Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

                                              (54)

Здесь данные функции  и искомые функции   предполагаются однозначными аналитическими функциями комплексного аргумента , регулярными в некоторой области  комплексной -плоскости.

Вводя квадратную матрицу  и столбцевую матрицу , мы, как и в случае вещественного аргумента (§ 1), можем записать систему (54) в виде

                                                        (54')

Обозначая через  интегральную матрицу, т. е. матрицу, столбцами которой являются   линейно независимых решений системы (54), мы вместо (54') можем написать:

                                                                        (55)

Формула Якоби имеет место и при комплексном аргументе :

                                                     (56)

При этом предполагается, что  и все точки пути, вдоль которого берется , являются регулярными точками для однозначной аналитической функции .

Специфичность рассматриваемого случая комплексного аргумента заключается в том, что при однозначной функции  интегральная матрица  может быть многозначной функцией от .

В качестве примера рассмотрим систему Коши

 ( - постоянная матрица).      (57)

Одним из решений этой системы, как и в случае вещественного аргумента, является (см. стр. 421) интегральная матрица

                                      (58)

В качестве области  возьмем всю -плоскость за исключением точки . Все точки этой области являются регулярными точками матрицы коэффициентов

.

Если , то точка  является особой точкой (полюсом первого порядка) для матричной функции .

Элемент интегральной матрицы (58) при однократном обходе в положительном направлении точки  возвращается с новым значением, которое получается из старого умножением справа на постоянную матрицу

.

Для общей системы (55) теми же рассуждениями, что и в случае вещественного аргумента, убеждаемся в том, что два однозначных решения  и  в некоторой части области  всегда связаны формулой

,

где  - некоторая постоянная матрица. Эта формула сохранится при любом аналитическом продолжении функций  и  в области .

Теорема о существовании и единственности (при заданных начальных значениях) решения системы (54) может быть доказана аналогично вещественному случаю.

Рассмотрим односвязную и притом звездообразную относительно точки  область , составляющую часть области , и пусть матричная функция  регулярна в области . Составим ряд

                        (59)

Из односвязности области  следует, что каждый встречающийся в ряду (59) интеграл не зависит от пути интегрирования и представляет собой регулярную функцию в области . Поскольку область  звездообразна относительно , то при оценке модулей этих интегралов мы можем считать, что все интегралы берутся вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки  и .

Абсолютная и равномерная в любой замкнутой части области , содержащей точку , сходимость ряда (59) вытекает из сходимости мажорантного ряда

Здесь  - верхняя граница для модуля матрицы , а  - верхняя граница расстояний точки  от точки , причем обе границы относятся к рассматриваемой замкнутой части области .

Путем почленного дифференцирования проверяется, что сумма ряда (59) представляет собой решение уравнения (55). Это решение нормировано, поскольку оно при  обращается в единичную матрицу . Однозначное нормированное решение системы (55), как и в вещественном случае, будем называть матрицантом и будем обозначать через . Таким образом, мы получили, представление матрицанта в области  в виде ряда

       (60)

Свойства 1°-4° матрицанта, установленные в § 5, автоматически переносятся и на случай комплексного аргумента.

Произвольное решение уравнения (55), регулярное в области  и обращающееся при  в матрицу , представится в виде

 .                                 (61)

Формула (61) охватывает все однозначные решения, регулярные в окрестности точки  [- регулярная точка для матрицы коэффициентов ]. Эти решения, будучи аналитически продолжены в область , дадут все решения уравнения (55), т. е. уравнение (55) не может иметь решений, для которых  была бы особой точкой.

Для аналитического продолжения матрицанта в область  удобно пользоваться мультипликативным интегралом.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>