§ 10. Регулярная особая точка

Исследуя поведение решения в окрестности особой точки, мы без нарушения общности рассуждения можем принять, что особой точкой является точка .

1. Пусть дана система

,                                                     (81)

где

                                        (82)

и ряд  сходится внутри круга .

Положим

,                                                        (83)

где

                                  (84)

Оставляя пока в стороне вопрос о сходимости ряда (84), постараемся так определить матричные коэффициенты  этого ряда, чтобы преобразованная система

,                                                     (85)

где

,                                     (86)

имела возможно более простой («канонический») вид.

Подставляя в (81) вместо  произведение  и используя (85), мы получим:

.

Умножая обе части этого равенства справа на , найдем:

.

Заменяя здесь , ,  рядами (82), (84), (86) и приравнивая в левой и правой частях равенства коэффициенты при одинаковых степенях , получим бесконечную систему матричных уравнений для искомых коэффициентов :

     (87)

2. Рассмотрим отдельно несколько случаев:

1° Матрица  не имеет различных характеристических чисел, отличающихся друг от друга на целое число.

В этом случае при любом  матрицы  и  не имеют общих характеристических чисел, и потому (см. гл. VIII, § 3) матричное уравнение

при любой правой части  имеет одно и только одно решение. Это решение будем обозначать через

.

Поэтому в уравнениях (87) можно положить все матрицы   равными нулю и последовательно определить  при помощи равенств

Тогда преобразованная система является системой Коши

и потому решение  исходной системы (81) имеет вид

.                                          (88)

2° Среди различных характеристических чисел матрицы  имеются числа, разность между которыми является целым числом; при этом матрица  имеет простую структуру.

Обозначим через  характеристические числа матрицы , расположенные так, чтобы имели место неравенства

.                                   (89)

Не нарушая общности рассуждении, мы можем матрицу  заменить любой, ей подобной. Это следует из того, что,- умножая обе части уравнения (81) слева на неособенную матрицу , а справа - , мы фактически заменяем все  на   (при этом и  заменяется на ). Поэтому мы будем считать, что в рассматриваемом случае  - диагональная матрица:

.                                                        (90)

Введем обозначения для элементов матриц ,  и :

, , .        (91)

Для определения  мы воспользуемся вторым из уравнений (87). Это матричное уравнение можно заменить скалярными уравнениями

           (92)

Если ни одна из разностей  не равна единице, то мы можем положить . Тогда из (87) .

В этом случае элементы матрицы , однозначно определятся из уравнений (92):

 .                    (93)

Если же при некоторых  

,

то соответствующее  определяется из (92):

,

а соответствующее выбирается совершенно произвольно.

При тех же  и , при которых , мы полагаем:

,

а соответствующее  находим по формуле (93).

Определив  мы переходим к определению  из третьего уравнения (87). Заменим это матричное уравнение системой  скалярных уравнений:

  .   (94)

Здесь мы поступаем так же, как и при определении .

Если , то мы полагаем:

,

и тогда из (94) находим:

Если же , то при этих  и  из (94) следует, что

.

В этом случае  выбирается произвольно.

Продолжая этот процесс далее, мы последовательно определим все матрицы  и .

При этом только конечное число из матриц  будет отлично от нуля, и, как нетрудно видеть, матрица  будет иметь вид

      (95)

где , если  не есть целое положительное число, и , если является целым положительным числом.

Обозначим через  наибольшую целую часть числа :

 .                                    (96)

Тогда в силу (89)

.

При этом если  есть целое число, то

.

Поэтому в выражении (95) канонической матрицы  мы можем все разности  заменить на . Кроме того, мы положим:

 ,                                    (91')

,                   (97)

Тогда из (95) следует (см формулу I на стр. 435):

.

Отсюда вытекает, что  представляет собой решение уравнения (85), а

                                                  (98)

является решением уравнения (81).

3° Переходим к общему случаю. Как было выяснено выше, мы можем, не нарушая общности, матрицу  заменить любой матрицей, ей подобной. Мы примем, что матрица  имеет нормальную жорданову форму

,       (99)

причем

.                                  (100)

Здесь  обозначает единичную матрицу, а  - матрицу, у которой элементы первой «наддиагонали» равны единице, а остальные элементы равны нулю. Порядки матриц  и  в различных диагональных клетках будут, вообще говоря, различными; эти порядки совпадают со степенями соответствующих элементарных делителей матрицы .

В соответствии с представлением (99) матрицы  разобьем все матрицы ,  и  на блоки:

, , .

