§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(54)

Здесь данные функции и искомые функции предполагаются однозначными аналитическими функциями комплексного аргумента , регулярными в некоторой области комплексной -плоскости.

Вводя квадратную матрицу и столбцевую матрицу , мы, как и в случае вещественного аргумента (§ 1), можем записать систему (54) в виде

(54')

Обозначая через интегральную матрицу, т. е. матрицу, столбцами которой являются линейно независимых решений системы (54), мы вместо (54') можем написать:

(55)

Формула Якоби имеет место и при комплексном аргументе :

(56)

При этом предполагается, что и все точки пути, вдоль которого берется , являются регулярными точками для однозначной аналитической функции .

Специфичность рассматриваемого случая комплексного аргумента заключается в том, что при однозначной функции интегральная матрица может быть многозначной функцией от .

В качестве примера рассмотрим систему Коши

( - постоянная матрица). (57)

Одним из решений этой системы, как и в случае вещественного аргумента, является (см. стр. 421) интегральная матрица

(58)

В качестве области возьмем всю -плоскость за исключением точки . Все точки этой области являются регулярными точками матрицы коэффициентов

Если , то точка является особой точкой (полюсом первого порядка) для матричной функции .

Элемент интегральной матрицы (58) при однократном обходе в положительном направлении точки возвращается с новым значением, которое получается из старого умножением справа на постоянную матрицу

Для общей системы (55) теми же рассуждениями, что и в случае вещественного аргумента, убеждаемся в том, что два однозначных решения и в некоторой части области всегда связаны формулой

где - некоторая постоянная матрица. Эта формула сохранится при любом аналитическом продолжении функций и в области .

Теорема о существовании и единственности (при заданных начальных значениях) решения системы (54) может быть доказана аналогично вещественному случаю.

Рассмотрим односвязную и притом звездообразную относительно точки область , составляющую часть области , и пусть матричная функция регулярна в области . Составим ряд

(59)

Из односвязности области следует, что каждый встречающийся в ряду (59) интеграл не зависит от пути интегрирования и представляет собой регулярную функцию в области . Поскольку область звездообразна относительно , то при оценке модулей этих интегралов мы можем считать, что все интегралы берутся вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки и .

Абсолютная и равномерная в любой замкнутой части области , содержащей точку , сходимость ряда (59) вытекает из сходимости мажорантного ряда

Здесь - верхняя граница для модуля матрицы , а - верхняя граница расстояний точки от точки , причем обе границы относятся к рассматриваемой замкнутой части области .

Путем почленного дифференцирования проверяется, что сумма ряда (59) представляет собой решение уравнения (55). Это решение нормировано, поскольку оно при обращается в единичную матрицу . Однозначное нормированное решение системы (55), как и в вещественном случае, будем называть матрицантом и будем обозначать через . Таким образом, мы получили, представление матрицанта в области в виде ряда

(60)

Свойства 1°-4° матрицанта, установленные в § 5, автоматически переносятся и на случай комплексного аргумента.

Произвольное решение уравнения (55), регулярное в области и обращающееся при в матрицу , представится в виде

. (61)

Формула (61) охватывает все однозначные решения, регулярные в окрестности точки [- регулярная точка для матрицы коэффициентов ]. Эти решения, будучи аналитически продолжены в область , дадут все решения уравнения (55), т. е. уравнение (55) не может иметь решений, для которых была бы особой точкой.

Для аналитического продолжения матрицанта в область удобно пользоваться мультипликативным интегралом.