§ 1. Свободная частица

Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен

,                   (3.1)

поэтому, учитывая выражения (2.21)-(2.23), мы можем записать ядро в виде

.                (3.2)

Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т. е. интегралов вида

 или .

Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим

.              (3.3)

Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что

              (3.4)

Умножим это выражение на функцию

               (3.5)

и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной ; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином  заменяется на , а величина  в двух местах заменяется на :

.

Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после -го шага дает функцию

.

Поскольку , то легко видеть, что результат -го шага совпадает с выражением (3.3).

Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным  с нечетным значением  (в предположении, что  четное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделенные друг от друга интервалом . Следовательно, по крайней мере в случае, когда  можно представить как , выражение (3.3) получается после  таких шагов.

Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадет в точку , по определению пропорциональна квадрату модуля ядра . В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность

.                (3.6)

Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям  расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки  с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале , равна .

 

Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчета пространственных координат и времени точку . Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку  будет иметь вид

.              (3.7)

Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).

Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии  от начала координат спустя время .

Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещенную по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды - постоянная величина. Длина волны мала при больших , т. е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональна друг другу (см. формулу (3.10)].

Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если  настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведет себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны . Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении  на длину волны  фаза амплитуды должна увеличиться на . Отсюда следует, что

.                    (3.8)

Пренебрегая величиной  по сравнению с  (т. е. предположив, что ), получаем

.               (3.9)

С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку  за время , имеет скорость  и импульс . Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом , соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны ее колебаний равна

.                       (3.10)

Это соотношение можно получить и в более общем случае. Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный анализатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая физика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперед заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной . Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением

.                      (3.11)

Вариация положения конечной точки  вызывает изменение классического действия. Если это действие велико по сравнению с  (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты  ядро  будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет

.               (3.12)

Но  есть не что иное, как классический импульс частицы в точке  (см. задачу 2.4) и, следовательно, . Эта величина  представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться. Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на , то . Формула (3.12) представляет собой соотношение де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом.

Рассмотрим теперь временную зависимость ядра, описывающего свободное движение. Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний.

Фиг. 3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке изменяется со временем.

Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебаний пропорциональна энергии, которую должна была бы иметь частица, чтобы достичь заданной точки за время .

Пусть время  так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от  можно пренебречь. По определению период колебаний  равен времени, в течение которого фаза возрастает на ; тогда

.                  (3.13)

Введя угловую частоту  и предположив, что , это выражение можно записать как

.             (3.14)

Так как величина  представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что

.                       (3.15)

Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.

В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени  в конечной точке приведет к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций

.               (3.16)

Величина  в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия  (см. задачу 2.5), и, следовательно,

.                       (3.17)

Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:

1) если амплитуда вероятности изменяется как , то говорят, что частица имеет импульс ;

2) если эта амплитуда имеет определенную частоту, изменяясь с течением времени как , то говорят, что энергия равна .

Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.

Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только  превосходит , ядро  удовлетворяет дифференциальному уравнению

.                  (3.18)