Тогда второе из уравнений (87) может быть заменено системой уравнений

 ,       (101)

которые могут быть еще переписаны так:

 .        (102)

Пусть

, , .

Тогда матричное уравнение (102) (при фиксированных  и ) можно заменить системой скалярных уравнений вида

     (103)

где  и  - порядки матриц  и  в (99).

Если , то в системе (103) можно положить все  и однозначно определить все  из рекуррентных соотношений (103). Это означает, что в матричном уравнении (102) мы полагаем

и однозначно определяем .

Если , то соотношения (103) принимают вид

 .       (104)

Нетрудно показать, что из уравнений (104) можно так определить элементы  матрицы , чтобы матрица  имела в соответствии со своими размерами  вид

 

                               (105)

Про матрицы (105) будем говорить, что они имеют правильную нижнюю треугольную форму.

Из третьего уравнения (87) мы определяем матрицу . Это уравнение можно заменить системой уравнений

     (106)

Аналогично тому, как это было при определении  если , то из соответствующего уравнения (106) матрица  определяется однозначно при . Если же , то можно так определить матрицу , чтобы матрица  имела правильную нижнюю треугольную форму.

Продолжая этот процесс, мы определим последовательно все матричные коэффициенты  и . При этом только конечное число из коэффициентов  будет отлично от нуля, и матрица  будет иметь следующий блочный вид

       (107)

где

Все матрицы   имеют правильную нижнюю треугольную форму.

Как и в предыдущем случае, обозначим через  целую часть

                                  (108)

и положим

                                   (108')

Тогда снова в выражении (107) для  мы можем всюду разность  заменить разностью . Вводя диагональную матрицу с целыми элементами  и верхнюю треугольную матрицу  при помощи равенств

,      (109)

мы, исходя из (107), легко получим следующее представление для матрицы :

Отсюда следует, что решение уравнения (85) может быть задано в виде

,

а решение уравнения (81) может быть представлено так:

.                                                 (110)

Здесь  - матричный ряд (84),  - диагональная матрица с постоянными целыми элементами,  - постоянная треугольная матрица. Матрицы  и  определяются равенствами (108), (108') и (109).

3. Переходим теперь к доказательству сходимости ряда

Воспользуемся леммой, которая представляет и самостоятельный интерес.

Лемм а. Если ряд

                                       (111)

формально удовлетворяет системе

                                                       (112)

для которой  является регулярной особой точкой, то ряд (111) сходится в любой окрестности точки , в которой сходится разложение в ряд (82) для матрицы коэффициентов .

Доказательство. Пусть

,

где ряд  сходится при . Тогда существуют такие положительные постоянные  и , что

, ,         (113)

Подставляя в (112) вместо  ряд (111) и приравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (112), получим бесконечную систему векторных (столбцовых) равенств

  (114)

Нам достаточно доказать, что какой-либо остаток ряда (111)

                                   (115)

сходится в окрестности точки . Число  подчиним неравенству

.

Тогда число  будет превосходить модули всех характеристических чисел матрицы  и потому при  будем иметь  и

  .   (116)

В последней части этого равенства стоит сходящийся матричный ряд. Пользуясь этим рядом, мы из (114) можем все коэффициенты ряда (115) выразить однозначно через  при помощи рекуррентных соотношений

  ,    (117)

где

     (118)

Заметим, что ряд (115) формально удовлетворяет дифференциальному уравнению

,                                   (119)

где

    (120)

Из (120) вытекает, что ряд

сходится при , и потому существует такое число , что

 .                        (121)

Из вида рекуррентных соотношений (117) следует, что, заменив в них матрицы , ,  мажорантными матрицами , , , а столбец , столбцом  , мы получим соотношения, определяющие верхние границы  для :

.                                                   (122)

Следовательно, ряд

                                  (123)

после почленного умножения на столбец  будет мажорантным рядом для ряда (115).

Заменив в (119) матричные коэффициенты , ,  рядов

,

соответствующими мажорантными матрицами , , , а также заменив  на , мы получим дифференциальное уравнение для :

              (124)

Это линейное дифференциальное уравнение имеет частное решение

которое регулярно в точке  и в окрестности этой точки разлагается в сходящийся при  степенной ряд (123).

Из сходимости мажорантного ряда (123) следует сходимость ряда (115) при . Лемма доказана.

Замечание 1. Приведенное доказательство позволяет определить все регулярные в особой точке решения дифференциальной системы (112), если таковые существуют.

