ГЛАВА XIV. РАЗЛИЧНЫЕ КРИТЕРИИ РЕГУЛЯРНОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения

Пусть  - произвольная -матрица с комплексными элементами. Допустим, что эта матрица вырождена, т. е. . Тогда существуют такие числа  максимальным , что

                                                          (1)

Но тогда

Сокращая на , получаем:

                                                       (2)

Поэтому, если выполняются условия Адамара

                         (3)

то неравенство типа (2) невозможно и, следовательно, матрица  является регулярной (невырожденной), т. е. .

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1 (Адамара). Если для матрицы  выполняются  неравенств (3), то матрица  является невырожденной.

Условие  означает, что модуль диагонального элемента  превосходит (строго!) сумму модулей всех остальных элементов -й строки. Такой элемент  называется доминирующим (для своей строчки). Условия Адамара требуют, чтобы все диагональные элементы матрицы  были доминирующими (для своих строк).

Замечание 4. Если выполняются условия Адамара (3), то для  справедлива следующая оценка снизу:

                                      (4)

Для того чтобы убедиться в справедливости неравенства (4), введем вспомогательную матрицу, где

 ,                    (5)

для которой, очевидно,

                                   (6)

Обозначим через  какое-либо характеристическое число этой матрицы. Числу  соответствует собственный! вектор  с максимальным . Тогда

                                                    (7)

Из этого равенства с учетом соотношений (6) получаем

Сокращая на , найдем:

.

Но определитель  равен произведению характеристических чисел матрицы . Каждое из них по модулю . Поэтому и

                                                            (8)

С другой же стороны,

                                                  (9)

Из (8) и (9) сразу следует искомое неравенство (4).

Заметим еще, что для всего класса матриц, удовлетворяющих условиям Адамара с заданными значениями , оценка (4) не может быть улучшена, так как неравенство (4) переходит в равенство, если в качестве матрицы  взять матрицу .

Замечание 2. Поскольку , то, заменяя матрицу  транспонированной матрицей , получаем достаточные условия невырожденности матрицы  в виде условий Адамара для столбцов

                        (10)

При выполнении этих, условий вместо (4) будем иметь

                                             (11)

Пусть  - произвольная невырожденная -матрица. Тогда матрицы  и  одновременно являются невырожденными. Поэтому в условиях (3),. (10), а также в оценках (4) и (11) можно матрицу  заменить на . Варьируя матрицу , будем получать различные (неэквивалентные между собой) достаточные условия невырожденности, а также оценки для , аналогичные (4) и (11). В частности, за счет подбора надлежащей матрицы  можно осуществить произвольную перестановку столбцов. Тогда вместо условий (3) получим условия

                    (12)

где  — фиксированная, но произвольная перестановка индексов .

Другими словами, матрица  будет невырожденной, если в каждой ее строке имеется доминирующий (не обязательно диагональный!) элемент и эти  доминирующих элементов расположены в различных столбцах.

Аналогичное предложение имеет место для столбцов.

Пусть теперь выполняются ослабленные условия Адамара

                        (13)

В этом случае каждый диагональный элемент является слабо доминирующим для своей строки.

Допустим, что матрица  вырождена и , вектор-столбец  имеет ровно  элементов  с максимальным модулем , и пусть сначала . Перенумеруем координаты вектора  так, чтобы этими максимальными по модулю были первые  координат:

 .

При этом равенство  сохранится, если мы совершим некоторую (но одну и ту же) перестановку строк и столбцов матрицы . После этого можно написать:

 ,

откуда

     (14)

Сокращая на , получим

                                   (15)

Сопоставляя эти соотношения с ослабленными условиями Адамара (13), которые имеют место по условию, заключаем, что во всех соотношениях (15), а значит и в (14), имеет место знак равенства. А это возможно лишь тогда, когда

 

т. е. матрица имеет вид

                                                 (16)

Но матрица, которая одной и той же перестановкой строк и столбцов приводится к виду (16), называется разложимой (см. гл. 13, § 1). Таким образом, при   - разложимая матрица.

Если же , то во всех соотношениях (15) и, следовательно, во всех  ослабленных условиях Адамара (13) имеет место знак равенства.

К этим выводам мы пришли, допустив, что  — вырожденная матрица.

Таким образом, нами доказана следующая теорема, представляющая собой уточнение теоремы Адамара.

Теорема 2 (Ольги Тауски). Если для неразложимой матрицы  выполняются ослабленные условия Адамара (13) и по крайней мере в одном из этих условий имеет место знак , то матрица  невырождена. Само собой разумеется, что и в этой теореме условия   могут быть заменены условиями  .

Для дальнейших обобщений теоремы Адамара нам понадобится понятие о норме прямоугольной матрицы. Этому понятию посвящается следующий параграф.