§ 9. Осцилляционные матрицы

1. Характеристические числа и собственные векторы вполне положительных матриц обладают целым рядом замечательных свойств. Однако класс вполне положительных матриц недостаточно широк с точки зрения приложений к малым колебаниям упругих систем. В этом отношении класс вполне неотрицательных матриц имеет уже достаточный объем. Но не для всех вполне неотрицательных матриц имеют место нужные нам спектральные свойства. Однако существует промежуточный класс (между классами вполне положительных и вполне неотрицательных матриц), в котором сохраняются спектральные свойства вполне положительных матриц и который достаточно широк для охвата приложений. Матрицы этого промежуточного класса получили название «осцилляционных». Это название связано с тем, что осцилляционные матрицы образуют математический аппарат для исследования осцилляционных свойств малых колебаний линейных упругих систем.

Определение 7. Матрица  называется осцилляционной, если  - вполне неотрицательная матрица и существует такое целое число , что  - вполне положительная матрица.

Пример. Якобиева матрица  [см. (113)] является осцилляционной в том и только в том случае, когда 1° все числа  положительны и 2° последовательные главные миноры положительны:     (124) Необходимость условий 1°, 2°. Числа  неотрицательны, поскольку матрица . При этом ни одно из чисел  не может равняться нулю, так как в противном случае матрица была бы разложимой, и тогда при любом  неравенство  не соблюдалось бы. Следовательно, все числа  положительны. Все главные миноры (124) положительны согласно лемме 5, поскольку из  и  следует: . Достаточность условий 1°, 2°. Раскрывая , легко убеждаемся в том, что числа  входят в состав  только произведениями . Это же относится к любому главному минору «нулевой плотности», т. е. минору, образованному подряд идущими (без пропусков) строками и столбцами. Но любой главный минор матрицы  распадается в произведение главных миноров нулевой плотности. Поэтому в любой главный минор матрицы  числа  и  входят только произведениями . Составим симметрическую якобиеву матрицу: ,       (125) Из установленного выше свойства главных миноров якобиевой матрицы следует, что соответствующие главные миноры матриц  и  равны друг другу. Но тогда условия (124) означают, что квадратичная форма является положительно определенной (см. гл. X, теорема 3, стр. 277). Но у положительно определенной квадратичной формы все главные миноры положительны. Следовательно, и в матрице  все главные миноры положительны. Поскольку по условию 1° все числа  положительны, то по формуле (114) все миноры матрицы  неотрицательны, т. е.  - вполне неотрицательная матрица. Осцилляционность вполне неотрицательной матрицы , для которой выполняются условия 1°, 2°, вытекает непосредственно из следующего критерия осцилляционности. Для того чтобы вполне неотрицательная матрица  была осцилляционной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) —неособенная матрица , 2) все алементы матрицы , расположенные на главной диагонали, на первой наддиагонали и на первой поддпагоиали, отличны от нуля ( при ). Доказательство этого предложения читатель найдет в [7], глава II, § 7.

2. Для того, чтобы сформулировать свойства характеристических чисел и собственных векторов осцилляционной матрицы, введем некоторые предварительные понятия и обозначения.

Рассмотрим вектор (столбец)

.

Будем подсчитывать число перемен знаков в ряду координат  вектора , приписывая нулевым координатам (если таковые имеются) произвольные знаки. В зависимости от того, какие мы знаки припишем нулевым координатам, число перемен знаков будет колебаться в известных пределах. Получающиеся при этом минимальное и максимальное числа перемен знака будем обозначать соответственно через  и . В том случае, когда  мы будем говорить о точном числе перемен знака и обозначать его через . Очевидно,  тогда и только тогда, когда 1° крайние координаты  и  вектора  отличны от нуля, и 2° равенство   всегда сопровождается неравенством .

Теперь мы докажем следующую основную теорему:

Теорема 13.1. Осцилляционная матрица  всегда имеет  различных положительных характеристических чисел

                                           (126)

2. У собственного вектора  матрицы , отвечающего наибольшему характеристическому числу  все координаты отличны от нуля и одного знака; у собственного вектора , отвечавшего второму по величине характеристическому числу  в ряду координат имеется точно одна перемена знака и вообще в ряду координат собственного вектора , соответствующего характеристическому числу  имеется точно  перемен знака .

3. При любых вещественных числах   в ряду координат вектора

                                                         (127)

число перемен знака заключается между  и

                               (128)

Доказательство. 1. Занумеруем характеристические числа  матрицы  так, чтобы

,

и введем в рассмотрение -ю ассоциированную матрицу  (; см. гл. I, § 4). Характеристическими числами матрицы  являются всевозможные произведения по  из характеристических чисел матрицы  (см. стр. 86), т. е. произведения

Из условий теоремы следует, что при некотором целом  степень  - вполне положительная матрица. Но тогда , , т. е.  - неразложимая неотрицательная и притом примитивная матрица. Применяя теорему Фробениуса (см. § 2, стр. 355) к примитивной матрице  , получим:

 ,

 .

Отсюда вытекают неравенства (125).

2. Из установленных неравенств (125) вытекает, что  - матрица простой структуры. Тогда и все ассоциированные матрицы   будут иметь простую структуру (см. стр. 86).

