ГЛАВА XV. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАТРИЦ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия

Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

                          (1)

где   - комплексные функции вещественного аргумента , непрерывные в некотором (конечном или бесконечном) интервале изменения .

Полагая  и , мы систему (1) запишем так:

                                                          (2)

Интегральной матрицей системы (4) мы будем называть квадратную матрицу , столбцами которой являются  линейно независимых решений системы.

Так как каждый столбец матрицы  удовлетворяет уравнению (2), то и интегральная матрица  удовлетворяет уравнению

                                                       (3)

В дальнейшем мы вместо системы (1) будем рассматривать Матричное уравнение (3).

Из теоремы о существовании и единственности решения системы линейных дифференциальных уравнений следует, что интегральная матрица  однозначно определяется, если задано значение этой матрицы при некотором («начальном») значении , . В качестве матрицы  можно взять любую неособенную квадратную матрицу -го порядка. В частном случае, когда , интегральную матрицу  будем называть нормированной.

Продифференцируем определитель матрицы , дифференцируя последовательно строки определителя и используя при этом дифференциальные соотношения

 .

Тогда получим:

.

Отсюда следует известное тождество Якоби

                                                       (4)

где  - постоянная, а

- след матрицы .

Так как определитель  не может тождественно равняться нулю, то . Но тогда из тождества Якоби следует, что определитель  при любом значении аргумента отличен от нуля

,

т. е. интегральная матрица при любом значении аргумента является неособенной.

Если  - неособенное  частное решение уравнения (3), то общее решение этого уравнения определяется формулой

,                                                               (5)

где  - произвольная постоянная матрица.

Действительно, умножая обе части равенства

                                                             (6)

справа на , убеждаемся, что и матрица  удовлетворяет уравнению (3). С другой стороны, если  - произвольное решение уравнения (3), то из (6) следует:

,

откуда в силу (3)

и

,

т. е. имеет место (5).

Все интегральные матрицы  системы (1) получаются по формуле (5) при .

Рассмотрим частный случай:

,                                                            (7)

где  - постоянная матрица. При этом  есть частное неособенное решение уравнения (7) и потому общее решение этого уравнения имеет вид

,                                                             (8)

где  - произвольная постоянная матрица.

Полагая в (8)  найдем: . Отсюда  и потому формулу (8) можно представить в виде

                                                      (9)

Эта формула эквивалентна выведенной ранее формуле (46) главы V (стр. 125).

Рассмотрим еще так называемую систему Коши:

 ( - постоянная матрица)         (10)

Этот случай сводится к предыдущему заменой аргумента:

.

Поэтому общее решение системы (10) выглядит так:

                                 (11)

Функции  и , встречающиеся в формулах (8) и (11), могут быть представлены в виде (стр. 125)

            (12)

    (13)

Здесь

( при ; )

- минимальный многочлен матрицы , а   - линейно независимые постоянные матрицы, являющиеся многочленами от .

Замечание. Иногда в качестве интегральной матрицы системы дифференциальных уравнений (1) берут матрицу , у которой строки являются линейно независимыми решениями системы. Очевидно, матрица  будет транспонированной матрицей для :

.

Переходя в обеих частях равенства (3) к транспонированным матрицам, мы вместо (3) получим следующее уравнение для :

                                                      (3')

В правой части этого уравнения матрица  стоит первым множителем, а не вторым, как  в уравнении (3).