некоторую область,  ограниченную кадром . Кадр  исходного изображения может быть построен путем перемещения  и представляет собой область всех точек, охватываемых кадром   при его перемещении по кадру  наблюдаемого изображения. Поэтому даже если регистрируемый объект имеет бесконечные размеры наблюдаемое изображение формируется лишь только за счет некоторой его части. Причем размеры кадра наблюдаемого изображения всегда меньше или равны размерам исходного. Размеры  кадров исходного и наблюдаемого изображений равны лишь при отсутствии линейных искажений, т.е. когда импульсная характеристика искажающей системы равна дельта-функции. Нас будет интересовать восстановление изображения в пределах кадра .  В некоторых случаях удается восстановить изображение в пределах кадра  исходного изображения, т.к.  та его часть,  которая лежит вне пределов кадра , также оказывает влияние на наблюдаемое изображение .

Для изображений, представленных в цифровой форме, двумерные функции , , ,  и  с непрерывными аргументами в (4.1) заменяются двумерными массивами отсчетов, взятых на прямоугольных решетках с одинаковыми расстояниями  между узлами. В этом случае соотношение (4.1) принимает вид:

,        (4.3)

где

.      (4.4)

Аргументы с индексом 1 обозначают номер строки, а с индексом 2 - номер столбца. В дискретном случае размеры кадра (число отсчетов)  и  определяются отношением длин соответственно вертикальной  и горизонтальной сторон кадра аналогового изображения к величине интервала дискретизации .

Операция свертки, которая имеется в формулах (4.1) и (4.4), эквивалентна произведению в частотной области. Это позволяет выполнить быструю имитацию линейных искажений с помощью ДПФ, заменив обычную свертку циклической (смотри главу 3). Как правило, размеры  кадра ФРТ много меньше размеров кадра исходного изображения, поэтому перед преобразованием массив  должен быть дополнен нулями. Кроме того, полагается, что изображения и ФРТ являются периодически продолженными, которые так же как и в главе 3 обозначаются волнистой линией.

Спектр линейно-искаженного изображения  равен произведению спектра  исходного изображения  и передаточной функции  искажающей системы:

,                 (4.5)

где  и  - пространственные частоты. Размеры кадра изображения  , полученного после обратного ДПФ от  , равны размерам кадра  исходного изображения. Для завершения процедуры имитации необходимо «обрезать» края изображения   до размеров кадра  и добавить аддитивную помеху . Здесь и далее результаты преобразования Фурье от функций в пространственной области будут обозначаться соответствующими прописными буквами.

Рассмотрим импульсные и частотные характеристики формирующих систем при смазе и расфокусировке.