§ 7. Трехмерный кристалл

В принципе нет большого различия между реальным трехмерным кристаллом и рассмотренным нами одномерным примером. Однако теперь конкретное вычисление различных модовых частот будет намного сложнее. Можно снова применить понятие о волновом числе , которое теперь уже оказывается вектором с компонентами ,  и . Частоты, если записать их через эти компоненты, вообще говоря, будут иметь очень сложный вид. Благодаря наличию поляризации (различных направлений колебаний) для каждого значения  получим несколько решений. Далее, реальный кристалл часто состоит не из массива равномерно расположенных атомов, но скорее из единичных ячеек, причем каждая такая ячейка сама содержит группу атомов, размещающихся в пространстве по некоторому геометрическому закону. Если в такой единичной ячейке содержится, скажем,  атомов, то этот пример можно иллюстрировать одномерной моделью; тогда в целом у нас имеется набор из  значений частот для каждой величины .

В трехмерном кристалле тоже можно с хорошим приближением использовать модель непрерывной среды. При этом решеточная структура кристалла, вообще говоря, заменяется на непрерывную, а особенности решетки проявляются в различии свойств непрерывной среды по направлениям (например, в анизотропии сжимаемости). Симметрия решетки находит свое выражение в симметрии констант упругости. Более того, направления колебаний (поляризация) мод не обязательно будут параллельны или перпендикулярны направлению распространения волны.

В нашем рассмотрении будем предполагать, что система обладает одинаковыми постоянными упругости по всем направлениям (вообще говоря, в произвольном кристалле это необязательно, даже если он симметричен подобно кубическому кристаллу). В этом случае у нас будут возникать колебания двух видов: продольные и поперечные, с различной скоростью, которую мы обозначим через  для продольных и через  для поперечных волн. Каждому  соответствуют три моды. Одна из них имеет частоту  ( - модуль вектора ). Поскольку, по предположению, направление волны не влияет на ее частоту, то последняя будет функцией лишь абсолютной величины волнового числа , не зависящей от направлений; поэтому возникают две поперечные моды (т. е. такие, когда движения атомов перпендикулярны направлению движения волны), причем обе имеют одинаковую частоту .

Каждая отдельная мода, которой соответствует определенное направление поляризации, ведет себя подобно независимому осциллятору.

Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объема . Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном -объеме  и около значения . Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней ,  и . Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины  различаются друг от друга на , так что в интервале  имеется  дискретных значений . Применяя те же самые соображения к другим направлениям, мы найдем, что число дискретных значений  во всем объеме  составляет

.                      (8.117)

Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.

В общем случае модовая частота , как мы уже упоминали, является очень сложной функцией , имеющей несколько ветвей значений для одного и того же , но ее определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.

В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твердом теле (т. е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путем, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу - приближению непрерывной среды.

Полное решение такой задачи определило бы нам все эффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомеханический аналог приближения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинноволновому пределу, оказывается в квантовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом. Лагранжиан в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию - переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид.

Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть  выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть . Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволновой области, и, следовательно, мы можем применить приближение непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид

,                (8.118)

где  - пространственный вектор с компонентами . Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением  и направлением вектора , т. е. координата  вектора  не обязательно представляет нормальную моду. Для изотропной среды три моды, определяемые вектором , имеют следующие нормальные координаты:

                     (8.119)

(т. е. компоненту  в направлении )

,                   (8.120)

,                   (8.121)

где  и  - два единичных вектора, перпендикулярных и , и между собой. Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определенным соотношением (8.119), и не будем обращать внимания на поперечные колебания.

Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде

.                     (8.122)

Мы ввели здесь скорость звука , которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8.122) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных  лагранжиан запишется так:

.              (8.123)

Первый член в правой части этого выражения - кинетическая энергия, равная половине массы, умноженной на квадрат скорости. Второй член выражает энергию сжатия, определяемого дивергенцией  (деформация сжатия). Энергию поперечной деформации мы здесь не рассматриваем, поскольку пренебрегаем поперечными волнами.

Варьируя лагранжиан по , получаем классическое уравнение движения:

.              (8.124)

Если мы определим деформацию сжатия как дивергенцию , т. е. как

,                    (8.125)

то уравнение перепишется в виде

,                    (8.126)

что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.

Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту , параллельную вектору , получим

.                 (8.127)

Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что  действительно является нормальной координатой.

Из лагранжиана, записанного в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину  выше энергии основного состояния.

Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат , к состоянию с другой системой координат . Эта амплитуда имеет вид

. (8.128)

Интегрирование распространяется здесь на траектории , выраженные через все три компоненты вектора  и время . Конечно, совершенно необязательно требовать, чтобы функция  имела один и тот же вид и в начальном и конечном состояниях. Здесь мы приходим к интересному развитию нашей первоначальной идеи об интеграле по траекториям. До сих пор подынтегральные выражения были функционалами одной или, возможно, нескольких функций  одного аргумента , а интегрирование выполнялось по всем таким траекториям (функциям). Теперь мы должны интегрировать функционал от функции  четырех аргументов , ,  и  и брать интеграл по траекториям, соответствующим всем значениям этой функции. Все необходимые при этом вычисления можно выполнить с помощью описанной выше стандартной методики, поскольку подынтегральное выражение здесь, как и раньше, является гауссовым функционалом.

Первый шаг при вычислении такого интеграла заключается в отыскании траектории, приводящей к стационарному значению интеграла под знаком экспоненты, соответствующей лагранжиану (8.123) или, что более удобно, волновому уравнению (8.126). Мы должны учесть граничные условия при  и . Удовлетворить граничным условиям в данном случае не проблема, однако это несколько отличается от обычной классической задачи физики, где при  значения координат и их производных, т. е.  и , заданы.

Мы могли бы следовать этим путем, однако из предыдущих примеров нам уже известно, что подобную задачу лучше всего предварительно преобразовать к нормальным координатам и интегрировать по траекториям лишь потом. Такое преобразование имеет вид

,               (8.129)

где граничные условия заданы соотношениями

                        (8.130)

Мы перешли к более простому типу интеграла по траекториям, где траектория описывается лишь как функция одной переменной . Поскольку интеграл по траекториям может быть выражен произведением нескольких таких интегралов, каждый из которых будет определять движение только для одной нормальной моды, мы видим, что подобную задачу уже решали. Результат [см. выражение (8.10)] запишется в виде

                       (8.131)

Произведение берется по всем значениям компонент вектора ; например, компонента  принимает значения , где  - целое число, изменяющееся от 0 до  (напомним, что здесь  - расстояние между атомами и что изучаемое тело имеет ребра длиной ,  и ). Конечно, приближение непрерывной среды подразумевает нулевое расстояние между атомами, а это означает, что число сомножителей произведения в пределе неограниченно. Однако мы не будем касаться этой проблемы и сконцентрируем наше внимание только на той части выражения, которая содержит зависимость от начальных и конечных координат. Поэтому, пренебрегая радикалом перед экспоненциальным членом в правой части выражения (8.131), можно приближенно написать это выражение как

     (8.132)

Выражение (8.132) сохраняет зависимость амплитуды от граничных значений  и . Для любого выбора этих функций [а они, как видно из формул (8.130), в свою очередь зависят от функций  и ] в соотношении (8.132) может быть формально выполнено интегрирование и получен искомый результат. Таким образом, можно, хотя бы в принципе, получить ответ на все вопросы о поведении квантовомеханической системы.