§ 4. Критерий регулярности Фидлера

Пусть снова -матрица  представлена в блочном виде (21). Составим для нее числовую -матрицу с вещественными элементами

                 (29)

У этой матрицы все недиагональные элементы , а диагональные . Напомним читателю, что матрица с вещественными элементами называется -матрицей, если у нее все не диагональные элементы , т. е. неположительные и все главные миноры положительны. Имеет место

Теорема 4 (Фидлера). Если -матрица  является -матрицей, то -матрица  является регулярной.

Доказательство. Допустим, что . Тогда , где . Исходя из представлений (21) и (21'), как и ранее на стр. 413, получаем неравенства (26), которые теперь перепишем так:

     (30)

1. Пусть сначала все . Тогда, увеличивая надлежащим образом в (30) коэффициент при , т. е. заменяя  на некоторое число , мы из неравенств (30) получим систему  равенств

 ,

которые в матричной символике запишутся так:

,

где

а  - -мерный вектор-столбец с элементами . Отсюда сразу следует, что . С другой стороны, из определения -матрицы следует, что . Мы пришли к противоречию, допустив, что .

Если некоторые , то мы возьмем лишь те из соотношений (30), которые соответствуют значениям , при которых .

Повторяя дословно предыдущие рассуждения и оперируя вместо  некоторым главным минором матрицы , мы снова придем к противоречию.

Теорема доказана полностью