Для существования регулярных решений (не равных тождественно нулю) необходимо и достаточно, чтобы матрица вычетов  имела целое неотрицательное характеристическое число. Если  - наибольшее такое целое характеристическое число, то из первых  уравнений (114) можно определить не обращающиеся одновременно в нуль столбцы , поскольку определитель соответствующей системы линейных однородных уравнений равен нулю:

.

Из остальных уравнений (114) столбцы  однозначно выразятся через . Полученный ряд (111) сходится согласно лемме. Таким образом, линейно независимые решения первых  уравнений (114) определяют все линейно независимые регулярные в особой точке  решения системы (112).

Если  есть особая точка, то задание начального значения  для регулярного в этой точке решения (111) (если таковое существует) не определяет однозначно этого решения. Однако решение, регулярное в регулярной особой точке, определяется однозначно, если заданы , т. е. если заданы начальные значения при  самого решения и его первых  производных ( - наибольшее неотрицательное целое характеристическое число матрицы вычетов ).

Замечание 2. Доказанная лемма сохраняют свою силу и при . В этом случае в доказательстве леммы в качестве  можно взять любое положительное число. При  лемма утверждает известное положение о существовании регулярного решения в окрестности регулярной точки системы. В этом случае решение однозначно определяется заданием .

4. Пусть дана система

,                                                    (126)

где

и ряд, стоящий в правой части, сходится при .

Пусть далее, полагая

                                                        (127)

и представляя вместо  ряд

,                               (128)

мы после формальных преобразований получаем:

,                                                    (129)

где

,

причем здесь, как и в выражении для , ряд в правой части сходится при .

Докажем, что и ряд (128) сходится в окрестности  точки .

Действительно, из (126), (127) и (129) следует, что ряд (128) формально удовлетворяет следующему дифференциальному матричному уравнению

.                                      (130)

Мы будем рассматривать  как вектор (столбец) в пространстве всех матриц -го порядка, т. е. в пространстве  измерений. Если мы в этом пространстве определим линейный оператор  над матрицей , аналитически зависящий от параметра , при помощи равенства

,                             (131)

то дифференциальное уравнение (130) можно будет записать в виде

.                                                   (132)

Правую часть этого уравнения можно рассматривать как произведение матрицы  порядка  на столбец  из  элементов. Из формулы (131) видно, что точка   является регулярной особой точкой для системы (132). Ряд (128) формально удовлетворяет этой системе. Поэтому, применяя лемму, заключаем, что ряд (128) сходится в окрестности  точки .

В частности, сходится и ряд для  в формуле (110).

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 2. Всякая система

                                                     (133)

с регулярной особой точкой :

имеет решение вида

,                                                 (134)

где  - матричная функция, регулярная при  и обращающаяся в этой точке в единичную матрицу , а  и  - постоянные матрицы, причем  имеет простую структуру и целые характеристические числа, и разность между любыми двумя различными характеристическими числами матрицы  не есть целое число.

Если матрица  приводится к жордановой форме при помощи неособенной матрицы

 ,   (135)

то можно взять  и  в виде

,                      (136)

     (137)

где

,                   (138)

  - правильные нижние треугольные матрицы , причем, если  не есть целое положительное число .

В частном случае, когда ли одна из разностей   не равна целому положительному числу, в формуле (134) можно положить , , т. е. в этом случае решение представимо в виде

.                                                    (139)

Замечание 1. Обращаем внимание на то, что в настоящем параграфе был установлен алгоритм для определения коэффициентов ряда   через коэффициенты  ряда для . Кроме того, доказанная теорема определяет и интегральную подстановку , на которую умножается решение (134) при однократном обходе особой точки  в положительном направлении:

.

Замечание 2. Из формулировки теоремы следует, что

 при  .

Поэтому матрицы

 и      (140)

перестановочны между собой:

Отсюда

,                 (141)

где

,                        (142)

где  - все характеристические числа матрицы , расположенные в порядке .

С другой стороны

,

где  - интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для функции .

Поскольку все характеристические числа матрицы  равны нулю, то  линейно зависит от , т. е. от  ( - наименьший показатель, при котором ). Поэтому

и потому

      (143)

где  - многочлены от  степени ниже .

В силу (134), (141), (142) и (143) частное решение системы (126) можно взять в виде

              (144)

Здесь  - характеристические числа матрицы , расположенные в порядке , a   - многочлены от  степени не выше , где  - максимальное количество характеристических чисел , отличающихся между собой на целое число;  - матричная функция, регулярная в точке , причем  . Если матрица  имеет жорданову форму, то .