6.2. Связь между различными системами координат

В общем случае трехмерные координаты точки могут быть заданы в системе, не совпадающей со стандартной системой координат камеры (назовем ее глобальной). Пусть OXYZ – глобальная система координат, а  - стандартная система координат камеры. Переход от системы OXYZ к системе   можно осуществить поворотом координатных осей к системе  и последующим смещением начала координат. Тогда связь между координатами точки в глобальной и стандартной системе может быть представлена как

,                              (6.3)

где  и  - векторы пространственных координат точки  в глобальной и стандартной системах, соответственно; - матрица размерности , описывающая поворот стандартной системы координат относительно глобальной; компонентами матрицы являются направляющие косинусы осей глобальной системы в стандартной системе координат ;  - трехмерный вектор смещения начала координат глобальной системы  относительно начала координат стандартной.

Рис.6.2. Переход от глобальной системы координат к стандартной системе координат камеры.

На рис. 6.2. схематически показано преобразование координат. Здесь - углы, образованные осью  с осями ,  и  соответственно. Элементы первой строки матрицы   [6.1, п.14.10] содержат  косинусы этих углов: ,  ,  . Аналогично, вторая и третья строки матрицы содержат косинусы углов, образованных соответственно осями  и  с осями глобальной системы координат.

Особенность матрицы  состоит в том, что она зависит только от трех параметров, поскольку  все девять ее элементов связаны  шестью уравнениями связи и, следовательно, не являются независимыми.  Обозначив строки матрицы в виде векторов ,  и , эти уравнения можно представить в виде:

,  ,  ,  , ,  ,                       (6.4)

Уравнения (6.4) являются условиями взаимной ортогональности векторов . Матрица, построенная из таких векторов, называется ортогональной. Для ортогональной матрицы справедливо соотношение . Условие взаимной ортогональности векторов  в трехмерном пространстве можно выразить в другой удобной форме, которая понадобится нам позже:

, , .                         (6.5)

Верхний знак соответствует случаю, когда матрица  представляет преобразование, не изменяющее взаимной ориентации осей системы, а нижний – преобразование, изменяющее правую систему координат на левую и наоборот.

 Смысл вектора  ясен непосредственно из рисунка.