§ 5. Матрицант

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

,                                                      (37)

где  - непрерывная матричная функция в некотором интервале  изменения аргумента .

Воспользуемся методом последовательных приближений для определения нормированного решения системы (37), т. е. решения, обращающегося в единичную матрицу при  [ - фиксированное число из интервала ]. Последовательные приближения   будем находить из рекуррентных соотношений

 ,

выбирая в качестве приближения  единичную матрицу .

Полагая  , мы сможем  представить в виде

 .

Таким образом

т. e.   есть сумма первых  членов матричного ряда

                 (38)

Для того чтобы доказать, что этот ряд абсолютно и равномерно сходится в любой замкнутой части интервала и определяет искомое решение уравнения (37), мы построим мажорантный ряд.

Определим неотрицательные функции  и  в интервале  равенствами

,

Легко проверяется, что функции , а следовательно, и  непрерывны в интервале .

Каждый из  скалярных рядов, на которые распадается матричный ряд (38), мажорируется рядом

                          (39)

Действительно,

,

и т.д.

Ряд (39) сходится в интервале , причем сходится равномерно в любой замкнутой части этого интервала. Отсюда вытекает, что и матричный ряд (38) сходится в  и притом абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, входящем в .

Почленным дифференцированием проверяем, что сумма ряда (38) представляет собой решение уравнения (37); это решение обращается в  при . Почленное дифференцирование ряда (38) допустимо, поскольку ряд, получающийся после дифференцирования, отличается множителем  от ряда (38) и, следовательно, как и ряд (38), является равномерно сходящимся в любой замкнутой части интервала .

Таким образом, нами доказана теорема о существовании нормированного решения уравнения (37). Это решение будем обозначать через  или просто . Любое другое решение, как было показано § 1, имеет вид

,

где  - произвольная постоянная матрица. Из этой формулы следует, что любое решение, и в частности нормированное, однозначно определяется своим значением при .

Ненормированное решение  уравнения (37) часто называют матрицантом.

Мы показали, что матрицант представим в виде ряда

        (40)

который сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором функция  непрерывна.

Отмстим некоторые формулы для матрицанта.

1°   

Действительно, поскольку  и  - два решения уравнения (37), то

 ( - постоянная матрица).

Полагая здесь . Получим .

2° , где .

Для вывода этой формулы положим:

,

и

                                                                (41)

Дифференцируя почленно (41), найдем:

.

Отсюда

и, следовательно, поскольку из (41) следует, что ,

.

Подставляя в (41) вместо , ,  соответствующие матрицанты, получаем формулу 2°.

3°  

Эта формула следует из тождества Якоби (4) (стр. 420), если в него вместо  подставить .

4° Если , то

.

Введем следующие обозначения. Если , то через  будем обозначать матрицу

.

Кроме того, если  и  - две вещественные матрицы и

 ,

то мы будем писать:

.

Тогда из представления (40) следует:

5° Если , то

 .

В дальнейшем матрицу -го порядка, у которой все элементы равны единице, будем обозначать через :

.

Рассмотрим функцию , определенную на стр. 429. Тогда

.

Отсюда в силу 5°

                     (42)

Ho  есть нормированное решение уравнения

.

Следовательно, в силу 40

где

Поэтому из (42) следует:

6°  ,

где

, .

Покажем теперь, как при помощи матрицанта выражается общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с правыми частями:

              (43)

 ,   - непрерывные функции в интервале изменения аргумента .

Вводя столбцевые матрицы («векторы»  и ) и квадратную матрицу  запишем эту систему так:

                                             (43')

Будем искать решение этого уравнения в виде

,                                                       (44)

где  — неизвестный столбец, зависящий от . Подставим это выражение для  в (43'), получим:

,

откуда

.

Интегрируя, находим:

где  - произвольный постоянный вектор. Подставим это выражение в (44), получим:

    (45)

Давая  значение  найдем: . Поэтому формула (45) принимает вид

,             (45')

где

- так называемая матрица Коши.