§ 5. Круги Гершгорина и другие области локализации

Пусть  - произвольная -матрица с комплексными элементами и —некоторое ее характеристическое число. Тогда  - вырожденная матрица, и потому для нее не могут выполняться все условия Адамара, т. е. должно иметь место хотя бы одно из соотношений

                                 (31)

Каждое из соотношений (31) определяет некоторый круг в комплексной -плоскости с центром в точке  радиуса . Мы пришли к теореме, установленной Гершгориным в 1931 г.

Теорема 5 (Гершгорина). Каждое характеристическое число  матрицы  всегда расположено в одном из кругов (31).

Таким образом, объединение всех точек кругов Гершгорина (31) дает некоторую область локализации характеристических чисел матрицы , т. е. область, в которой заведомо лежат все характеристические числа матрицы . Каждый критерий регулярности приводит к своей области локализации характеристических чисел. Так, исходя из условий Адамара для столбцов, мы получили область локализации в виде объединения  кругов

                                (31')

Блочные условия Адамара приводят нас сразу к теореме:

Теорема 6. Каждое характеристическое число  -матрицы , представленной в блочном виде , принадлежит по крайней мере одной из областей:

        (32)

а также по крайней мере одной из областей

        (32')

(здесь  - единичная матрица того же порядка, что и ; ).

Выясним, какую область локализации можно получить, исходя из критерия Фидлера. Пусть неотрицательные числа  выбраны так, чтобы матрица

                   (33)

была ослабленной -матрицей, т. е. чтобы все главные миноры этой матрицы были неотрицательны (недиагональные элементы в этой матрице заведомо все ). Допустим теперь, что при некотором числе  выполняются  неравенств:

                   (34)

Тогда, заменяя в матрице (33)  на  , мы строго увеличим все диагональные элементы и получим уже -матрицу (неослабленную!)

Но тогда по теореме Фидлера  и число  не является характеристическим числом матрицы

Поэтому для любого характеристического числа  матрицы  по крайней мере одно из неравенств (34) не выполняется, т. е. выполняется одно из соотношений

                   (35)

Объединение  областей (35) и образует область локализации Фидлера, зависящую от специально выбираемых неотрицательных параметров .

Теорема 7 (Фидлера). Если неотрицательные числа  выбраны так, чтобы матрица (33) была ослабленной -матрицей, то каждое характеристическое число  матрицы  принадлежит по крайней мере одной из  замкнутых областей (35).

Рассмотрим в качестве примера симметрическую матрицу 4-го порядка

.

Поскольку матрица  симметрическая, то у нее все характеристические числа вещественны. Поэтому вместо областей локализации в комплексной -плоскости можно рассматривать отрезки, высекаемые этими областями на вещественной -оси

I.Область Гершгорина состоит из одного сегмента

,

который перекрывает остальные сегменты Гершгорина.

II. Разобьем матрицу  на 4 блока

, , ,

В данном случае

,

.

Рассмотрим три варианта нормировки подпространств  и :

а) в  и  - кубические нормы;

б) в  кубическая, а в  - октаэдральная норма;

Рис.6

в) в  октаэдральная, а в  - кубическая норма.

а) Нормы всех блоков определяются по формуле (20'):

, , , .

Блочные области Гершгорина:

,

представляют собой совокупность 4 интервалов:

, , ,       (IIа)

б) В этом случае выражения для  и  остаются прежними, но

,

Блочные области Гершгорина:

,

распадаются на 4 интервала

, , ,       (IIб)

в) Отличие от предыдущего случая заключается лишь в том, что здесь

, .

Поэтому блочные области Гершгорина

,

распадаются на 3 интервала:

, , .            (IIв)

На схеме (рис. 6) изображены области I, IIа, IIб, IIв. Их пересечение дает области локализации:

,,,.

III. При применении критерия Фидлера будем снова исходить из нормировок а), б), в):

,

Желая получить наименьшие значения  и , полагаем

.

Область Фидлера

,

совпадает с областью IIа при , , с областью IIб - при ,

Рис.7

 и с областью IIв при , . Область Фидлера состоит из 4 интервалов:

    (III)

и зависит от одного положительного параметра, поскольку . Можно определить пересечение всех этих областей Фидлера.

Для этого (рис. 7) приравняем величины:

1)    2)

3)        4)

5)             6)

Используя равенство , получим 6 квадратных уравнений с наименьшими положительными корнями:

1) ,  

2) ,  

3) ,  

4) ,  

5) ,  

6) ,  

Нетрудно уяснить себе, что область локализации, состоящая из пересечения всех областей Фидлера, состоит из следующих 4 сегментов: