§ 8. Вполне неотрицательные матрицы

В этом и следующем параграфах мы рассмотрим вещественные матрицы, у которых не только элементы, но и все миноры любых порядков неотрицательны. Такие матрицы имеют важные применения в теории малых колебаний упругих систем. Подробное исследование этих матриц и их приложений читатель найдет в книге [7]. Здесь же будут даны только некоторые основные свойства этих матриц.

1. Начнем с определения:

Определенно 5. Прямоугольная матрица

, (, )

называется вполне неотрицательной (вполне положительной), если все миноры любых порядков этой матрицы неотрицательны (соответственно положительны)

(соответственно )

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только квадратных вполне неотрицательных и вполне положительных матриц

Пример 1. Обобщенная матрица Вандермонда

(; )

является вполне положительной. Докажем сначала, что . В самом деле, из равенства следовало бы, что можно так определить не равные одновременно нулю вещественные числа , чтобы функция

имела бы нулей в точках , где - число степенных слагаемых. При это невозможно. Примем индуктивное допущение, что это невозможно для суммы меньшего, нежели , числа степенных слагаемых, и докажем, что это невозможно и для данной функции . Допустим противное. Тогда по теореме Ролля функция состоящая из степенных слагаемых, имела бы положительных нулей, а это противоречит допущению индукции.

Итак, . Но при определитель переходит в обычный определитель Вандермонда , который положителен. Так как переход от этого определителя Вандермонда к обобщенному можно осуществить за счет непрерывного изменения показателей с сохранением неравенств между ними , и так как по доказанному определитель при этом не обратится в нуль, то и при любых .

Поскольку любой минор матрицы может быть рассматриваем как определитель некоторой обобщенной матрицы Вандермонда, то все миноры матрицы положительны.

Пример 2. Рассмотрим якобиеву матрицу

(113)

т. е. матрицу, в которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, первой наддиагонали и первой поддиагонали, равны нулю. Установим формулу, выражающую произвольный минор этой матрицы через главные миноры и элементы . Пусть

; ; ;…

Тогда

(114)

Справедливость этой формулы вытекает из легко проверяемого равенства:

(при ) (115)

Из формулы (114) следует, что любой минор равен произведению некоторых главных миноров и некоторых элементов матрицы . Таким образом, для того чтобы матрица была вполне неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры и элементы были неотрицательны

2. Для вполне неотрицательной матрицы всегда имеет место следующее важное детерминантное неравенство:

(116)

Выводу этого неравенства предпошлем следующую лемму:

Лемма 5. Если во вполне неотрицательной матрице какой-либо главный минор равен нулю, то равен нулю любой «объемлющий» главный минор.

Доказательство. Лемма будет доказана, если мы покажем, что для вполне неотрицательной матрицы из

(117)

всегда следует:

(118)

При этом рассмотрим два случая:

1) . Поскольку , , , то либо все , либо все . Из этих равенств и из следует (118).

2) . Тогда при некотором

, (119)

Введем окаймляющие определители

(120)

Из них составим матрицу .

Согласно тождеству Сильвестра (гл. II, § 3)

(121)

и поэтому - вполне неотрицательная матрица.

Поскольку в силу (119)

то матрица подходит под уже разобранный случай 1) и

Отсюда, поскольку , следует (118). Лемма доказана.

3. Теперь мы имеем возможность при выводе неравенства (116) предполагать, что все главные миноры матрицы отличны от нуля, так как согласно лемме 5 равенство нулю одного из главных миноров возможно лишь тогда, когда , а в этом случае неравенство (116) очевидно.

При справедливость неравенства (116) проверяется непосредственно:

поскольку , . Будем устанавливать неравенство (116) для , предполагая, что оно уже справедливо для матриц порядка . Кроме того, не нарушая общности, можем считать, что , так как в противном случае за счет обратной нумерации строк и столбцов мы поменяли бы ролями числа и .

Вводя снова в рассмотрение матрицу где определяются формулами (120), используя дважды тождество Сильвестра и основное неравенство (116) для матриц порядка , имеем

(122)

Таким образом, неравенство (116) можно считать установленным

Введем следующее

Определение 6. Минор

(123)

матрицы будем называть почти главным, если среди разностей только одна разность не равна нулю.

Обращаем внимание на то, что весь вывод неравенства (116) (в том числе и доказательство вспомогательной леммы) сохраняет свою силу, если условие « - вполне неотрицательная матрица» заменить более слабым условием «в матрице неотрицательны все главные и почти главные миноры».