§ 2. Норма матрицы

В -мерном пространстве  векторов-столбцов  введем понятие о норме вектора. Каждому вектору  ставим в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число  или просто  так, чтобы для произвольных векторов ,  из  и произвольного скаляра  выполнялись следующие условия:

1°

2°

3° , если

Полагая в 2° , получим, что , если . Кроме того, из 2° сразу следует для любых векторов .

Так, например, можно ввести «кубическую» норму вектора

                                                      (17)

или «октаэдрическую» норму

                                                       (17')

«Эрмитову» (в случае вещественного пространства  «евклидову») норму  определяют равенством

                                                 (17")

Легко проверяется, что все эти нормы удовлетворяют постулатам 1°, 2° и 3°.

Рассмотрим теперь произвольную прямоугольную -матрицу  и связанное с нею линейное преобразование .  — -мерный вектор-столбец из -мерного пространства , а  - -мерный вектор-столбец из -мерного пространства .

Введем в этих пространствах нормы векторов  и . После этого норму прямоугольной матрицы  определим равенством

                                                   (18)

Норма -матрицы  определяется как самой матрицей , так и теми векторными нормами, которые введены в пространствах  и . При изменении этих норм изменяется и норма матрицы.

Из определения нормы следует очевидное соотношение

                                                   (18')

Для двух -матриц  и  при одном и том же определении векторных норм имеем соотношение

                                               (19)

Кроме того, очевидно, что

                                                       (19')

Пусть -матрица  отображает -мерное пространство  в -мерное , а -матрица  отображает -мерное пространство  в -мерное . Очевидно, матрица  отображает  в . Вводя в пространствах ,  и  векторные нормы и определяя с их помощью нормы матриц , , , легко приходим к неравенству

                                                     (19'')

Так, например, если исходить из «кубических» векторных норм , , то норма матрицы   определяется формулой

                                                (20)

Действительно, в этом случае

,

и поэтому

.

В то же время здесь знак = имеет место, если выбрать координаты  вектора  так, чтобы  и  , где  - то значение , при котором достигается максимум в правой части соотношения (20). Таким образом, эта правая часть равна  и имеет место формула (20).

Если же исходить из октаэдрических векторных норм

, ,

то, как нетрудно показать,

                                                 (20')

Рассмотрим теперь эрмитовы векторные нормы:  и . Тогда, вводя в рассмотрение положительную эрмитову матрицу , будем иметь:

,

Но тогда (см. гл. X, § 7)

,

где  - максимальное характеристическое число матрицы . В этом случае

                                                            (20'')

Введем теперь различные нормы для векторных столбцов  и . Пусть, например,

, .

Тогда

,

где . С другой стороны, если , то выбирая , так, чтобы , и полагая  при , будем иметь равенство .

Таким образом, в этом случае

                                                 (20''')