§ 2. Преобразование Ляпунова

Допустим теперь, что в системе (1) [и в уравнении (3)] матрица коэффициентов  - непрерывная ограниченная функция от  в интервале .

Введем вместо неизвестных функций  новые неизвестные функции  при помощи преобразования

                             (14)

На матрицу преобразования  наложим следующие ограничения:

1°  имеет непрерывную производную  в интервале ;

2°  и  ограничены в интервале ;

3° существует постоянная  такая, что

 ,

т. е. определитель  ограничен по модулю снизу положительной постоянной .

Преобразование (14), в котором матрица коэффициентов  удовлетворяет условиям 1°-3°, мы будем называть преобразованием Ляпунова, а соответствующую матрицу  - матрицей Ляпунова.

Такие преобразования рассматривал А. М. Ляпунов в своем знаменитом мемуаре «Общая задача об устойчивости движения» [19].

Примеры. 1. Если  и , то матрица  удовлетворяет условиям 1°-3°. Следовательно, неособенное преобразование с постоянными коэффициентами всегда является преобразованием Ляпунова.

2. Если  - матрица простой структуры с чисто мнимыми характеристическими числами, то матрица

удовлетворяет условиям 1°-3° и потому является матрицей Ляпунова.

Легко проверить, что из свойств 1°- 3° матрицы  следует, что существует обратная матрица  и что она удовлетворяет тем же условиям 1°-3°, т. е. обратное преобразование для преобразования Ляпунова снова является преобразованием Ляпунова. Точно так же проверяется, что два последовательных преобразования Ляпунова в результате снова дают преобразование Ляпунова. Таким образом, преобразования Ляпунова образуют группу. Преобразования Ляпунова обладают следующим важным свойством:

Если при преобразовании (14) система уравнений (1) переходит е систему

,                                              (15)

нулевое решение которой является устойчивым, асимптотически устойчивым или неустойчивы по Ляпунову (см. гл. V, § 7), то таким же свойством обладает и нулевое решение исходной системы (1).

Другими словами, преобразования Ляпунова не изменяют характеристики нулевого решения (в отношении устойчивости). Поэтому эти преобразования могут быть использованы при исследовании устойчивости для упрощения исходной системы уравнений.

Преобразование Ляпунова устанавливает одно-однозначное соответствие между решениями систем (1) и (15), при этом линейно независимые решения остаются таковыми и после преобразования. Поэтому преобразование Ляпунова переводит интегральную матрицу  системы (1) в некоторую интегральную матрицу  системы (15), при этом

                                                          (16)

В матричной записи система (15) имеет вид

                                                        (17)

где  - матрица коэффициентов системы (15).

Подставляя в (3) вместо  произведение  и сопоставляя полученное уравнение с (17), легко найдем следующую формулу, выражающую матрицу  через матрицы  и :

                                             (18)

Две системы (1) и (15) или, что то же, (3) и (17) мы будем называть эквивалентными (в смысле Ляпунова), если они переводятся друг в друга преобразованием Ляпунова. Матрицы коэффициентов  и  эквивалентных систем всегда связаны между собой формулой (18), в которой матрица  удовлетворяет условиям 1°-3°.