§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы

Рассмотрим произвольную разложимую матрицу . Перестановкой рядов ее можно представить в виде

                                                        (68)

где ,  - квадратные матрицы.

Если какая-либо из матриц  и  разложима, то ее можно также представить в виде, аналогичном (68), после чего матрица  примет вид

Если какая-либо из матриц , ,  разложима, то этот процесс можно продолжить. В результате надлежащей перестановкой рядов мы матрице  придадим треугольную блочную форму:

                                   (69)

где диагональные блоки - квадратные неразложимые матрицы.

Диагональный блок   будем называть изолированным, если

 .

Перестановкой блочных рядов (см. стр. 352) в матрице (69) можно все изолированные блоки поставить на первые места вдоль главной диагонали, после чего матрица  примет вид

    (70)

здесь  - неразложимые матрицы, а в каждом ряду

 

по крайней мере одна из матриц не равна нулю.

Матрицу (70) будем называть нормальной формой разложимой матрицы .

Покажем, что нормальная форма матрицы  определяется однозначно с точностью до перестановки блочных рядов. Для этого рассмотрим линейный оператор, соответствующий матрице  в - мерном векторном пространстве . Представлению матрицы  в виде (70) соответствует расщепление пространства  на координатные подпространства

              (71)

при этом всегда  - инвариантные координатные подпространства для оператора , причем между любыми двумя соседними из этих подпространств не существует промежуточного инвариантного подпространства.

Допустим, что наряду с нормальной формой (70) данной матрицы имеется другая нормальная форма, которая соответствует другому расщеплению  на координатные подпространства:

               (71')

Однозначность нормальной формы будет показана, если мы докажем совпадение расщеплений (71) и (71') с точностью до порядка слагаемых.

Пусть инвариантное подпространство  имеет общие координатные векторы с  и не имеет таковых с . Тогда  должно целиком содержаться в  так как в противном случае  содержало бы «меньшее» инвариантное подпространство – пересечение  с . Далее,  должно совпасть с, так как в противном случае инвариантное подпространство  было бы промежуточным между инвариантными подпространствами  и . Поскольку  совпадает с ,  - инвариантное подпространство. Поэтому без нарушения нормальной формы матрицы  может быть поставлено на место . Таким образом, мы можем считать в расщеплениях (71) и (71'): .

Рассмотрим теперь координатное подпространство . Пусть оно имеет общие координатные векторы  , но не имеет таковых с . Тогда инвариантное подпространство  должно целиком содержаться в , так как в противном случае существовало бы промежуточное инвариантное координатное подпространство между  и . Поэтому . Далее, , поскольку в противном случае  было бы промежуточным инвариантным подпространством между  и . Из  следует, что  - инвариантное подпространство. Поэтому  можно поставить на место  после чего будем иметь:

,

Продолжая этот процесс далее, мы в конце концов придем к тому, что  и что расщепления (71) и (71') совпадают с точностью до порядка слагаемых. Тогда с точностью до перестановки блочных рядов совпадают и соответствующие нормальные формы.

Из однозначности нормальной формы следует, его числа  и  являются некоторыми инвариантами для неотрицательной матрицы .

Пользуясь нормальной формой матрицы, докажем теорему:

Теорема 7. Максимальному характеристическому числу  матрицы  соответствует положительный собственный вектор в том и только в том случае, когда в нормальной форме (69) матрицы : 1° каждая из матриц  имеет число  своим характеристическим числом и (при ) 2° ни одна из матриц  этим свойством не обладает.

Доказательство. 1. Пусть максимальному характеристическому числу  соответствует положительный собственный вектор . В соответствии с разбиениями на блоки в (70) мы столбец  разобьем на части  . Тогда равенство

                                                    (72)

заменится двумя системами равенств:

                                       (72')

                   (72")

Из (72') следует, что число  является характеристическим числом каждой из матриц . Из (72") находим:

,                                                (73)

Обозначим через  максимальное характеристическое число матрицы  . Тогда [см. (41) на стр. 365] из (73) находим:

 

С другой стороны, равенство  противоречит вторым соотношениям (73) (см. замечание 5 на стр. 365). Поэтому

                                          (74)

2. Пусть, теперь, обратно, дано, что максимальные характеристические числа матриц   равны , а для матриц   имеют место неравенства (74). Тогда, заменяя искомое равенство (72) системой равенств (72'), (72"), мы сможем из (72') определить положительные собственные столбцы  матрицы  . После этого из (72") найдем столбцы  :

 ,        (75)

где  - единичная матрица того же порядка, что и матрица  .

Поскольку  , то [см. (51)  на стр. 367]

                          (76)

Докажем индуктивно, что определенные по формулам (75) столбцы  положительны. Мы покажем, что при любом   из положительности столбцов  следует: . Действительно, в этом случае

,

что в соединении с (76) на основании формулы (75) дает:

Таким образом, положительный столбец  будет собственным вектором для матрицы  при характеристическом числе . Теорема доказана

Следующая теорема дает нам характеристику матрицы , которая вместе со своей транспонированной матрицей  обладает тем свойством, что максимальному характеристическому числу отвечает положительный собственный вектор.

Теорема 7’. Максимальному характеристическому числу  матрицы  отвечает положительный собственный вектор матрицы  и положительный собственный вектор транспонированной матрицы  в том и только в том случае, когда матрица  может быть перестановкой рядов представлена в квазидиагональном виде

                                             (77)

где  - неразложимые матрицы, каждая из которых имеет число  своим максимальным характеристическим числом.

Доказательство. Пусть матрицы  и  имеют положительные собственные векторы для. Тогда по теореме 7 матрица  представима в нормальной форме (69), где матрицы  имеют максимальное характеристическое число  и (при ) матрицы  имеют максимальные характеристические числа . Тогда

Поменяем здесь порядок блочных рядов на обратный:

      (78)

Поскольку матрицы  неразложимы, то из матрицы (78) перестановкой блочных рядов мы получим нормальную форму, поставив на первые места вдоль главной диагонали изолированные блоки. Одним из таких изолированных блоков является блок . Поскольку нормальная форма матрицы  должна удовлетворять условию предыдущей теоремы, то максимальное характеристическое число матрицы  должно равняться . Это возможно лишь при . В этом случае нормальная форма (69) переходит в (77).

Если, обратно, дано представление (77) для матрицы , то тогда

                                         (79)

Тогда из (77) и (79) в силу предыдущей теоремы заключаем, что матрицы  и ' имеют положительные собственные векторы для максимального характеристического числа .

Теорема доказана.

Следствие. Если максимальное характеристическое число  матрицы  является простым и ему соответствуют положительные собственные векторы матриц  и , то  - неразложимая матрица.

Поскольку, обратно, всякая неразложимая матрица обладает свойствами, указанными в этом следствии, то эти свойства представляют собой спектральную характеристику неразложимой неотрицательной матрицы.