Введем в рассмотрение фундаментальную матрицу  для матрицы  (в -м столбце матрицы  стоят координаты -го собственного вектора  матрицы ; ). Тогда (см. гл. III, стр. 86) характеристическому числу  матрицы  будет соответствовать собственный вектор с координатами

       (129)

По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака. Умножая векторы  на , можно сделать все миноры (129) положительными:

    (130)

Фундаментальная матрица  для матрицы  связана с матрицей  равенством

                                     (131)

Но тогда

                                 (132)

Сопоставляя (131) с (132), мы видим, что матрица

                                                             (133)

является фундаментальной для транспонированной матрицы  при тех же характеристических числах . Но из осцилляционности матрицы  следует осцилляционность транспонированной матрицы . Поэтому и для матрицы  при любом  все миноры

        (134)

отличны от нуля и имеют один и тот же знак.

С другой стороны, согласно (133) матрицы  и  связаны равенством

.

Переходя к -м ассоциированным матрицам (см. гл. I, § 4), будем иметь:

Отсюда, в частности, записывая, что диагональный элемент матрицы  равен единице, получим:

    (135)

В левой части этого равенства первые множители в слагаемых положительны, а вторые — отличны от нуля и одного знака. Тогда очевидно, что и вторые сомножители положительны, т. е.

    (136)

Таким образом, для матриц  и  одновременно имеют место неравенства (130) и (136).

Выражая миноры матрицы  через миноры обратной матрицы  по известным формулам [см. стр. 31], получим:

     (137)

где  и  вместе дают полную систему индексов . Так как в силу (130) , то из (136) и (137) вытекает:

     (138)

Пусть теперь  . Мы покажем, что из неравенств (130) следует вторая часть неравенства (128):

,                                                           (139)

а из неравенств (138) — первая:

.                                                          (140)

Допустим, что . Тогда можно указать такие  координат вектора

             (141)

что

 .

При этом координаты (141) не могут все одновременно равняться нулю, так как тогда, приравнивая нулю соответствующие координаты вектора  , мы получили бы систему однородных уравнений

 

с ненулевым решением  в то же время определитель этой системы

согласно (130) отличен от нуля.

Рассмотрим теперь равный нулю определитель

Раскроем его по элементам последней вертикали:

Но такое равенство не может иметь места, так как в левой части нет двух слагаемых разных знаков и по крайней мере одно слагаемое отлично от нуля. Таким образом, допущение  привело нас к противоречию, и неравенство (139) можно считать установленным. Введем в рассмотрение векторы

 ,

где

 ;

тогда для матрицы  в силу (138) будем иметь:

    (142)

Но неравенства (142) аналогичны неравенствам (130). Поэтому, полагая

,                                           (143)

будем иметь неравенство, аналогичное неравенству (139):

                                       (144)

Пусть , а . Легко видеть, что

 .

Поэтому

и, следовательно, в силу (144) имеет место соотношение (140).

Неравенство (128) установлено. Поскольку из него получается при  утверждение 2 теоремы, то теорема доказана полностью.

3. Рассмотрим применение доказанной теоремы к исследованию малых колебаний  масс , сосредоточенных в  подвижных точках  сегментного упругого континуума (струна или стержень конечной длины), простирающегося (в состоянии равновесия) вдоль отрезка  оси .

Обозначим через   функцию влияния этого континуума [ - прогиб в точке  под действием единичной силы, приложенной в точке ], а через  - коэффициенты влияния для данных  масс:

 .

Если в точках  приложены  сил  то соответствующий статический прогиб   в силу линейного наложения прогибов выразится формулой

.

Заменяя здесь силы  силами инерции  , получим уравнение свободных колебаний

                  (145)

Будем искать гармонические колебания континуума в виде

                   (146)

Здесь  - амплитудная функция,  - частота,  - начальная фаза. Подставляя это выражение для  в (145) и сокращая на , получим:

                         (147)

Введем обозначения для переменных прогибов и для амплитудных прогибов в точках расположения масс:

,  

Тогда

 .

Введем еще приведенные амплитудные прогибы и приведенные коэффициенты влияния

,        (148)

Заменяя в (147)  последовательно на  , получим систему уравнений для амплитудных прогибов:

                (149)

Отсюда видно, что амплитудный вектор  есть собственный вектор матрицы  при  (ср. с гл. X, § 8).

В результате подробного анализа устанавливается, что матрица коэффициентов влияния  сегментного континуума всегда является осцилляционной матрицей. Но тогда и матрица  является осцилляционной! Поэтому матрица  (согласно теореме 13) имеет  положительных характеристических чисел

т. е. существует  гармонических колебаний континуума с различными частотами:

,

т.е существует  гармонических колебаний континуума с различными частотами:

 .

В силу той же теоремы основному тону с частотой  соответствуют амплитудные прогибы, отличные от нуля и одного знака. В ряду амплитудных прогибов, отвечающих первому обертону с частотой , имеется точно одна перемена знака и вообще в ряду амплитудных прогибов для обертона с частотой  имеется точно  перемен знака .

Из того факта, что матрица коэффициентов влияния  осцилляционна, вытекают и другие осцилляционные свойства континуума: 1) при  амплитудная функция , связанная с амплитудными прогибами формулой (147), не имеет узлов; и вообще при  эта функция имеет  узлов ; 2) узлы двух смежных тонов перемежаются и т. д.

На обосновании этих свойств мы не можем здесь останавливаться.