§ 3. Приводимые системыСреди систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка наиболее простыми и наиболее изученными являются системы с постоянными коэффициентами. Поэтому представляют интерес системы, которые при помощи преобразования Ляпунова могут быть приведены к системам с постоянными коэффициентами. Такие системы А. М. Ляпунов называл приводимыми. Пусть дана приводимая система
Тогда некоторое преобразование Ляпунова
переводит ее в систему
где
Легко видеть, что, и обратно, всякая система (19), имеющая частное решение вида (22), где Следуя А. М. Ляпунову, покажем, что всякая система (19) с периодическими коэффициентами приводима. Пусть в данной системе (19)
Заменяя в (19)
Таким образом, Эта матричная функция от является непрерывной периодической функцией с периодом и с определителем С другой стороны, поскольку решение то система (19) приводима. В данном случае преобразование Ляпунова
приводящее систему (19) к виду
имеет периодические коэффициенты с периодом А. М. Ляпуновым был установлен весьма важный критерий устойчивости и неустойчивости по первому линейному приближению для нелинейных систем дифференциальных уравнении
где в правых частях стоят сходящиеся степенные ряды относительно Критерий Ляпунова. Нулевое решение системы (24) будет устойчивым (и притом асимптотически), если матрица коэффициентов первого линейного приближения Приведенные выше рассуждения позволяют использовать этот критерий для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах:
Действительно, на основании предыдущих рассуждений можно при помощи преобразования Ляпунова систему (25) привести к виду (24), где
а
Поэтому, применяя критерий Ляпунова к приведенной системе, найдем: Нулевое решение системы (25) будет асимптотически устойчивым, если все характеристические числа А. М. Ляпунов установил свой критерий устойчивости по линейному приближению для значительно более широкого класса систем, а именно для систем вида (24), у которых система линейного приближения не обязательно система с постоянными коэффициентами, но принадлежит к классу систем, названных Ляпуновым правильными. Класс правильных линейных систем содержит в себе как часть все приводимые системы. Критерий неустойчивости для случая, когда первое линейное приближение является правильной системой, был установлен Н. Г. Четаевым.
|