§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина

Пусть даны приводимая система (19) и эквивалентная ей (в смысле Ляпунова) система

,

где  - постоянная матрица.

Нас будет интересовать вопрос, в кикой степени матрица  определяется данной системой (19). Этот вопрос можно еще сформулировать так:

В каком случае две системы

 и ,

где  и  - постоянные матрицы, являются эквивалентными по Ляпунову, т. е. переводятся друг в друга преобразованием Ляпунова?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем понятие о матрицах, имеющих одну и ту же вещественную часть спектра.

Мы будем говорить, что две матрицы  и  -го порядка имеют одну и ту же вещественную часть спектра в том и только в том случае, когда элементарные делители матриц  и  имеют соответственно вид

 и ,

где

 .

Имеет место следующая теорема, установленная Н. П. Еругиным:

Теорема 1 (Еругина). Две системы

 и                                          (26)

( и  - постоянные матрицы -го порядка) эквивалентны в смысле Ляпунова в том и только в том случае, если матрицы  и  имеют одну и ту же вещественную часть спектра.

Доказательство. Пусть даны системы (26). Приведем матрицу  к нормальной жордановой форме (см. гл. VI, § 7)

, (27)

где

 (,  - вещественные числа; ).     (28)

В соответствии с (27) и (28) положим:

   (29)

Тогда

,                                     (30)

Определим матрицу  равенством .  - матрица Ляпунова (см. пример 2 на стр. 422).

Но частное решение первой из систем (26) в силу (30) имеет вид

.

Отсюда следует, что первая из систем (26) эквивалентна системе

,                                                          (31)

где согласно (29) матрица  имеет вещественные характеристические числа и ее спектр совпадает с вещественной частью спектра матрицы .

Аналогично вторую из систем (26) заменим эквивалентной

,                                                           (32)

где матрица  имеет вещественные характеристические числа и ее спектр совпадает с вещественной частью спектра матрицы .

Наша теорема будет доказана, если мы покажем, что две системы (31) и (32), в которых матрицы  и  - постоянные матрицы с вещественными характеристическими числами, могут быть эквивалентны лишь в том случае, когда матрицы  и  подобны.

Пусть преобразование Ляпунова  переводит (31) в (32). Тогда матрица  удовлетворяет уравнению

                                                 (33)

это матричное уравнение относительно  эквивалентно системе  дифференциальных уравнений относительно  элементов матрицы . Правая часть в (33) представляет собой линейную операцию над «вектором»  в пространстве  измерений

                    (33')

Любое характеристическое число линейного оператора  (и соответствующей ему матрицы порядка ) представляется в виде разности , где  - характеристическое число матрицы , а  - характеристическое число матрицы . Отсюда следует, что оператор  имеет только вещественные характеристические числа.

Обозначим через  ( вещественны;  при ; ) минимальный многочлен для . Тогда решение  системы (33') в силу формулы (12) (стр. 421) запишется так:

,                                      (34)

где  - постоянные матрицы -го порядка. Поскольку матрица  ограничена в интервале , то как для любого , так и при  и  соответствующие матрицы . Обозначим через  сумму всех слагаемых в (34), в которых . Тогда

,                                               (35)

где

, ,     (35')

Тогда согласно (35) и (35')

,

откуда следует, что

,

поскольку определитель  ограничен по модулю снизу.

Подставляя в (33) вместо  сумму , получим:

,

откуда в силу (35')

и, следовательно,

                                                        (36)

Обратно, если имеет место (36), то преобразование Ляпунова

переводит систему (31) в систему (32). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что всякая приводимая система (19) при помощи преобразования Ляпунова  может быть приведена к виду

,

где  - жорданова матрица с вещественными характеристическими числами. Эта каноническая форма системы заданием матрицы  определяется однозначно с точностью до порядка диагональных клеток в .