§ 11. Приводимые аналитические системы
В качестве приложения теоремы предыдущего параграфа выясним, в каких случаях система
, (145)
где
(146)
- сходящийся ряд при
является приводимой (по Ляпунову), т. е. в каких случаях существует решение системы вида
(147)
где
- матрица Ляпунова (т. е.
удовлетворяет условиям 1°—3° на стр. 422), а
- постоянная матрица. Здесь
,
- матрицы с комплексными элементами, а
- вещественный аргумент.
Сделаем преобразование
.
Тогда система (145) перепишется в виде
(148)
где
(149)
Ряд, стоящий в правой части выражения для
, сходится при
. Могут представиться два случая:
1)
. В этом случае точка
не является особой для системы (148). Эта система имеет решение, регулярное и нормированное в точке
. Это решение задается сходящимся степенным рядом

Полагая
,
,
получим искомое представление (147). Система приводима.
2)
. В этом случае система (148) имеет регулярную особую точку в точке
.
Не нарушая общности рассуждений, можно считать матрицу вычетов
приведенной к жордановой форме, в которой диагональные элементы
расположены в порядке
.
Тогда в формуле (144)
, и потому система (148) имеет решение

где функция
регулярна при
и принимает в этой точке значение
, а
- многочлены от
. Заменяя здесь
на
, будем иметь:
(150)
Так как преобразование
является преобразованием Ляпунова, то система (145) будет приводимой к некоторой системе с постоянными коэффициентами в том и только в том случае, когда произведение
(151)
где
- некоторая постоянная матрица будет матрицей Ляпунова, т. е. когда матрицы
,
и
будут ограничены. При этом, как следует из теоремы Еругина (§ 4), матрицу
можно считать матрицей с вещественными характеристическими числами.
Из ограниченности матриц
и
при
вытекает, что все характеристические числа матрицы
должны равняться нулю. Это следует из выражения для
и
, получаемого из (151). Кроме того, все числа
должны быть чисто мнимыми, поскольку согласно (151) из ограниченности элементов последней строки в
и первого столбца в
вытекает, что
и
.
Но если все характеристические числа матрицы
чисто мнимы, то разность между любыми двумя различными характеристическими числами матрицы
не равна целому числу. Поэтому имеет место формула (139):

и для приводимости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица
(152)
вместе со своей обратной была бы ограничена при
.
Поскольку все характеристические числа матрицы
должны равняться нулю, то минимальный многочлен для матрицы
имеет вид
. Обозначим через

минимальный многочлен матрицы
. Поскольку
, то числа
отличаются знаком от соответствующих чисел
и потому все они — чисто мнимые числа. Тогда [см. формулы (12), (13) на стр. 421]
(153)
(154)
Подставляя эти выражения в равенство

получим:
(155)
где
-наибольшее из чисел
обозначает матрицу, стремящуюся к нулю при
, а
- ограниченная матрица при
.
Так как матрицы, стоящие в левой и правой частях равенства (155), должны иметь одинаковый порядок роста при
, то
,
т.е.
,
и матрица
имеет простые элементарные делители.
Обратно, если матрица
имеет простые элементарные делители и чисто мнимые характеристические числа
, то

есть решение системы (149). Полагая здесь
, найдем:

Функция
вместе с
и обратной матрицей
ограничена при
. Поэтому система приводима
. Нами доказана
Теорема 3. Система

где матрица
представима сходящимися при
рядом

является приводимой в том и только в том случае, если у матрицы вычетов
все элементарные делители простые и все характеристические числа чисто мнимы.