§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы

Начнем с некоторой классификации неразложимых матриц.

Определение 3. Если неразложимая матрица имеет всего характеристических чисел с максимальным модулем , то матрица называется примитивной при и импримитивной при . Число называется индексом импримитивности матрицы .

Индекс импримитивности сразу определяется, если известны коэффициенты характеристического уравнения

(; , ,…,)

матрицы, а именно число равно наибольшему общему делителю разностей

(80)

Действительно, согласно теореме Фробениуса спектр матрицы в комплексной -плоскости переходит в себя при повороте па угол вокруг точки . Поэтому многочлен должен получиться из некоторого многочлена по формуле

Отсюда следует, что - общий делитель разностей (80). Наконец, равняется наибольшему общему делителю этих разностей, так как спектр не изменяется при повороте на угол , а это невозможно при .

Следующая теорема устанавливает важное свойство примитивной матрицы:

Теорема 8. Матрица является примитивной в том и только в том случае, когда некоторая степень матрицы положительна:

Доказательство. Если , то матрица неразложима, так как из разложимости матрицы следует разложимость матрицы . Далее, для матрицы число , так как в противном случае положительная матрица имела бы характеристических чисел с максимальным модулем , что противоречит теореме Перрона.

Пусть теперь, обратно, дано, что — примитивная матрица. Воспользуемся для степени формулой (24) главы V (стр. 113)

(82)

где

( при )

- минимальный многочлен матрицы , , а -приведенная присоединенная матрица . В данном случае можно положить:

, (83)

Тогда формула (82) примет вид

Отсюда легко заключить в силу (83)

(84)

С другой стороны, [см. (53)] и в силу (83). Поэтому

и, следовательно, начиная с некоторого , имеет место неравенство (81).

Теорема доказана.

Замечание. Если матрица примитивна и , то для всех , так как матрица не содержит нулевых рядов.

Следствие. Степень примитивной матрицы всегда неразложима и притом примитивна.

Для наименьшего номера , начиная с которого выполняется неравенство (81), Фробениус указал верхнюю оценку, зависящую только от порядка матрицы :

Виландт отметил (без доказательства), что на самом деле

, (85)

и эта оценка точна. Она достигается на матрице

Приводимое ниже доказательство неравенства (85) по существу совпадает с доказательством, принадлежащим Седлачеку.

Лемма. Если - примитивная матрица, то для любых двух (не обязательно различных) индексов , существует такая цепочка индексов , , что

О такой цепочке будем говорить, что она ведет в матрице из в . Число назовем длиной цепочки. Очевидно, в кратчайшей цепочке, ведущей из в , все индексы попарно различны.

Для доказательства леммы достаточно взять так, чтобы было

Тогда

и так как все слагаемые здесь неотрицательны, то по крайней море одно из них положительно. Оно и дает требуемую цепочку индексов.

Перейдем к доказательству неравенства (85).

Обозначим через наименьшую из длин цепочек, ведущих в матрице из в , и положим

Пусть для определенности

(86)

Тогда в матрице будут положительными первые диагональных элементов:

(87)

Возьмем произвольный индекс . Кратчайшая цепочка, ведущая в матрице из в какой-нибудь из индексов , имеет, очевидно, длину, не большую . В силу (86) эту цепочку можно продолжить за счет индексов до цепочки с длиной ровно . Получится некоторая цепочка

где .

Возьмем еще один произвольный индекс (но обязательно отличный от ). Так как матрица , согласно следствию теоремы 8, тоже примитивна, то найдется цепочка индексов длины, не большой , ведущая в матрице из в . В силу (87) эту цепочку можно продолжить за счет индекса до цепочки с длиной ровно . Получится некоторая цепочка

Итак,

Отсюда

Следовательно,

Ввиду произвольности индексов оказывается

Тем самым

Заметим теперь, что . Действительно, в противном случае и в силу определения числа матрица оказывается циклической:

т. е. импримитивной.

Таким образом,

что и требовалось доказать

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 9. Если — неразложимая матрица и некоторая степень этой матрицы разложима, то степень вполне разложима, т. е. перестановкой рядов может быть представлена в виде

(88)

где - неразложимые матрицы. Эти матрицы имеют одно и то же максимальное характеристическое число. При этом число есть наибольший общий делитель чисел и , где — индекс импримитивности матрицы .

Доказательство. Поскольку матрица являются неразложимой, то согласно теореме Фробениуса максимальному характеристическому числу отвечают положительные собственные векторы матриц и . Но тогда эти же положительные векторы являются собственными для неотрицательных матриц и при характеристическом число . Поэтому, применяя к степени теорему 7’ мы представим (после надлежащей перестановки рядов) эту степень в виде (88), где - неразложимые матрицы с одним и тем же максимальным характеристическим числом . Но матрица имеет характеристических чисел с максимальным модулем :

Поэтому и матрица имеет характеристических чисел с максимальным модулем

среди которых чисел равны . Это возможно лишь тогда, когда — наибольший общий делитель чисел и . Теорема доказана.

Если в формулировке теоремы положить , то получим

Следствие. Если - импримитивная матрица с индексом импримитивности , то степень разлагается на примитивных матриц, которые имеют одно и то оке максимальное характеристическое число.