§ 3. Операторы
Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией
, и мы измеряем величину
; какое среднее значение получится для величины
при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом
.
Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин
, причем измерение величины
дает какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел
, измерение величины
- некоторое значение
, …. Вероятность получить определенный набор
равна
, а вероятность получить для величины
некоторое значение
при любых
, … (например, вообще не измеряя последние) равна
. (5.39)
Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин
.
Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины
получается умножением вероятности (5.39) на величину
и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого
. Таким образом,
. (5.40)
Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвященных этому вопросу (см., например, [24]).
Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины
непосредственно с помощью исходной волновой функции
. Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции
можно записать как
. (5.41)
Используя формулу (5.36), получаем
. (5.42)
Во второй строке этого равенства мы обозначили
, (5.43)
где
. (5.44)
Соотношение (5.43) говорит о том, что функция
получается из функции
в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине
линейного интегрального оператора
. Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде
, (5.45)
где символом
обозначен линейный оператор, действующий на функцию
. В данном случае
означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5.43), т. е. умножение на функцию
и интегрирование. Оператор
сопоставлен физической величине
. Используя эти обозначения, можно написать
. (5.46)
Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство
. Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций
и
, каждая из которых стремится к нулю, когда
,
. (5.47)
Всякий оператор, подобный
, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].
Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид
(5.48)
(см. задачу 5.6). В качестве физической величины
выберем
-компоненту импульса
. Покажите, что функция
имеет вид
, (5.49)
где
. Используя этот результат, определите оператор, соответствующий
-компоненте импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как
. (5.50)
Задача 5.10. Предположим, что величина
является пространственной координатой
. Покажите, что правильная формула для среднего значения
получается в том случае, если функция
выбрана в виде
, (5.51)
а оператор, соответствующий координате
, представляет собой просто умножение на
, т. е.
. (5.52)
Собственные функции и собственные значения. Действие оператора
на волновые функции
, определенные в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:
. (5.53)
Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция
удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что
является собственной функцией оператора
, соответствующей его собственному значению
.
Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например
и
, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно
. Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:
.
Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины
и
являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин
, соответствующих одной и той же характеристической функции
. Если в уравнении (5.53) оператор
поместить перед оператором
, а величину
поставить перед
, то равенство не нарушится, так что
. (5.54)
Это справедливо, поскольку
и
- обычные числа, а не операторы. Точно так же
. (5.55)
Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов
и
, когда они действуют на какую-либо из функций
. Так как оба эти оператора линейны (т. е. не содержат операций, требующих учета высших степеней функции
), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций
.
Если
-функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы
и
дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы
и
коммутируют.
Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату
и
-компоненту импульса
нельзя измерить одновременно.
Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов
уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т. е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений
,
,
, …. (5.56)
Предположим, например, что операторы
-й,
-й и
-й компонент импульса
,
и
определены соответственно как
,
,
. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором
имеет значение
,
- значение
, а
- значение
?
(Числа
являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения
. (5.57)
С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид
. Это согласуется с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс
, описывается волновой функцией
.
Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции
, могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра
в ряд по функциям
, являющимися решениями уравнения Шредингера с постоянным гамильтонианом:
. (5.58)
Прежде всего заметим, что функция
является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении
, если известно, что она находится в состоянии
. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряженная ей функция
является амплитудой вероятности найти систему в состоянии
, если она занимает положение
. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени
, в положение 2 в момент времени
выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1)
- амплитуды вероятности найти систему в точке
, если известно, что она находится в состоянии
; 2)
- амплитуды вероятности найти систему в состоянии
в момент времени
, если в момент времени
она была в состоянии
; 3)
- амплитуды вероятности найти систему в точке
, если мы знаем, что она находится в состоянии
.
Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции
как функции
, рассмотренной в § 2, т. е. покажите, что функция
является преобразующей функцией для перехода от
-представления к представлению, определяемому числом
(так называемому энергетическому представлению).