§ 5. Последовательные события

Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что  - некоторый момент времени в промежутке между  и . Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками  и , может быть записано как

.                 (2.28)

Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа , а также из того, что  не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке  определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать

.                     (2.29)

Точка  разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут  и , а концами второго -  и . Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками  и , а потом по всем траекториям между точками  и  и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям . При выполнении первого интегрирования  является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде

.               (2.30)

Выполнив интегрирование по всем траекториям от  до , а затем по всем возможным значениям , получим окончательно

.                  (2.31)

Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.

Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку  в момент времени , и в последующем суммировании по точкам .

Для каждой траектории, выходящей из точки  в точку  через , амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки  в точку  и 2) амплитуды перехода из точки  в точку . Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку : полная амплитуда перехода из точки  в точку  через  равна . Поэтому полную амплитуду перехода из точки  в точку , т. е. соотношение (2.31), мы получим путем суммирования по всем альтернативам (по всем значениям ).

Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени . Пусть  и . Сначала интегрируем по всем , для которых . Это приведет к появлению под знаком интеграла множителя . Далее интегрируем по всем , для которых ; так получается множитель . После этого остается проинтегрировать по , и результат запишется в виде (2.31).

Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками  и  однозначно определяется выбором точки , которая отвечает моменту времени . В случае частицы, движущейся из точки  в точку , ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:

1) ядро, соответствующее переходу из точки  в точку , равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки  в точку  и далее в точку  по всем возможным значениям величины ;

2) амплитуда перехода из точки  в точку  и далее в точку  равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки  в точку  и из точки  в точку .

Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.

 

Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени:  и . Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки  в точку , можно записать в виде

.                   (2.32)

Это означает, что частица, которая движется из точки  в точку , рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки  в точку , потом из точки  в точку  и, наконец, из точки  в точку . Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки  в точку , получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных  и .

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на  участков. В результате получим

           (2.33)

Это означает что мы можем определить ядро способом, отличным от приведенного в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделенными бесконечно малым интервалом времени , имеет вид

.                  (2.34)

Последнее выражение является точным в первом приближении по . Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:

.                        (2.35)

Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра . Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).