§ 2. Функциональные производные

Обратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между матричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее изящный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению.

Численное значение функционала  определено для каждой заданной функции . Зададимся вопросом: как изменится это значение, если немного изменить аргументную функцию ? Другими словами, как велика будет разность , если  мало? В первом приближении по  (предполагая, что таковое существует и т. д.) эта разность представляет собой некоторое линейное относительно  выражение типа . Определенная таким образом величина  называется функциональной производной функционала  по функции  в точке  и обозначается как . Поэтому с точностью до членов первого порядка можно записать соотношение

.                   (7.20)

Понятно, что производная  зависит как от вида функции , так и от значения переменной , т. е. она является функционалом от  и функцией времени .

Можно посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено моментами  на очень много маленьких отрезков . В этом случае функцию  можно приближенно задать ее значениями  в моменты . Функционал  будет тогда зависеть от всех величин , т. е. он превращается в обычную функцию многих переменных :

.                        (7.21)

Рассмотрим теперь  - частную производную этой функции по одному из переменных . Наша функциональная производная есть не что иное, как в точности эта частная производная, поделенная на  и взятая в точке , т. е.

.                    (7.22)

В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию  заменить на , то все значения  заменятся на , где , поэтому в первом приближении получаем

,                (7.23)

что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить , то сумма в (7.23) запишется как  и в пределе при  перейдет в интеграл , так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной .

Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение

,

и для первой вариации любого заданного функционала  получим

,                    (7.24)

где  - вариация траектории .

 

Задача 7.1. Для действия, заданного в виде , покажите, что в любой точке  между  и  выполняется равенство

,                 (7.25)

где все частные производные взяты при .

Задача 7.2. Покажите, что при

.                 (7.26)

Задача 7.3. Покажите, что если

,

то производная  будет иметь вид

.                  (7.27)

Заметим, что  является функцией четырех переменных . Поэтому для описания точки, в которой берется функциональная производная, координату  в интегралах [вида, например, соотношения (7.14)] надо заменить набором всех четырех этих аргументов.

Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной . Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент

              (7.28)

и в интеграле по траекториям функцию  заменим на . Для каждого фиксированного значения  выполнено равенство  [поскольку ]. Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков

     (7.29)

получаем, что член нулевого порядка в точности равен . Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции  должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение

.                      (7.30)

Из этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и еще раз получить выражение (7.6). Если речь идет о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что это обобщение содержится в функции , в экспоненте , или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальной форме. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30).

Можно получить еще одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на -отрезки, а функционалы заменить функциями переменных , соответствующих моментам . Рассматривая далее интеграл по траекториям

,                     (7.31)

где  - некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам . После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:

.                      (7.32)

Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.

Окончательно имеем

.                  (7.33)

Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме

,                        (7.34)

так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции  и .

Задала 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты. Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная .