§ 9. Изолированная особая точка

Займемся исследованием поведения решения (интегральной матрицы) в окрестности изолированной особой точки а.

Пусть матричная функция  регулярна для значений , удовлетворяющих неравенствам

.

Совокупность этих значений образует двусвязную область . Матричная функция  в области  разлагается в ряд Лорана

.                                      (69)

Элемент  интегральной матрицы после однократного обхода в положительном направлении вокруг  вдоль пути  перейдет в элемент

,

где  - некоторая постоянная неособенная матрица.

Пусть  - постоянная матрица, связанная с матрицей  равенством

.                                                       (70)

Тогда матричная функция  после обхода вдоль  также переходит в . Поэтому аналитическая в области  матричная функция

                                       (71)

при аналитическом продолжении вдоль  переходит сама в себя (остается неизменной). Поэтому матричная функция  регулярна в  и разлагается в  в ряд Лорана

.                                      (72)

Из (71) следует:

.                                        (73)

Таким обозом, каждая интегральная матрица  может быть представлена в виде (73), где однозначная функция  и постоянная матрица  зависят от матрицы коэффициентов . Однако алгорифмическое определение матрицы  и коэффициентов  ряда (72) по коэффициентам  ряда (69) в общем случае представляет собой сложную задачу.

Частный случай этой задачи, когда

,

будет нами разобран полностью в § 10. В этом случае точка а называется регулярной особой точкой системы (55).

Если разложение (69) имеет вид

 ,

то точка  называется иррегулярной особой точкой типа полюса. Наконец, если в ряду (69) имеется бесчисленное множество отличных от нуля матричных коэффициентов  при отрицательных степенях , то точка  называется существенной особой точкой данной дифференциальной системы.

Рис. 8.

Из формулы (73) следует, что интегральная матрица  при любом однократном обходе в положительном направлении (вдоль некоторого замкнутого пути ) умножается справа на одну и ту же матрицу

.

Если этот обход начинается (и кончается) в точке , то согласно (67)

    (74)

Если вместо интегральной матрицы  мы рассмотрим любую другую интегральную матрицу  ( - постоянная матрица, ), то, как видно из (74), матрица  заменится подобной матрицей

.

Таким образом, «интегральные подстановки»  данной системы образуют класс подобных между собой матриц.

Из формулы (74) также следует, что интеграл

                                                     (75)

определяется начальной точкой обхода и не зависит от формы кривой обхода. Если же мы меняем точку , то получающиеся при этом различные значения интеграла (75) подобны между собой.

В этих свойствах интеграла (75) можно убедиться и непосредственно. Действительно, пусть  и  — два замкнутых пути в  вокруг точки  с начальными точками обхода  и  (см. рис. 8).

Двусвязная область, заключенная между  и  может быть сделана односвязной, если провести разрез от  до . Интеграл вдоль разреза мы обозначим через

.

Поскольку мультипликативный интеграл вдоль замкнутого контура односвязной области равен , то

откуда

Таким образом, как и , интеграл  определен с точностью до подобия, и равенство (74) мы иногда будем записывать так:

понимая под этим совпадение элементарных делителей у матриц, стоящих в левой и правой частях равенства.

Рассмотрим для примера систему с регулярной особой точкой

,

где

Пусть

Пользуясь формулой VIII' предыдущего параграфа, дадим оценку модуля разности

                   (76)

выбрав в качестве пути интегрирования окружность радиуса  с положительным направлением обхода. Тогда при

, ,

мы можем в формуле VIII' положить:

, , ,

после чего получим:

.

Отсюда видно, что

.                                               (77)

С другой стороны, система

является системой Коши, и в этом случае при любом выборе начальной точки обхода  и при любом

Поэтому из (76) и (77) следует:

                                 (78)

Но элементарные делители интеграла  не зависят от  и  и совпадают с элементарными делителями интегральной подстановки .

Отсюда Вольтерра в своем известном мемуаре (см. [149]), а также в книге [49] (стр. 117-120) делает вывод, что матрицы  и  подобны, и потому интегральная подстановка  с точностью до подобия определяется матрицей «вычетов» .

Это утверждение Вольтерра ошибочно.

Из (74) и (78) можно лишь сделать вывод, что характеристические числа интегральной подстановки  совпадают с характеристическими числами матрицы . Однако элементарные делители у этих матриц могут быть различными. Так, например, матрица

при любом  имеет один элементарный делитель , а предел этой матрицы при , т. е. матрица , имеет два элементарных делителя , .

Таким образом, утверждение Вольтерра не вытекает из формул (74) и (78). Но оно и вообще неверно, как показывает следующий пример.

Пусть

Соответствующая система дифференциальных уравнений имеет вид:

, .

Интегрируя эту систему, находим:

, .

Интегральная матрица

при однократном положительном обходе вокруг особой точки  умножается справа па матрицу

Эта матрица имеет один элементарный делитель . В то же время матрица

имеет два элементарных делителя , .

Рассмотрим теперь случай, когда матрица  имеет конечное число отрицательных степеней  ( - регулярная или иррегулярная особая точка типа полюса):

 .

Преобразуем данную систему

,                                                            (79)

положив

,                                                        (80)

где  - матричная функция, регулярная в точке  и принимающая в этой точке значение :

;

степенной ряд в правой части сходится при .

Известный американский математик Г. Биркгофф в 1913 г. опубликовал теорему (см. [119]), согласно которой всегда можно подобрать преобразование (80) так, чтобы матрица коэффициентов преобразованной системы

                                                      (79')

содержала только отрицательные степени :

.

Теорема Биркгоффа вместе с полным ее доказательством приведена в книге Э. JI. Айнса «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Там же на основе рассмотрения «канонических» систем (79') проводится исследование поведения решения произвольной системы в окрестности особой точки.

Между тем доказательство Биркгоффа содержит ошибку, а сама теорема неверна. В качестве опровергающего примера можно взять хотя бы пример, приведенный выше для опровержения утверждения Вольтерра.

В этом примере ,  и

, ,  при

Применяя теорему Биркгоффа и подставляя в (79) вместо  произведение , мы после замены  на  и сокращая на  получим:

.

Приравнивая коэффициенты при  и свободные члены, найдем:

, .

Полагая , получим

.

Это - противоречивое равенство.

В следующем параграфе мы выясним, к какому каноническому виду может быть преобразована система (79) при помощи преобразования (80) в случае регулярной особой точки.