§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной областиМультипликативный интеграл вдоль некоторой кривой в комплексной плоскости определяется следующим образом. Пусть даны некоторый путь Сопоставляя это определение с определением на стр. 434, мы видим, что новое определение совпадает с прежним в том частном случае, когда путь Если есть параметрическое уравнение пути, причем Эта формула показывает, что мультипликативный интеграл вдоль произвольного пути существует, если подинтегральная матрица Мультипликативная производная определяется прежней формулой При этом предполагается, что Все дифференциальные формулы (I - III) предыдущего параграфа переносятся без изменения на случай комплексного аргумента. Что же касается интегральных формул IV - VI, то несколько видоизменяется их внешняя запись: IV'. V'. VI'. В формуле IV' мы через Формула VII принимает теперь вид VII'. Здесь Формула VIII заменится теперь формулой VIII'. где Формула VIII' получается сразу из формулы VIII, если в последней сделать преобразование переменной, выбрав в качестве новой переменной интегрирования длину дуги Как и в случае вещественного аргумента, существует тесная связь мультипликативного интеграла с матрицантом. Пусть дана однозначная аналитическая матричная функция Соединим точки совершенно так же, как в § 6 (стр. 433), предельным переходом получим:
Из этой формулы видно, что мультипликативный интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начала и конца пути, если весь путь интегрирования лежит в односвязной области
Эта формула представляет собой аналог известной теоремы Коши, согласно которой обычный (немультипликативный) интеграл вдоль замкнутого контура равен нулю, если этот контур лежит в односвязной области, в которой подинтегральная функция регулярна. Представление матрицанта в виде мультипликативного интеграла (62) может быть использовано для аналитического продолжения матрицанта вдоль произвольного пути
задает все ветви многозначной интегральной матрицы Согласно формуле Якоби (56) и, в частности, при
Из этой формулы следует, что мультипликативный интеграл всегда представляет собой неособенную матрицу, если только путь интегрирования целиком лежит в области, в которой функция Если не определяется заданием подинтегральной функции и замкнутого пути интегрирования
и, следовательно,
Формула (66) показывает, что символ Рассмотрим элемент Сопоставляя это равенство с предыдущим, найдем:
В частности, для матрицанта
|