§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы

Пусть -матрица  разбита на  блоков  с размерами соответственно  .

                            (21)

При этом -мерное пространство  автоматически расщепляется на  подпространств  с числом измерений  . Для любого вектора  имеет место разложение

                         (21')

Введем векторные нормы в пространствах . Поскольку блок-матрица  отображает  в , то тем самым определится и норма

                                    (22)

В частности, определяется и норма квадратных матриц :

                                        (22')

Если , то . В этом случае из (22') легко следует, что

и, следовательно,

                                    (23)

Правая часть этого равенства имеет смысл и в случае, когда  — вырожденная матрица. (В этом случае справа стоит нуль.) Исходя из этого и из соображений непрерывности, будем считать, что  определено и в случае  равно нулю.

Пусть теперь  и имеет место равенство  при . Исходя из представлений (21) и (21'), раскрывая блочное произведение , мы сможем написать

                       (24)

Отсюда в силу установленных ранее свойств нормы матрицы (см. (18') и (19))

     (25)

С другой стороны, из (23) следует

 ,

что в сочетании с предыдущими неравенствами (25) дает

 .         (26)

Как и в § 1, выберем индекс  так, чтобы  имел наибольшее значение (по сравнению с , где ), и заменим в правой части (26) все  на . После сокращения на  получим

                                             (27)

Поэтому при выполнении «блочных условий Адамара»

                    (28)

соотношение (27) невозможно и матрица  не может быть вырожденной.

Мы пришли к теореме:

Теорема 3. Если выполняются блочные условия Адамара (28), то  — невырожденная матрица.

В частном случае  эта теорема переходит в теорему Адамара, если в одномерных подпространствах  определить норму так:  .

Само собой разумеется, что, записывая условие невырожденности транспонированной матрицы , можно в теореме 3 условия Адамара для блочных строк заменить условиями Адамара для блочных столбцов:

                  (28')

На блочные матрицы легко распространяется и теорема Ольги Тауски, если только в этой теореме потребовать «блочную» неприводимость матрицы  и выполнение ослабленных блочных условий Адамара со строгим знаком  хотя бы в одном из них.