§ 3. Приводимые системы

Среди систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка наиболее простыми и наиболее изученными являются системы с постоянными коэффициентами. Поэтому представляют интерес системы, которые при помощи преобразования Ляпунова могут быть приведены к системам с постоянными коэффициентами. Такие системы А. М. Ляпунов называл приводимыми.

Пусть дана приводимая система

                                                            (19)

Тогда некоторое преобразование Ляпунова

                                                          (20)

переводит ее в систему

,                                                            (21)

где  - постоянная матрица. Поэтому система (19) имеет частное решение

                                                        (22)

Легко видеть, что, и обратно, всякая система (19), имеющая частное решение вида (22), где  - матрица Ляпунова, а  - постоянная матрица, является приводимой и при этом она приводится к виду (21) при помощи преобразования Ляпунова (20).

Следуя А. М. Ляпунову, покажем, что всякая система (19) с периодическими коэффициентами приводима.

Пусть в данной системе (19)  - непрерывная функция в интервале  с периодом :

                                                   (23)

Заменяя в (19)  на  и используя (23), получим:

.

Таким образом, , как и  является интегральной матрицей системы (19). Поэтому , где  - некоторая постоянная неособенная матрица. Поскольку , то можно определить

Эта матричная функция от , как и , умножается справа на , если к аргументу прибавить . Поэтому «частное»

является непрерывной периодической функцией с периодом :

и с определителем . Матрица  удовлетворяет условиям 1°-3° предыдущего параграфа и, следовательно, является матрицей Ляпунова.

С другой стороны, поскольку решение  системы (19) представимо в виде

то система (19) приводима.

В данном случае преобразование Ляпунова

,

приводящее систему (19) к виду

,

имеет периодические коэффициенты с периодом

А. М. Ляпуновым был установлен весьма важный критерий устойчивости и неустойчивости по первому линейному приближению для нелинейных систем дифференциальных уравнении

,                                          (24)

где в правых частях стоят сходящиеся степенные ряды относительно , а  обозначает сумму членов этих рядов второго порядка и выше относительно ; коэффициенты   в линейных членах постоянны.

Критерий Ляпунова. Нулевое решение системы (24) будет устойчивым (и притом асимптотически), если матрица коэффициентов первого линейного приближения  имеет все характеристические числа с отрицательными вещественными частями, и неустойчивым, если хотя бы одно из этих характеристических чисел имеет положительную вещественную часть.

Приведенные выше рассуждения позволяют использовать этот критерий для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах:

               (25)

Действительно, на основании предыдущих рассуждений можно при помощи преобразования Ляпунова систему (25) привести к виду (24), где

,

а  - постоянная матрица, на которую умножается интегральная матрица соответствующей линейной системы (19) при сдвиге аргумента на . Не нарушая общности, можем считать . В силу свойств преобразования Ляпунова нулевое решение исходной системы и нулевое решение преобразованной одновременно являются устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми. Но характеристические числа  и   матриц  и  связаны между собой формулой

 .

Поэтому, применяя критерий Ляпунова к приведенной системе, найдем:

Нулевое решение системы (25) будет асимптотически устойчивым, если все характеристические числа  матрицы  по модулю <1, и неустойчивым, если хотя бы одно из этих чисел по модулю >1.

А. М. Ляпунов установил свой критерий устойчивости по линейному приближению для значительно более широкого класса систем, а именно для систем вида (24), у которых система линейного приближения не обязательно система с постоянными коэффициентами, но принадлежит к классу систем, названных Ляпуновым правильными.

Класс правильных линейных систем содержит в себе как часть все приводимые системы.

Критерий неустойчивости для случая, когда первое линейное приближение является правильной системой, был установлен Н. Г. Четаевым.